江苏省徐州市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科)Word版含解析(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015-2016学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（共14小题每题5分，共70分）1已知i是虚数单位，z=，则z的模|z|=2若3位同学分别从4门课程中选修1门，且选修的课程均不相同，则不同的选法共有种（用数字作答）3用反证法证明命题：“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为4二项式（）5的展开式的各项的二项式系数的和为5观察下列等式；12=1，32=2+3+4，52=3+4+5+6+7，72=4+5+6+7+8+9+10，由此可归纳出一般性的等式：当nN*时，（2n1）2=n+（n+1）+（n+2）

2、+6已知矩阵A=的逆矩阵A1=，则行列式的值为7二项式（x2）6的展开式中的常数项为8某人每次投篮投中的概率为，若此人连续投3次，则至少有2次投中的概率为9已知6件产品中有2件次品，现每次随机抽取1件产品做检测，检测后不放回，则检测3次且恰在第3次检测出第2件次品的方法数是（用数字作答）10已知i是虚数单位，复数z满足|z1|=1，则|z2i|的最大值是11设Sn=23n+23n3C+23n6C+23C+1，则S2016被5除所得的余数是12已知曲线C的参数方程为（02）M是曲线C上的动点，N（0，1），则MN的最小值为13我们可以将1拆分如下：1=+，1=+，1=+，以此类推，可得：1=+，

3、其中m，nN*，且mn，则满足C=C的正整数t的值为14已知集合P=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若集合P的子集M满足：M含有4个元素，且对a，bM，都有|ab|1，则这样的子集M的个数为二、解答题（本大题6小题，共90分）15有5名男生和甲、乙2名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？（1）女生甲排在正中间；（2）2名女生不相邻；（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；（4）2名女生中间恰有1名男生16已知圆C的坐标方程为2+2（sin+cos）4=0以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求圆C

4、的半径；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求AB的长17已知x，yR，向量=是矩阵A=的属于特征值2的一个特征向量（1）求矩阵A以及它的另一个特征值；（2）求曲线F：9x22xy+y2=1在矩阵A对应的变换作用下得到的曲线F的方程18盒中共有9个球，其中红球、黄球、篮球各3个，这些球除颜色完全相同，从中一次随机抽取n个球（1n9）（1）当n=3时，记“抽取的三个小球恰有两个小球颜色相同”为事件A，求P（A）；（2）当n=4时，用随机变量X表示抽到的红球的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）19已知集合A=1，2，B=1，2，4n（nN*），设C=（x，y）|x整除y或y整除x，xA，yB

5、，令f（n）表示集合C所含元素的个数（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）由（1）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想20设（1+mx）n=a0+a1x+a2x2+anxn，xN*（1）当m=2时，若a2=180，求n的值；（2）当m=，n=8时，求（a0+a2+a4+a6+a8）2（a1+a3+a5+a7）2的值；（3）当m=1，n=2016时，求S=的值2015-2016学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题每题5分，共70分）1已知i是虚数单位，z=，则z的模|z|=【考点】复数求模【分析】化简z，求出z的模即可【解答

6、】解：z=12i，z的模|z|=，故答案为：2若3位同学分别从4门课程中选修1门，且选修的课程均不相同，则不同的选法共有24种（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】从4门中选3门分配给3位同学即可【解答】解：3位同学分别从4门课程中选修1门，且选修的课程均不相同，则不同的选法共有A43=24种，故答案为：243用反证法证明命题：“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除【考点】反证法【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故

7、用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故答案为：a，b都不能被5整除4二项式（）5的展开式的各项的二项式系数的和为32【考点】二项式系数的性质【分析】二项式展开式的各项的二项式系数的和为2n，由此求出结果【解答】解：二项式（）5的展开式的各项的二项式系数的和为：25=32故答案为：325观察下列等式；12=1，32=2+3+4，52=3+4+5+6+7，72=4+5+6+7+8+9+10，由此可归纳出一般性的等式：当nN*时，（2n1）2=n+（n+1）+（n+2）+（3n2）【考点】归纳

8、推理【分析】根据已知中的等式，分析出式子两边数的变化规律，可得结论【解答】解：由已知中的等式；12=1，32=2+3+4，52=3+4+5+6+7，72=4+5+6+7+8+9+10，由此可归纳可得：等式左边是正奇数的平方，即，（2n1）2，右边是从n开始的2n1个整数的和，故第n个等式为：（2n1）2=n+（n+1）+（n+2）+（3n2），故答案为：（3n2）6已知矩阵A=的逆矩阵A1=，则行列式的值为【考点】逆变换与逆矩阵【分析】由AA1=E，列方程组求得逆矩阵A1，即可求得行列式的值【解答】解：由AA1=E，即：，解得，=，故答案为：7二项式（x2）6的展开式中的常数项为3【考点】二项

9、式系数的性质【分析】首先写出展开式的通项并化简，令字母指数为0，得到取常数项时的r值，计算即可【解答】解：二项式（x2）6的展开式中的通项为=，当123r=0即r=4时为常数项，即=3；故答案为：38某人每次投篮投中的概率为，若此人连续投3次，则至少有2次投中的概率为【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】由题意知，它是一个二项分布，利用二项分布的概率公式【解答】解：至少2次投中的概率为： +=，故答案为：9已知6件产品中有2件次品，现每次随机抽取1件产品做检测，检测后不放回，则检测3次且恰在第3次检测出第2件次品的方法数是16（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分

10、析】由题意，第3次为次品，第1，2次，有一个次品，利用排列组合知识，即可求出检测3次且恰在第3次检测出第2件次品的方法数【解答】解：由题意，第3次为次品，第1，2次，有一个次品，则检测3次且恰在第3次检测出第2件次品的方法数是C21C41A22=16，故答案为：1610已知i是虚数单位，复数z满足|z1|=1，则|z2i|的最大值是+1【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周上所以|z2i|的最大值是点（1，0）与点（0，2）的距离加上半径1【解答】解：由|z1|=1，所以复数z对应的点在以（1，0）为圆心，以1为半

11、径的圆周上，所以|z2i|的最大值是点（1，0）与点（0，2）的距离加上半径1，即为+1=+1，故答案为： +111设Sn=23n+23n3C+23n6C+23C+1，则S2016被5除所得的余数是1【考点】二项式定理的应用；整除的基本性质【分析】把S2016=（101）2016 按照二项式定理展开，可得它除以5的余数【解答】解：由题意可得Sn=23n+23n3C+23n6C+23C+1=（23+1）n=9n=（101）n=10n10n1+10n2+10（1）n1+（1）n，S2016=（101）2016=+10+1由于除了最后一项，其余的各项都能被5整除，故它除以5的余数为1，故答案为：11

12、2已知曲线C的参数方程为（02）M是曲线C上的动点，N（0，1），则MN的最小值为【考点】参数方程化成普通方程【分析】M（sin，cos2），代入两点间的距离公式得出|MN|关于的函数，根据cos的取值范围得出|MN|的最小值【解答】解：M是曲线C上的动点，M（sin，cos2）|MN|2=sin2+（cos2+1）2=cos4+2cos2+sin2+1=cos4+cos2+2=（cos2+）2+0cos21，当cos2=0时，|MN|2取得最小值2|MN|的最小值为故答案为：13我们可以将1拆分如下：1=+，1=+，1=+，以此类推，可得：1=+，其中m，nN*，且mn，则满足C=C的正整数

13、t的值为43【考点】归纳推理【分析】根据已知将分母进行拆分，根据裂项法，求出m，n的值，代入足C=C，根据排列组合的性质可求得t的值【解答】解：1=+，2=12，6=23，30=56，42=67，56=78，72=89，90=910，110=1011，132=1112，1=+=（1）+（）+，+=，中m，nN*，且mn，解得m=13，n=30，C=C，m+n=t，t=43，故答案为：4314已知集合P=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若集合P的子集M满足：M含有4个元素，且对a，bM，都有|ab|1，则这样的子集M的个数为37【考点】子集与真子集【分析】按顺序把满足条件的所有可能列举

14、即可【解答】解：含四元素，且对a，bM，都有|ab|1，有：1，3，5，7，1，3，5，8，1，3，5，9，1，3，5，10，1，3，6，8，1，3，6，9，1，3，6，10，1，3，7，9，1，3，7，10，1，3，8，10，1，4，6，8，1，4，6，9，1，4，6，10，1，4，7，9，1，4，7，10，1，4，8，10，1，5，7，9，1，5，7，10，1，5，8，10，1，6，8，10，2，4，6，8，2，4，6，9，（2，4，6，10，2，4，7，9，2，4，7，10，2，4，8，10，2，5，7，9，2，5，7，10，2，5，8，10，2，6，8，10，3，5，7，9，3，5，7

15、，10，3，5，8，10，3，6，8，10，4，5，7，9，4，5，7，10，4，6，8，10：共37个，故答案为：37二、解答题（本大题6小题，共90分）15有5名男生和甲、乙2名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？（1）女生甲排在正中间；（2）2名女生不相邻；（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；（4）2名女生中间恰有1名男生【考点】计数原理的应用【分析】（1）优先安排甲，其他任意排问题得以解决（2）利用插空法，先排5名男生，然后在这5人形成的6个间隔中插入2名女生即可，问题得以解决（3）先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，再排5名男生，问题得以解决（4）选1名男生

16、排在2名女生中间，将这3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，问题得以解决【解答】解：（1）女生甲排在中间，其余6人有种排法，因此不同排法种数为 （2）将5名男生排成一排，有种排法；2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有种排法，因此不同排法种数为 （3）先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，有种排法；再排5名男生，将5名男生在剩下的5个位置上进行排列的方法数有种，因此不同的排法种数为 （4）选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将这3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有种，又因为2名女生有种排法，因此不同的排法种数为 答：分别有720，36

17、00，2520和1200种不同的排法 16已知圆C的坐标方程为2+2（sin+cos）4=0以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求圆C的半径；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求AB的长【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）圆C的极坐标方程即2+2sin+2cos4=0，利用即可化为直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为直线l的普通方程为x+2y2=0，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，利用AB=2即可得出【解答】解：（1）圆C的极坐标方程即2+2sin

18、+2cos4=0，则圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x+2y4=0，即（x+1）2+（y+1）2=6，所以圆C的半径为（2）直线l的参数方程为（t为参数）化为直线l的普通方程为x+2y2=0，由（1）知，圆C的圆心为C（1，1），圆心C到直线l的距离d=AB=2=2=2，即AB的长为217已知x，yR，向量=是矩阵A=的属于特征值2的一个特征向量（1）求矩阵A以及它的另一个特征值；（2）求曲线F：9x22xy+y2=1在矩阵A对应的变换作用下得到的曲线F的方程【考点】特征向量的意义；几种特殊的矩阵变换【分析】（1）由已知，得A=2，利用矩阵变换得到，求得x，y的值，代入矩阵可得矩阵A的特征多

19、项式，进一步求得另一个特征值；（2）设P（x0，y0）为曲线F上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P（x0，y0），由矩阵变换把P的坐标用P的坐标表示，再由点P在曲线F上得答案【解答】（1）由已知，得A=2，即，即，得矩阵 从而矩阵A的特征多项式，则矩阵A的另一个特征值为1； （2）设P（x0，y0）为曲线F上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P（x0，y0），则，即，又点P在曲线F上，故有，整理得，曲线F的方程为x2+2y2=1 18盒中共有9个球，其中红球、黄球、篮球各3个，这些球除颜色完全相同，从中一次随机抽取n个球（1n9）（1）当n=3时，记“抽取的三个小球恰有两个小球颜色相同”

20、为事件A，求P（A）；（2）当n=4时，用随机变量X表示抽到的红球的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由已知利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的三个小球恰有两个小球颜色相同的概率（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布和数学期望E（X）【解答】解：（1）（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，随机变量X的概率分布为：X0123P因此随机变量X的数学期望19已知集合A=1，2，B=1，2，4n（nN*），设C=（x，y）|x整除y或y整除x，xA，yB，令f

21、（n）表示集合C所含元素的个数（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）由（1）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想【考点】数学归纳法；函数的值【分析】（1）列举出所有符合条件的元素，（2）验证n=1时猜想是否成立，假设n=k时猜想成立，则n=k+1时，C中多出的元素是可数的，即可验证n=k+1时，猜想是否成立【解答】解：（1）当n=1时，C=（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，4），（2，1），f（1）=7；当n=2时，C=（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，2），（2，4），（

22、2，6），（2，8），（2，1），f（2）=13；当n=3时，C=（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（1，10），（1，11），（1，12），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（2，1），f（3）=19（2）猜想：f（n）=6n+1当n=1时，由（1）知f（1）=7=61+1，结论成立；假设当n=k（k1，kN*）时，结论成立，即f（k）=6k+1，那么当n=k+1时，C中新增加的元素为（1，4k+1），（1，4k+2），（1，4k+3），（1，4k+4），（2，4k+2），（2

23、，4k+4），所以f（k+1）=f（k）+4+2=6k+1+6=6（k+1）+1，所以当n=k+1时，结论也成立根据和可知，f（n）=6n+1当nN*时都成立20设（1+mx）n=a0+a1x+a2x2+anxn，xN*（1）当m=2时，若a2=180，求n的值；（2）当m=，n=8时，求（a0+a2+a4+a6+a8）2（a1+a3+a5+a7）2的值；（3）当m=1，n=2016时，求S=的值【考点】二项式系数的性质【分析】（1）利用x2的系数为180得到关于n的方程解之；（2）利用赋值法，将x分别赋值为1和1，得到各项系数关系，对所求分解因式求值；（3）将m，n代入，求出ak，分析S表达式，得到即，k=0，1，2，2016 从而累加求和【解答】解：（1）当m=2时，即，解得n=10或n=9（舍），所以n的值为10 （2）当，n=8时，令x=1，则，令x=1，则，所以（3）当m=1，n=2016时，则，k=0，1，2，2016，所以 考虑=，即，k=0，1，2，2016 所以=故的值为 2016年8月27日专心-专注-专业