概率论与数理统计(第四版)-第二章习题答案(共29页).doc

《概率论与数理统计(第四版)-第二章习题答案(共29页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计(第四版)-第二章习题答案(共29页).doc（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上概率论与数理统计 第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。解设赔付金额为X，则X是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万00.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X表示

2、取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律。解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法：，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法，其概率为若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为一般地，其中为最大号码是的取法种类数，则随机变量X的分布律为X345（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S（

3、1,1），（1,2），（1,3），（6,6），共有36个基本事件，X的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1），（1,6），（6,1），；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），（3,6），（6,3），；最小点数为3的共有7种，；最小点数为4的共有5种，；最小点数为5的共有3种，；最小点数为6的共有1种，于是其分布律为123456 3设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，（1）求X的分布律；（2）画出分布律的图形。解从15只产品中取3次每次任取1只，取

4、到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为： ，其概率为若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为其概率为若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为其概率为若取到的次品数为2，其概率为。于是其分布律为X012（2）分布律图形略。4进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为（），（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需要的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以为参数的几何分布。）。（2）将试验进行到出现次成功为止，以Y表示所需要的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以，为参数的巴斯卡分布或负二项分布。

5、）解（1）X的取值为，对每次试验而言，其概率或为1，或为所以其分布律为1 2 3 4 n (2)Y的取值为，对每次试验而言，其概率或为1，或为所以其分布律为 5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求Y的分布律。（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小

6、于X的概率。解（1）X服从的几何分布，其分布律为12 3 (2)Y所有可能的取值为1,2，3.方法一方法二由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即即Y的分布律为1 2 3 (3) 6.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？解设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且各次试验相互独立，于是（1）恰有2个设力被使用，即：（2）至少有3个设备被使用，即：（3）至多

7、有3个设备被使用，即：（4）至少有一个设备被使用，即7设事件A在每次试验中发生的概率为0.3，A发生不少于3次时指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解设A发生的次数为X，则，设B“指示灯发出信号”（1）或同理可得（2）或8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中的次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。解记甲投中的次数为X，乙投中的次数为Y，则，同理，若记A为事件“两人投中次数相等”，B为事件“甲比乙投中的次数多”，则又所以9.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次

8、检验：从中任取10件，经检验无次品，接受这批产品，次品大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率。（2）需作第二次检验的概率。（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。（5）这批产品被接受的概率解设X为“第一次检验出的次品数”，Y为“第二次检验出的次品数”，则，（1）这批产品第一次检验后接收，即没有发现次品，也就是X0，而（2）需作第二次检验，即第一次检验发现次品数为1或2件：（3）这批产品按第二次检验的标准接收，即在

9、第二次取出的5件产品中没有次品：（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过，即：（两事件相互独立）（5）.10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）解（1）可看作是古典概型问题，总挑法数为，则成功一次的挑法为，于是试验成功一次的概率的为.（2）设成功的次数为X，则因为能成功3次的概率特别小，所以可以认为他确有区分的能力。11尽管在几何教

10、科书已经讲过仅用直尺和园规三等分任意角是还可能的，但是每一年总是有一些“发明者”撰写关于仅用园规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布，求明年没有此类文章的概率。解泊松分布当时，明年没有此类文章，即，于是明年没有此类文章的概率12一电话总机每分钟收到的呼唤次数X服从参数为4的泊松分布。求（1）某一分钟恰有8次的概率。（2）某一分钟呼唤次数大于3的概率。解（1）当，时，某一分钟恰有8次的概率（2）当时，某一分钟呼唤次数大于3的概率13.某一公安局在长度为的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求

11、某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）求某一天中午2时至下午5时至少收到1次紧急的概率。解因为，所以（1）某一天中午12时至下午3时，即，则，对应的泊松分布为，从而某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率（2）求某一天中午2时至下午5时，即，对应的泊松分布为，从而某一天中午2时至下午5时至少收到1次紧急的概率（查表时），于是方法二.14某人家中在时间间隔（小时）内接到电话的次数服从参数为的泊松分布。（1）若他外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长的时间是多少？解（1）若他外出计划用时1

12、0分钟，则，其间有电话铃响一次的概率（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，即，时，即，或 （min）15保险公司承保了5000张相同年龄，为期一年的保险单每人一份。在合同的有效期内若投保人死亡，则需赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡是相互独立。求保险公司对这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率（利用泊松定理计算。）解设在合同有效期内死亡的投保人为随机变量X，根据题设条件知死亡的投保人不超过10人，即，因此这可以看作是，的二项分布，其概率为应用泊松定理，此时，（查表得）0.8622。 16有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设一辆汽车在一天

13、的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该时间段内有1000辆汽车通过，问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解设在该时间段内出事故的汽车数为随机变量X，则这可以看作是，的二项分布，其概率为设，泊松定理，（查表：，）0.0047。17（1）设X服从（01）分布，其分布律为（），求X的分布函数并作图形。（2）求第2题（1）中随机变量的分布函数。解（1）当时，；当时，则；当，则即（图形略）。（2）第2题（1）“在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5X的分布律为X345其分布函数为18 在区间上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在区间上上中任意小区

14、间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数。解当时，；当时，其中为常数，特别地当时，质点落在区间上上中任意小区间内的概率为1，所以，即，所以当时， ；当时，综合得。19.以X表示某商店从早晨开始营业直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是求下述概率：（1）p至多3分钟；（2）p至少4分钟；（3）p3分钟至4分钟；（4）p至多3分钟或至少4分钟；（5）p恰好2.5分钟。解（1）（2）（3）（4）（5）20设随机变量X的分布函数为（1）求，；（2）求概率密度。解（1）注意对连续型随机变量而言，其中是任意实数。（2）因为，应用分段函数求导数的方法，得概率密度为21设随机变量

15、的分布函数为（1）（2）求X的分布函数，并画出（2）中和的图形。解（1）当时，；当时，；同理，当时，所以（2）同理可得，即22.（1）由统计物理学知，分子运动的速度的绝对值X服从马克斯韦尔（Maxwall）分布，其概率密度为其中，为Boltzmann常数，T为绝对温度，是分子的质量。试确定常数A。（2）研究了英格兰在18751951年间，在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间（以日计）服从指数分布，其概率密度为求分布函数，并求概率。解（1）由密度函数的性质有（注意：）故.（2）当时，当时，.故。或.23某种型号的器件的寿命X（以小时计）具有概率密度现有

16、一大批这种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只的寿命大于1500小时的概率是多少？解（）先求这种器件的寿命大于1500小时的概率：。（）求任取5只，至少有2件的寿命大于1500小时的概率设Y“器件的寿命大于1500小时”，则。 24.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（min）服从指数分布，其概率密度为某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求。解()该顾客在窗口未等到服务而离开的概率为()顾客未行到服务而离开银行的次数的概率由已知条件可知，故，.25设K在区间（0,5）服从

17、均匀分布，求的方程有实根的概率。解因为K的分布密度为而方程有实根，即其判别式即，解得或。因为K在（0，5）内服从均匀分布，所以只有在区间（0，5）内，所以所给方程有实根的概率为。26.设，求（1），；（2）确定使得。解（1）.（2）因为，由得即所以。27.某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从。在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X（1）求，；（2）确定最小的，使解（1）（2）要使，必须，即，亦即故，或，即最小的值为129.74。28由某机器生产的螺栓的长度（）cm服从参数，的正态分布。规定长度在10.050.12内为合格品，求一为不合格品的概率。解（方法一）设的长度为

18、X，则，一个螺栓不合格，即或。其概率为，而所以（方法二）设A“螺栓合格”，则所以不合格的概率为。29一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为，的正态分布，若要求，允许最大为多少？解得，查表知所以，最大为。30设在一电路中，电阻两端的电压V服从，今独立测量了5次，试确定有2次测量值落在区间118，122之外的概率。解（）求测量值落在区间118，122之外的概率设A“测量值X落在区间118，122之内”则所以测量值落在区间118，122的概率为（2）求在5次独立测量中有2次测量值区间118，122之外的概率设测量值落在区间之外的次数为Y，则故所求的概率为31某人上班，自家中去办公楼要经过一

19、交通指示灯。这一指示灯有80%的时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直到绿灯亮，等待时间在区间0，30（秒）服从均匀分布。以表示他等待的时间，求的分布函数，画出的图形。并问是否为连续型随机变量？是否为离散型随机变量？（要说明理由）。解（1）求随机变量的分布函数若他到达交通指示灯旁时亮绿灯，则其等待时间；若他到达交通指示灯旁时亮红灯，则等待时间设“指示灯亮绿灯”，对于固定的，由全概率公式，有其中，（即该人到达指示灯旁时亮绿灯，当然他可以过去，也即他等待的时间为0，在0.30秒）内）； （等待时间在0.30内均匀分布）。当时，当时，（亮红灯的时间为80%）所以时，当时于是的分布函数的分布函数为（）（图

20、形略）。（）说明随机变量的由于分布函数在处不连续，故随机变量不是连续型随机变量，又因为不存在一个可列的点集，使得在这个集上的取值的概率为1，故也不是离散型随机变量。这样的随机变量称为混合型随机变量。32设，都是概率密度函数，求证，（）也是一个密度函数。解要证明一个函数是密度函数，主要是要验证。因为，所以即也是一个概率密度函数。33设随机变量的分布律为21013 求的分布律。解的取值为0,1，4,9，故其分布律为0149 34.设随机变量X在（0,1）上服从均匀分布。（1）求的概率密度；（2）求的概率密度。解由题设知，X的概率密度为（1）由积分函数的求导法则，得，所以。（2）由得，由定理得的概率

21、密度为或因为，知，即的取值必为非负，故当时，是不可能事件，所以，当时，从而故.35设，求（1）的概率密度。（2）求的概率密度。（3）求的概率密度。解（1）因为，所以不取负值，故当时，又当时，由有所以（2）因为，即在1，内取值。所以当时，；当时，注意到，故当时，或故当时，所以，。（3）因为，所以当时，；当时，由于，有因此，当时时，故的概率密度为36（1）设随机变量的概率密度为，求的概率密度。（2）设随机变量的概率密度为求的概率密度。解（1）由解得反函数，且，由定理：代入得（2）因为，所以当时，；当时，所以，故。37.设随机变量的概率密度为求的概率密度。解因为在上，则当时，当时，则概率密度为.38.设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9A11A之间。若此电流通过2欧的电阻，在其上消耗的功率。求W的概率密度。解由题设知I的概率密度为且的取值为162W242（因为，）。其分布函数为故39某物体的温度是随机变量，且有，已知，试求的概率密度。解（）求的分布函数（注意：）所以，即专心-专注-专业