高数积分总结(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高数积分总结一、 不定积分1、 不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一,都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作。性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则。性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则。2、 换元积分法(1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，可导，则有换元公式。例：求解 将代入，既得(2)

2、 第二类换元法：定理2：设是单调的、可导的函数，并且又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数。例：求解 ，设，那么，于是，且，3、 分部积分法定义：设函数及具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为移项得 对这个等式两边求不定积分，得此公式为分部积分公式。例：求解 分部积分的顺序：反对幂三指。4、 有理函数的积分例：求解 ，故设其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得 即 比较上式两端同次幂的系数，既有从而解得 于是其他有些函数可以化做有理函数。5、积分表的查询二、 定积分1、 定积分的定义和性质（1）定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成n个小区间各个小区间的长度依次为

3、在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和记，如果不论对怎么划分，也不论在小区间上点怎么选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分)，记作，即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。定理1：设在区间上连续，则在上可积。定理2：设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。（2） 性质1： 性质2： (k是常数) 性质3：设，则 性质4：如果在区间上，则 性质5：如果在区间上，则 推论1：如果在区间上，则 推论2： 性质6：设M及m分别是函数在区间上的最大值和最小值，则 性质7(定积分中

4、值定理)：如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点，使下式成立2、 微积分基本公式(1) 积分上限函数及其导数定理1：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数定理2：如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。(2) 牛顿-莱布尼茨公式定理3：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则3、 定积分的换元法和分部积分法(1) 定积分的换元法定理： 假设函数在区间a,b上连续，函数x=(t)满足条件:()=a,()=b;(t)在,上具有连续导数，且其值域=a,b,则有 (1)公式(1)叫做定积分的换元公式(2)定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得三、

5、 反常积分（一）无穷限的反常积分定义1 设函数法f(x)在区间a,)上连续，取ta,如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,)上的反常积分，即（二）无界函数的反常积分定义2 设函数f(x)在(a,b上连续，点a为f(x)的丅点。取ta,如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的反常积分，仍然记作，即=例题讨论反常积分的收敛性。解：被积函数f（x）=在积分区间-1,1上除x=0外连续，且由于即反常积分发散，所以反常积分发散定积分的积分区间是有限区间，又在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：1.无穷区间上的反常积分（1）概念定义

6、：若极限存在，则称反常积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分是发散的，而发散的反常积分没有值的概念.同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断的收敛性不能用的极限存在性.必须要求和两个反常积分都收敛，才能知道是收敛的，但是如果已经知道是收敛的，而求它的值，那么计算是可以的.（2）常用公式，2.无界函数的反常积分（瑕积分）（1）概念：设在内连续，且，则称b为的瑕点，定义若极限存在，则称反常积分收敛，且它的值就是极限值.若极限不存在，则称反常积分发散，发散的反常积分没有值的概念.设在内连续，且，则称a为的瑕

7、点，定义若极限存在，则称反常积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称反常积分发散，它没有值.设在和皆连续，且，则称c为的瑕点，定义(值得注意：这里判别收敛性时，和要独立地取极限，不能都用来代替)若上面两个极限都存在时才称反常积分是收敛的，否则反常积分发散.（2）常用公式：类似地考虑和最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题一、用常规方法计算定积分【例1】求下列定积分（1）（2）（3）解（1）（2）（3）令时；时，于是【例2】计算下列定积分（分段函数）（1）（2）（3）解（1）（2）（3）二、用特殊方

8、法计算定积分【例1】计算下列定积分（1）（f为连续函数，）（2）解（1）令，则（2）令，则【例2】设连续函数满足，求解令，则，两边从1到e进行积分，得于是则三、递推公式形式的定积分【例1】设求证当时，求解（1），则（2）当，正偶数时，当，正奇数时，【例2】设，求证： 证令则【例3】设求证：求解（1）（2），当，正整数时四、 重积分（一）二重积分的性质与概念定义：设D是面上的有界闭区域，在D上有界，将区域D任意分成n个小闭区域，其中既表示第i个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域上任意取一点，作n个乘积，然后作和式记，如当时，以上和式有确定的极限，则称该极限为在区域D上的二重积分，记作或，即其中

9、称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分变量，D称为积分区域，称为积分和式几何意义当时，等于以区域D为底，曲面为顶的曲顶柱体体积；当时，等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数；当时，等于区域D的面积。1.二重积分的性质存在性：若在有界闭区域D上连续，则存在线性性质：区域可加性设，即，且与只在它们的边界上相交，则：有序性若在区域D上，则有：特殊地，有估值不等式设在区域D上有最大值M，最小值m，是D的面积，则有：积分中值定理设函数在有界闭区域D上连续，是D的面积，则至少存在一点，使例1 试用二重积分表示极限.解：.例2 估计的值，其中解：因为，积分区域，在D上的最大值，最小值，故:（二）二

10、重积分的计算（一）直角坐标系X型区域将区域D投影到x轴上，投影区间为，D的边界上下两条曲线，则D表示为：y型区域将区域D投影到y轴上，投影区间为，D的边界上下两条曲线，则D表示为：例1 计算为，其中D是由直线所围成的闭区域。解：（三） 二重积分的计算（二）极坐标系极点在D外，则D:极点在D的边界上，则D:极点在D内：例1 计算，其中D为由圆及直线所围成的平面闭区域解：因为所以五、 曲面和曲线积分（一）对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）1、定义 ， 2、物理意义 线密度为的曲线质量为 线密度为的曲线质量为3、几何意义 曲线的弧长，曲线的弧长4、若：（常数），则5、计算（上限大于下限）（1）

11、，则（2）：，则（3）：，则（4），则(二)、对坐标的曲线积分1、定义 2、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1），则（2）：，则（3）：，则（4），则3、两类曲线积分之间的联系其中，为有向曲线弧上点处的切线向量的方向角。，其中为有向曲线弧上点处切向量的方向角。(三)、格林公式及其应用1、格林公式 其中是的取正向的整个边界曲线2、平面上曲线积分与路径无关的条件（为单连通区域）定理 设是单连通闭区域，若在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：(i) 沿内任一按段光滑封闭曲线，有；(ii) 对内任一光滑曲线，曲线积分与路径无关，只与的起点和终点有关；(iii) 是内某一函数的全微分，

12、即在内有；(iv) 在内处处成立 注 若 则的全微分： 或 (四)、对面积的曲面积分1、定义 2、物理意义：表示面密度为的光滑曲面的质量。3、几何意义 曲面的面积4、若：（常数），则=5、计算（一投、二代、三换元）（1）， ，则 （2），则（3），则。(五)、对坐标的曲面积分1、定义 2、物理意义 流量。3、计算（一投、二代、三定号）（1），则（上侧取正，下侧取负）（2）:，则（前侧取正，后侧取负）（3）:，则（右侧取正，左侧取负）4、两类曲面积分之间的联系，其中为有向曲面上点处的法向量的方向余弦(六)、高斯公式1、高斯公式 其中为的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向角。2、通量 向量场，沿场中有向曲面称为向量场向正侧穿过曲面的通量3、散度 设，则(七)、斯托克斯公式1、Stokes公式 =其中有向曲线是有向曲面的整个边界，且满足右手系法则2、环流量 向量场沿场中某一封闭的有向曲线上的曲线积分称为向量场沿曲线按所取方向的环流量。3、旋度 向量为向量场的旋度。旋度 专心-专注-专业