二项式定理题型及解法(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二项式定理题型及解法1二项式定理：，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的系数.项数：共项，是关于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项增到，是升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 令 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，二项式

2、系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。6二项式定理的十一种考题的解法：【题型一：二项式定理的逆用】【例1】：解：与已知的有一些差距， 【练1】：解：设，则【题型二：利用通项公式求的系数】【例2】：在二项式的展开式中倒数第

3、项的系数为，求含有的项的系数？解：由条件知，即，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。【练2】：求展开式中的系数？解：，令,则故的系数为。【题型三：利用通项公式求常数项】【例3】：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以【练3】：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以【练4】：若的二项展开式中第项为常数项，则解：，令，得.【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】【例4】：求二项式展开式中的有理项？解：，令,()得，所以当时，当时，。【题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】【例5】：若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有，,则

4、有 将-得： 有题意得，。【练5】：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。解：，解得 所以中间两个项分别为，【题型六：最大系数，最大项】【例6】：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。【练6】：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。【练7】：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于【例

5、7】：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。【例8】：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？解：由解出,假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为,有【练8】：在的展开式中系数最大的项是多少？解：假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为【题型七：含有三项变两项】【例9】：求当的展开式中的一次项的系数？解法：，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为。解法： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.【练9】：求

6、式子的常数项？解：，设第项为常数项，则，得, .【题型八：两个二项式相乘】【例10】：解： .【练10】：解：.【练11】：解：【题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和】【例11】：解：【题型十：赋值法】【例12】：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.【练12】：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.【例13】：解： 【练13】：解：【题型十一：整除性】【例14】：证明：能被64整除证：由于各项均能被64整除以上是二项式定理应用的十一种典型题型，可概

7、括为三个方面的应用：二项式的展开式及组合先项原理的应用；通项公式的应用（求指定项如第三项、倒数第二项、含有项、常数项、有理项、无理项等，还可求系数最大的项）；赋值法的应用。另外，在题型上还可以与数列、函数等知识相结合。练习：1.已知(a+b)n展开式中各项的二项式系数之和为8 192, 则(a+b)n的展开式中项数共有 ( )A.14 B.13 C.12 D.15 2.ab0,a+b=1,(a+b)9展开按a的降幂排列后第二项不大于第三项,则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(1,+)3.在的展开式中含常数项，则自然数n的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.54.设(+x

8、)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则(a0+a2+a4+a10)2-(a1+a3+a9)2的值是 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.(-1)105.设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+an xn,当a0+a1+a2+an=254时，n等于 ( ) .A.5 B.6 C.7 D.86.在(1x)4n+1展开式中系数最大的项是 ( ) A.第2n项 B.第2n+1项C.第2n项和第2n+1项 D.第2n+2项7.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)9+(1+x)10展开式中x3项的系数是 ( ) A. B. C. D.8.的值为 ( )

9、 A.3210 B.310 C.(29-1) D.(310-1)9. 多项式(1-2x)6(1+x)4展开式中，x最高次项为 ，x3的系数为 .10的展开式中的系数为 （用数字作答）11 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为 ( ) A.160 B.240 C.360 D.80012 求(1+x+x2)7(1-x)8展开式中x10的系数. 13已知的展开式中的系数为，常数的值为 14.展开式中的常数项是 ( ) A.12 B.-12 C.20 D.-2015.展开式中有理项的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.416.(2x+y-z)6展开式中的系数是 （ ）A.480 B.160 C.-480 D.-16017.已知的展开式中的系数为11，求展开式中项系数的最小值；当项系数取最小值时，求展开式中的奇次幂项的系数之和。专心-专注-专业