2022年三角形中做辅助线的技巧复习进程.pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性； b、角平分线上的点到角两边的

2、距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图 1-2，AB/CD，BE平分 BCD ，CE平分 BCD ，点 E在 AD上，求证： BC=AB+CD 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - -

3、 - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑已知：如图 1-4 ，在 ABC中， C=2B,AD 平分 BAC ，求证： AB-AC=CD （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1如图 2-1 ，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC 。求证： ADC+ B=180 例2已知如图 2-3 ，ABC的角平分线BM 、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点P。图1-2ADBCEF图 1-4ABCDE图 2-1ABCDEF图2-3PABCMNDF精品资料 - - - 欢迎

4、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑练习：1如图 2-4 AOP= BOP=15 ，PC/OA，PD OA ，如果 PC=4 ，则 PD= （） A 4 B 3 C 2 D 1 2. 已知：如图2-6, 在正方形 ABCD 中， E为 CD 的中点， F 为 BC 上的点， FAE= DAE 。求证： AF=AD+CF 。 3.已知：如图2-7 ，在 RtABC中， ACB=90 ,CDAB ，垂足为 D

5、，AE平分 CAB交 CD于 F，过 F 作FH/AB 交 BC于 H。求证 CF=BH 。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1已知：如图3-1， BAD= DAC ，ABAC,CD AD于 D，H是 BC中点。求证： DH=21（AB-AC ）图2-6EABCDF图2-7FDCBAEH精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

6、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑分析 ：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例 2. 已知：如图3-2，AB=AC ， BAC=90 ，AD为 ABC的平分线， CE BE.求证： BD=2CE 。分析 ：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图3-3 在 ABC中，AD 、AE分别 BAC 的内、外角平分线，过顶点B作 BFAD ，交 A

7、D的延长线于 F，连结 FC并延长交 AE于 M 。求证： AM=ME 。分析 ：由 AD 、AE 是 BAC内外角平分线，可得EA AF ，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。图示 3-1ABCDHE图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例3已知：如图 3-4 ，在 ABC中，AD平分 BAC ，AD=AB ，CM AD交 A

8、D延长线于 M 。求证：AM=21（AB+AC ）分析 ：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD为轴作对称变换，作ABD关于 AD的对称 AED ，然后只需证 DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ） ，即 2AM=AB+AC，也可尝试作 ACM 关于 CM的对称FCM ，然后只需证DF=CF即可。练习 ：1已知：在 ABC中， AB=5 ，AC=3 ，D是 BC中点， AE是 BAC的平分线，且CE AE于 E，连接 DE ，求 DE。2已知 BE、BF分别是 ABC的 ABC的内角与外角的平分线，AF BF 于 F，AEBE 于 E，连接 EF分别交 AB、AC于

9、M 、N，求证 MN=21BC图3-4nEBADCMF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1 和图 4-2 所示。图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例 1 如图， BC

10、BA ，BD平分 ABC ，且 AD=CD ，求证： A+C=180 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例 2 如图， ABCD ，AE、DE分别平分 BAD各 ADE ，求证： AD=AB+CD。练习：1. 已知，如图， C=2A，AC=2BC 。求证： ABC是直角三角形。2已知：如图，AB=2AC ，1=2，DA=DB ，求证： DC AC 3已知 CE 、AD是 AB

11、C的角平分线， B=60，求证： AC=AE+CD 4已知：如图在ABC中， A=90， AB=AC ，BD是 ABC的平分线，求证： BC=AB+AD 二、由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络

12、，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图 1-1 ：D、E为 ABC内两点 , 求证 :AB+ACBD+DE+CE. 二、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1 ：已知 AD

13、为ABC的中线，且 1=2, 3=4, 求证： BE+CFEF 。三、截长补短法作辅助线。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例如：已知如图6-1 ：在 ABC中， ABAC ， 1=2，P为 AD上任一点求证： AB-ACPB-PC 。例 1如图， AC平分 BAD ，CE AB ，且 B+D=180 ，求证： AE=AD+BE 。例 2 如图，在四边形ABCD中， AC平分

14、BAD ，CE AB于 E，AD+AB=2AE ，求证： ADC+ B=180o例 3 已知：如图，等腰三角形ABC中， AB=AC ，A=108， BD平分ABC 。求证： BC=AB+DC。AEBCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例 4 如图，已知 RtABC中， ACB=90 ， AD是CAB的平分线， DM AB于 M ，且 AM=MB。求证： CD=21DB 。【

15、方法精讲 】常用辅助线添加方法倍长中线ABC中方式 1： 延长 AD到 E， AD 是 BC边中线使 DE=AD ，连接 BE 方式 2：间接倍长DABCEDABCNDCBAM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑作 CFAD于 F，延长 MD到 N，作 BEAD的延长线于E 使 DN=MD，连接 BE 连接 CD 【经典例题 】例 1： ABC中， AB=5 ，AC=3 ，求中

16、线 AD的取值范围提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边例 2：已知在 ABC中，AB=AC ，D在 AB上，E 在 AC的延长线上， DE交 BC于 F，且 DF=EF ，求证： BD=CE 方法 1：过 D作 DG AE交 BC于 G ，证明 DGF CEF 方法 2：过 E作 EG AB交 BC的延长线于G ，证明 EFG DFB 方法 3：过 D作 DG BC于 G ，过 E作 EH BC的延长线于H 证明 BDG ECH 例 3：已知在 ABC中，AD是 BC边上的中线， E是 AD上一点，且 BE=AC ，延长 BE交 AC于 F，求证： AF=EF 提示：倍

17、长 AD至 G ，连接 BG ，证明 BDG CDA 三角形 BEG是等腰三角形FEDCBAFEDABCFECABD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例 4：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E 在 BC上，且 DE=EC ，过 D作BADF /交 AE于点F，DF=AC. 求证： AE平分BAC提示：方法 1：倍长 AE至 G ，连结 DG 方法 2：倍长 FE至 H，

18、连结 CH 例 5：已知 CD=AB ， BDA= BAD ，AE是 ABD的中线，求证：C= BAE 提示：倍长 AE至 F，连结 DF 证明 ABE FDE （SAS ）第 1 题图ABFDECEDABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑进而证明 ADF ADC （SAS ）【融会贯通 】1、在四边形ABCD 中，ABDC ，E为 BC边的中点， BAE= EAF ， A

19、F与 DC的延长线相交于点F。试探究线段 AB与 AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长 AE、DF 交于 G 证明 AB=GC 、AF=GF 所以 AB=AF+FC 2、如图， AD为ABC的中线， DE平分BDA交 AB于 E，DF平分ADC交 AC于 F. 求证：EFCFBE提示：方法 1：在 DA上截取 DG=BD ，连结 EG 、FG证明 BDE GDE DCF DGF 所以 BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长 ED至 H，连结 CH 、FH证明 FH=EF 、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边FEABCD第 14 题图DFCBEA精

20、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑3、已知：如图，ABC中，C=90，CM AB于 M ，AT平分BAC交 CM于 D，交 BC于 T，过 D 作 DE/AB 交BC于 E，求证： CT=BE. 提示：过 T 作 TNAB于 N 证明 BTN ECD 三、由中点想到的辅助线口诀： 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某

21、一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。DABCMTE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，AD是 ABC的中线，则 SABD=SACD=S ABC（因为 ABD与 ACD是等底同高的）。例 1如图

22、 2，ABC中， AD是中线，延长AD到 E，使 DE=AD ，DF是 DCE的中线。已知ABC的面积为 2，求： CDF的面积。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形ABCD 中， AB=CD ，E、F 分别是 BC 、AD的中点， BA 、CD的延长线分别交EF的延长线 G、H。求证： BGE= CHE 。（三）、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC中，AB=5，AC=3 ，连 BC上的中线 AD=2 ，求 BC的长。例 4如图 5，已知 ABC中， AD是 BAC的平分线， AD又是 BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。精品资料 - - - 欢迎下

23、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（四）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形ABCD 中， AB/DC，AC BC ，AD BD ，求证： AC=BD 。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7， ABC 是等腰直角三角形， BAC=90 ， BD平分 ABC交 AC于点 D，CE垂直于 BD，交 BD的延长线于点E。求证： BD=2CE 。（六）中线延长口诀：三

24、角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。例一 ：如图 4-1 ：AD为 ABC的中线，且 1=2， 3=4，求证： BE+CFEF 。例二 ：如图 5-1 ：AD为 ABC的中线，求证： AB+AC2AD。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑练习：1 如图， AB=6 ，AC=8 ，D为 BC 的中点，求A

25、D的取值范围。2 如图， AB=CD ，E为 BC的中点， BAC= BCA ，求证： AD=2AE 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑3 如图， AB=AC ，AD=AE ，M为 BE中点， BAC= DAE=90 。求证： AM DC 。4，已知 ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证 EF=2AD 。5已

26、知：如图AD为 ABC的中线， AE=EF ，求证： BF=AC 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑巩固练习1、如图，DE，分别为ABC的AC，BC边的中点， 将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若48CDE，则APD等于（）A42 B48 C 52 D582、如图所示，图中三角形的个数共有（）A1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个3、 如图，ABC的周长为

27、 32，且ABACADBC，于D，ACD的周长为24，那么AD的长为4、长度为 2 、 3 、 4 、 5 的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是_ 5、如图，在ABC中，ADBC于D，且ABC2C. 求证：CDAB+BD. 6、如图，在ABC中，BAC、BCA的平分线相交于点O，过点O作DEAC，分别交AB、BC于点D、E.试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - -

28、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑7、AD为 ABC的中线，求证：AB AC 2AD 。8、已知 D 为ABC内的任一点，求证：BDC BAC 。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BA

29、D+BCD=180。2、已知，如图2，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD。求证：BAP+BCP=180。3、已知，如图3，在ABC中，C2B，12。求证：AB=AC+CD。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -