中值定理构造辅助函数(共6页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数,主要思想分为四点:(1)将要证的结论中的换成;(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;(3)用观察法或积分法求出原函数(等式中不含导数符号),并取积分常数为零;(4)移项使等式一边为零,另一边即为所求辅助函数例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令,得,先变形为再两边同时积分得,令,有故为所求辅助函数例2:若,是使得的实数证明方程在(0,1)内至少有一实根证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系,所以设(取),则1)在0
2、,1上连续2)在(0,1)内可导3)=0, 故满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,存在使,即亦即 这说明方程在(0,1)内至少有实根 2 积分法对一些不易凑出原函数的问题,可用积分法找相应的辅助函数 例3:设在1,2上连续,在(1,2)内可导,证明存在使分析:结论变形为,不易凑成我们将换为,结论变形为,积分得:,即,从而可设辅助函数为,有本题获证例4:设函数,在上连续,在内可微,证明存在,使得:证:将变形为,将换为,则,两边关于积分,得: ,所以,其中,由可得由上面积分的推导可知,为一常数,故其导数必为零,从整个变形过程知,满足这样结论的的存在是不成问题的因而令,易验证其满足罗尔定理的条件,原题得
3、证3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系,从而建立适当的辅助函数例5:证明拉格朗日中值定理分析:通过弦两个端点的直线方程为,则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零,从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数例6:若在上连续且试证在内至少有一点,使分析:由图可看出,此题的几何意义是说,连续函数的图形曲线必跨越这一条直线,而两者的交点的横坐标,恰满足进而还可由图知道,对上的同一自变量值,这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数,它满足0,因而符合介值定理的条件当为的一个零点时,恰等价于因此即知证明的关键是构造辅助函数4 常数k值法此方法构造辅助函数的步
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