数列通项求和证明教师版(共12页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数列通项求和及证明微专题第一部分：前测试题一、选择题1. 已知数列中，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：B命题意图：考查学生对递增数列的理解解析：因为 ，所以，因为是递增数列，所以 ，即，所以，因为对任意的正整数都成，所以2. 已知数列中，则（ ）A B C D答案：D命题意图：考查构造法求数列通项解析：由已知条件可得所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以故选D.3. 已知数列满足，则（ ）A B C. D答案：C命题意图：考查构造法求数列的通项公式解析：由两边除以得所以所以是以1为首项为公差的等差数列，所以所以选C4. 设是等

2、差数列的前项和，若，则（ ） A B. C.D.答案：A命题意图：考查学生对等差数列的前项和公式的掌握.解析:为，由等差数列前项和公式得，故选A5. 设数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D.答案：B.命题意图：本题考查数列求和等基础知识，意在考查运算求解能力.解析：由题意得，是为首项，为公比的等比数列，故选B.6. 设，若是和的等比中项，则的最小值为（ ） A B8 C9 D1答案：C命题意图：考查学生运用基本不等式；等比数列的性质的能力.二、填空题7.设数列满足且则_.答案：命题意图：本题考查用累差法求通项解析：因为所以将以上个式子相加得即8. 已知等比数列的公比为，前项和为，

3、若成等差数列，且，则 ， ， 答案：；.命题意图：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式，意在考查学生基本运算能力.解析：依题，即，或（不合），所以，故应填入；.9. 在数列中，已知满足则 .答案：命题意图：考查累乘法求数列通项方法解析：因为所以所以10. 如图，直角中，作的内接正方形，再做的内接正方形，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，则其通项公式为 .答案： 命题意图：考查学生归纳推理能力.解析：由相似三角形可得所以所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故.11. 数列满足,记,则数列的前项和 答案：命题意图：考查错位相减法求和解析：由得，且，所以数列构成以1为首项

4、，2为公差的等差数列，所以，从而得到，则，所以两式相减，得=所以.题后反思：减法求数列的前项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列三、解答题12. 已知数列的前项和为，来源:学.科.网（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：答案：（1）；（2）证明见解析命题意图：考查由已知与的关系求数列通项，放缩法证明不等式解析：（1）当时，解得当时，解得当时，以上两式相减,得所以所以（2）当时，所以第二部分：例题选讲例1、已知数列中，前

5、项和为（I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值 答案（I）；（II），18试题分析：(1)由题意当时，则，则 当时，由此入手推出的首项为1，公差为0，从而能求出的通项公式；（2）整理，由此求出，进而得出使不等式对一切都成立的最大正整数的值。解析：（I）由题意，时，则，则当时，所以，则，则，即则数列是首项为1，公差为0的等差数列从而，则数列是首项为1，公差为1的等差数列所以，（II）所以，由于因此单调递增，故的最小值为令，所以的最大值为18归纳总结： (1) 证明一个数列为等差数列，常用定义证明：或，从而求出等差数列的通项

6、公式如果已知通项与前项和的关系，常用求通项公式，但要注意验证当时，是否符合通项公式，否则要用分段形式写出通项公式（2）对于满足等差数列，通项为的数列求和，一般运用裂项相消的方法求和，；本题中对于求和后的恒成立问题，往往还要证明求和的单调性，确定对一切都成立的最大正整数的值例题2、在各项均为正数的数列中，若. (1) 试判断数列的单调性，并证明对任意的恒有；(2) 求证：对一切，有本题主要考查与之间的关系，不等式放缩数列求和等知识，考查来了考生的逻辑推理能力，第(1)问根据已知推出，再利用放缩法即可得第(2)问由(1)可得，从而可得，利用放缩法即可证明不等式成立解：(1) 由题意知，所以，故数列

7、的单调递增因为，即 ，两边同除以，得：当时，=又，所以对任意的恒有； (2)显然 ，由（1）知，所以，从而,即，两边同除以，得：，当时，=即 ，所以综上可知，对一切，有归纳总结：求解本题时，学生要注意以下两点：(1)放缩后要能求和，通常情况下可以放缩为等比、等差数列或可利用裂项相消法求和的数列等；(2)证明和时，要注意放缩不能放得太大，否则会“失控”，导致证明失败常见的放缩不等式如下（仅供参考）（1）（2）（3） 第三部分：备选与跟进练习1已知数列和中，是公比为的等比数列记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 解析：因为，所以，所以=，解得：或，若，则，即对一切正整数成立，显然不成立若，

8、则对一切正整数成立，只要即可，即 ，解得：2. 已知数列中， (1)求数列的通项； (2)设数列满足，求证：分析：条件中有类似于前n项和与通项的形式出现，应该考虑 解析：(1) 由-得即：， 故， 所以 (2)由(1)得：，所以数列是单调递增数列，故要证：，只需证若，则显然成立； 若，则所以, 即所以, 所以 点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中， 这种拆分方法是数学中较高要求的变形.3已知正项数列满足，（） 证明：对任意的，；（） 记数列的前项和为，证明：对任意的，解析：（）由 又因为 在上递增，故 （）由（）知，相乘得：，即故 另一方面，（方法一），令 ，则于是 ，相乘得：，即 故综上所述： （方法二）由且，可得： ，于是，相乘得：故综上所述： （方法三）由且，可得 ： ，故，可得，所以，综上所述： 专心-专注-专业