2022年三角形中做辅助线的技巧.pdf

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1、三角形中做辅助线的技巧三角形中做辅助线的技巧口诀 : 三角形图中有角平分线 , 可向两边作垂线。也可将图对折瞧, 对称以后关系现。角平分线平行线 , 等腰三角形来添。角平分线加垂线, 三线合一试试瞧。线段垂直平分线 , 常向两端把线连。线段与差及倍半, 延长缩短可试验。线段与差不等式 , 移到同一三角去。三角形中两中点, 连接则成中位线。三角形中有中线 , 延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀 : 图中有角平分线, 可向两边作垂线。也可将图对折瞧, 对称以后关系现。角平分线平行线, 等腰三角形来添。角平分线加垂线, 三线合一试试瞧。角平分线具有两条性质:a 、对称性 ;b 、角平分线

2、上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法 , 一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线; 利用角平分线 , 构造对称图形 ( 如作法就是在一侧的长边上截取短边) 。通常情况下 , 出现了直角或就是垂直等条件时, 一般考虑作垂线 ; 其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法 , 要结合题目图形与已知条件。与角有关的辅助线( 一) 、截取构全等如图 1-2,AB/CD,BE 平分 BCD,CE平分 BCD,点 E在 AD上, 求证 :BC=AB+CD 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

3、- -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧已知 : 如图 1-4, 在 ABC中, C=2B,AD 平分 BAC,求证 :AB-AC=CD ( 二) 、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线, 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1如图 2-1, 已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC 。求证 : ADC+ B=180 例2已知如图 2-3, ABC的角平分线BM 、CN相交于点 P。求证 :BAC的平分线也经过点P。练习 : 1. 如图 2-4 AOP= BOP=15 ,PC/OA,PD OA,

4、 如果 PC=4,则 PD=( ) A 4 B 3 C 2 D 1 2、已知 : 如图 2-6, 在正方形 ABCD 中,E 为 CD 的中点 ,F 为 BC 上的点 , FAE= DAE 。求证 :AF=AD+CF 。 3、已知 : 如图 2-7, 在 RtABC中, ACB=90 ,CDAB,垂足为 D,AE平分 CAB交 CD于 F,过 F 作 FH/AB交 BC于 H。求证 CF=BH 。( 三): 作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线, 使之与角的两边相交, 则截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点, 该角平分线又图1-2ADBCEF图 1-4ABCDE

5、图 2-1ABCDEF图2-3PABCMNDF图2-6EABCDF图2-7FDCBAEH精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧成为底边上的中线与高, 以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。( 如果题目中有垂直于角平分线的线段 , 则延长该线段与角的另一边相交) 。例1已知: 如图 3-1, BAD= DAC,ABAC,CD AD于 D,H 就是 BC中点。求证 :DH=21(AB-AC) 分析 : 延长

6、 CD交 AB于点 E, 则可得全等三角形。问题可证。例 2、已知 : 如图 3-2,AB=AC, BAC=90 ,AD 为 ABC的平分线 ,CEBE、求证 :BD=2CE 。分析 : 给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线, 可延长此垂线与另外一边相交, 近而构造出等腰三角形。例 3. 已知 : 如图 3-3 在 ABC中,AD、AE分别 BAC的内、外角平分线,过顶点 B 作 BFAD,交 AD的延长线于F, 连结 FC并延长交 AE于 M 。求证 :AM=ME 。分析 : 由 AD 、AE就是 BAC内外角平分线 , 可得 EAAF, 从而有 BF/AE, 所以想到利用比例线段

7、证相等。例3已知: 如图 3-4, 在 ABC中,AD 平分 BAC,AD=AB,CM AD交 AD延长线于 M 。求证 :AM=21(AB+AC) 分析 : 题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD 为轴作对称变换 , 作 ABD关于 AD的对称 AED,然后只需证 DM=21EC,另外由求证的结果AM=21(AB+AC), 即 2AM=AB+AC, 也可尝试作ACM 关于 CM的对称 FCM,然后只需证 DF=CF即可。练习 : 1已知 : 在 ABC中,AB=5,AC=3,D 就是 BC中点 ,AE 就是 BAC 的平分线 ,且 CEAE于 E, 连接 DE,求 DE 。2已知 BE 、

8、BF分别就是 ABC的ABC的内角与外角的平分线,AF BF于 F,AEBE于 E,连接 EF分别交 AB、AC于 M 、N,求证 MN=21BC图示 3-1ABCDHE图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM图3-4nEBADCMF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧( 四) 、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时 , 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线, 从而构造等腰三角形。或通过一边上的

9、点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。如图4-1 与图 4-2 所示。图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例 1 如图 ,BCBA,BD平分 ABC,且 AD=CD, 求证 : A+C=180。例 2 如图 ,ABCD,AE 、DE分别平分 BAD各 ADE,求证 :AD=AB+CD 。练习 : 1、 已知 , 如图, C=2A,AC=2BC 。求证 : ABC就是直角三角形。2. 已知 : 如图,AB=2AC,1=2,DA=DB,求证 :DCAC 3. 已知 CE 、AD就是 ABC的角平分线 , B=60, 求证 :AC=AE+CD 4. 已知 : 如图

10、在 ABC中, A=90,AB=AC,BD就是 ABC的平分线 , 求证 :BC=AB+AD 二、由线段与差想到的辅助线口诀 : 线段与差及倍半 , 延长缩短可试验。线段与差不等式, 移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之与时,一般方法就是截长补短法: 1、截长 : 在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条; 2、补短 : 将一条短线段延长, 延长部分等于另一条短线段, 然后证明新线段等于长线段。B D C A A B E C D C A B A B C D A E B D C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

11、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧对于证明有关线段与差的不等式, 通常会联系到三角形中两线段之与大于第三边、之差小于第三边, 故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时, 如直接证不出来, 可连接两点或廷长某边构成三角形, 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证明, 如: 例1、已知如图 1-1:D 、E 为ABC内两点 , 求证 :AB+ACBD+DE+CE、二、有角平分线时 ,通常在角的两边截取相等的线段, 构造全等三角形

12、, 如:例如 : 如图 3-1: 已知 AD为 ABC的中线 , 且 1=2, 3=4, 求证 :BE+CFEF 。三、截长补短法作辅助线。例如 : 已知如图 6-1: 在 ABC中,ABAC,1=2,P 为 AD上任一点求证 :AB-ACPB-PC 。例 1. 如图 ,AC 平分 BAD,CE AB,且 B+ D=180 , 求证 :AE=AD+BE 。例 2 如图 , 在四边形 ABCD 中,AC 平分 BAD,CE AB于 E,AD+AB=2AE, 求证 : ADC+ B=180o例 3 已知 : 如图, 等腰三角形ABC中,AB=AC,A=108,BD 平分ABC 。求证 :BC=AB

13、+DC 。例 4如图 , 已知 RtABC中, ACB=90 ,AD 就是 CAB的平分线 ,DMAB于M,且 AM=MB。求证 :CD=21DB 。【方法精讲 】常用辅助线添加方法倍长中线ABC中方式 1: 延长 AD到 E, AD 就是 BC边中线使 DE=AD, 连接 BE D A E C B AEBCDD C B A M B D C A DABCEDABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧方式 2:

14、间接倍长作 CFAD于 F, 延长 MD到 N, 作 BEAD的延长线于E 使 DN=MD, 连接 BE 连接 CD 【经典例题 】例 1: ABC中,AB=5,AC=3, 求中线 AD的取值范围提示 : 画出图形 , 倍长中线 AD,利用三角形两边之与大于第三边例 2: 已知在 ABC中,AB=AC,D在 AB上,E 在 AC的延长线上 ,DE 交 BC于 F, 且 DF=EF,求证 :BD=CE 方法 1: 过 D作 DG AE交 BC于 G,证明 DGF CEF 方法 2: 过 E作 EG AB交 BC的延长线于G,证明 EFG DFB 方法 3: 过 D作 DG BC于 G,过 E 作

15、 EH BC的延长线于 H 证明 BDG ECH 例 3: 已知在 ABC中,AD 就是 BC边上的中线 ,E 就是 AD上一点 , 且 BE=AC, 延长 BE交 AC于 F,求证 :AF=EF 提示 : 倍长 AD至 G,连接 BG,证明 BDG CDA 三角形 BEG就是等腰三角形例 4: 已知 : 如图 , 在ABC中,ACAB,D、 E在 BC上, 且 DE=EC,过 D 作BADF /交 AE于点 F,DF=AC 、求证 :AE 平分BAC提示 : 方法 1: 倍长 AE至 G,连结 DG 方法 2: 倍长 FE至 H,连结 CH 例 5: 已知 CD=AB, BDA= BAD,A

16、E就是 ABD的中线 , 求证 : C= BAE FEDCBANDCBAMFEDABCFECABD第 1 题图ABFDEC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧提示 : 倍长 AE至 F, 连结 DF 证明 ABE FDE(SAS) 进而证明 ADF ADC(SAS) 【融会贯通 】1、在四边形 ABCD 中,ABDC,E为 BC边的中点 , BAE= EAF,AF与 DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与 A

17、F、CF 之间的数量关系 , 并证明您的结论提示 : 延长 AE 、DF交于 G 证明 AB=GC 、AF=GF 所以 AB=AF+FC 2、如图 ,AD 为ABC的中线 ,DE 平分BDA交 AB 于 E,DF 平分ADC交 AC于 F、 求证:EFCFBE提示 : 方法 1:在 DA上截取 DG=BD, 连结 EG 、 FG证明 BDE GDE DCF DGF 所以 BE=EG 、 CF=FG利用三角形两边之与大于第三边方法2: 倍长 ED至 H,连结 CH 、FH证明 FH=EF 、CH=BE 利用三角形两边之与大于第三边3、已知 : 如图 ,ABC中,C=90 ,CM AB于 M,AT

18、平分BAC交 CM于 D,交 BC于 T, 过 D作 DE/AB 交 BC于 E,求证 :CT=BE 、提示 : 过 T 作 TNAB于 N 证明 BTN ECD 三、由中点想到的辅助线口诀 :三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。在三角形中 , 如果已知一点就是三角形某一边上的中点, 那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质( 直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质), 然后通过探索 , 找到解决问题的方法。EDABCFEABCD第 14 题图DFCBEADABCMTE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

19、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧( 一) 、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1,AD 就是 ABC的中线 , 则 SABD=SACD=SABC( 因为 ABD与 ACD就是等底同高的) 。例 1.如图 2,ABC中,AD 就是中线 , 延长 AD到 E, 使 DE=AD,DF 就是 DCE的中线。已知ABC的面积为 2, 求:CDF 的面积。( 二) 、由中点应想到利用三角形的中位线例 2. 如图 3, 在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分别就是

20、 BC 、AD的中点 ,BA、CD的延长线分别交EF的延长线 G、H。求证 : BGE= CHE 。( 三) 、由中线应想到延长中线例 3. 图 4, 已知 ABC中,AB=5,AC=3, 连 BC上的中线 AD=2,求 BC的长。例 4. 如图 5, 已知 ABC中,AD就是 BAC的平分线 ,AD 又就是 BC边上的中线。 求证:ABC就是等腰三角形。( 四) 、直角三角形斜边中线的性质例 5. 如图 6, 已知梯形 ABCD 中,AB/DC,AC BC,AD BD,求证 :AC=BD 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

21、 - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧( 五) 、角平分线且垂直一线段, 应想到等腰三角形的中线例 6. 如图 7,ABC就是等腰直角三角形, BAC=90 ,BD 平分 ABC交 AC于点 D,CE垂直于BD,交 BD的延长线于点E。求证 :BD=2CE 。( 六) 中线延长口诀 : 三角形中有中线 , 延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线,常延长加倍此线段, 再将端点连结 , 便可得到全等三角形。例一 : 如图 4-1:AD 为 ABC的中线 , 且 1=2, 3=4, 求证 :BE+CFEF 。例二

22、 : 如图 5-1:AD 为 ABC的中线 , 求证 :AB+AC2AD 。练习 : 1 如图 ,AB=6,AC=8,D 为 BC 的中点 , 求 AD的取值范围。2 如图,AB=CD,E为 BC的中点 , BAC= BCA,求证 :AD=2AE 。3 如图,AB=AC,AD=AE,M 为 BE中点 , BAC= DAE=90 。求证 :AMDC 。4, 已知 ABC,AD就是 BC边上的中线 ,分别以 AB边、 AC边为直角边各向外作等腰直角三角形, 如图 5-2,求证 EF=2AD 。5已知 : 如图 AD为 ABC的中线 ,AE=EF, 求证 :BF=AC 巩固练习1、如图 ,DE，分别

23、为ABC的AC,BC边的中点 , 将此三角形沿DE折叠 , 使点C落在AB边上的点P处. 若48CDE, 则APD等于 ( ) A.42 B.48 C .52 D.58D M CEABB A D C 8 6 B E C D A A B D C E F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧2、如图所示 , 图中三角形的个数共有( ) A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个3、 如图 ,ABC的周长为32, 且

24、ABACADBC，于D,ACD的周长为24, 那么AD的长为. 4、长度为 2 、 3 、 4 、 5 的四条线段 ,从中任取三条线段能组成三角形的概率就是_ 5、如图 , 在ABC中,ADBC于D, 且ABC2C、求证 :CDAB+BD、6、如图 ,在ABC中,BAC、BCA的平分线相交于点O, 过点O作DEAC, 分别交AB、BC于点D、E、试猜想线段AD、CE、DE的数量关系 , 并说明您的猜想理由、7、AD为 ABC的中线 , 求证:ABAC 2AD。8、已知 D 为ABC内的任一点 , 求证 : BDC BAC 。遇到等腰三角形 , 可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题, 思

25、维模式就是全等变换中的“对折”。1、已知 , 如图 1, 在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC。求证 : BAD+BCD=180。2、已知 , 如图 2, 1=2,P为BN上一点 , 且PDBC于点D,AB+BC=2BD。求证 : BAP+BCP=180。3、已知 , 如图 3, 在ABC中, C2B, 12。求证:AB=AC+CD。A B C D D C B A C A B E D O C D B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三角形中做辅助线的技巧精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -