常用均值不等式及证明证明(共3页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 常用均值不等式及证明证明概念：1、调和平均数： 2、： 3、： 4、：这四种平均数满足 ，当且仅当时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数(当 时);(当时）（即则有：当r=-1、1、0、2注意到HnGnAnQn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)D(0)D(1)D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形：(1) 对实数a,b，有 (当且仅当a=b时取“=”号)， (2)对非负实数a,b，有，即 (3)对负实数a,b，有 (4)对实数a,b，有 (5)对非负实数a,b，有 (6)对实数a,b，有 (7)对实数a,b,c，有 (8)对实数a,b,

2、c，有 (9)对非负数a,b，有 (10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A0，B0，则注：引理的正确性较明显，条件A0，B0可以弱化为A0，A+B0(用数学归纳法)。原题等价于： 当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设是中最大者，则设 用引理用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数是函数在区间(a,b)内的任意n个点，则有：设，为上凸增函数所以，即在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）专心-专注-专业