(完整版)导数计算公式.pdf

导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数： (1)yf(x)c；(2)yf(x)x；(3)yf(x)x2；(4)yf(x)1x；(5)yf(x)x.问题：上述函数的导数是什么？提示： （1） y xf x x f x xcc x0，y lim x0 y x0.2)(x)1，(3)(x2)2x，(4)1x1x2，(5)(x)12 x.函数(2)(3)(5)均可表示为 yx( Q*)的形式，其导数有何规律？提示： (2)(x)1 x11， (3)(x2)2 x21， (5)( x)(x12)12x11212 x，(x)x1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数 ) f(x)0 f(x)x ( Q*) f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax f (x)axln a f(x)ex f (x)ex f(x)logax f (x)1xln af(x)ln x f (x)1x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 二、导数运算法则已知 f(x)x，g(x)1x.问题 1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？问题 2：试求 Q(x)x1x，H(x)x1x的导数提示： y(x x)1x x x1x x xx x x， y x11x x x，Q(x)lim x0 y xlim x011x x x11x2.同理 H(x)11x2.问题 3：Q(x)，H(x)的导数与 f(x)，g(x)的导数有何关系？提示： Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和， H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差导数运算法则1f(x) g(x)f(x) g(x)2f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3.f xg xf x g x f x g xg x 2(g(x)0)题型一 利用导数公式直接求导例 1求下列函数的导数： (1)y10 x；(2)ylg x；(3)xy21log；(4)y4x3；(5)12cos2sin2xxy.解(1)y(10 x)10 xln 10；(2)y(lg x)1xln 10；(3)y1xln 121xln 2；(4)y(4x3)344x；(5)y sin x2cos x22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 1sin2x22sinx2cosx2cos2x21sin x，y(sin x)cos x.练习 求下列函数的导数：(1)y1ex；(2)y110 x；(3)ylg 5；(4)y3lg3x；(5)y2cos2x21.解： (1)y1ex1exln1e1ex ex；(2)y110 x110 xln110ln 1010 x10 xln 10；(3)ylg 5 是常数函数， y(lg 5)0；(4)y3lg3xlg x，y(lg x)1xln 10；(5)y2cos2x21cos x，y(cos x)sin x.题型二 利用导数的运算法则求函数的导数例 2求下列函数的导数：(1)yx3ex；(2)yxsinx2cosx2；(3)yx2log3x；(4)yex1ex1.解(1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(2)yx12sin x，yx12(sin x)112cos x.(3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x1xln 3.(4)y ex1 ex1 ex1 ex1 ex12exex1 ex1 exex122exex12.练习 求下列函数的导数：(1)ycos xx；(2)yxsin xx；(3)y1x1x1x1x；(4)ylg x1x2.解： (1)ycos xxcos x xcos x x x2xsin xcos xx2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - xsin xcos xx2.(2)y(xsin x)(x)sin xxcos x12 x.(3)y1x21x1x21x22x1x41x2，y41x2 4 1x 1x241x2.(4)ylg x1x2(lg x)1x21xln 102x3.题型三 导数几何意义的应用例 3(1)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为 _(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：yx310 x13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为_解析(1)y5ex，所求曲线的切线斜率ky|x05e05，切线方程为 y(2)5(x0)，即 5xy20.(2)设点 P 的坐标为 (x0，y0)，因为 y3x210，所以 3x20102，解得x02. 又点 P 在第一象限内，所以x02，又点 P 在曲线 C 上，所以 y023102131，所以点 P 的坐标为 (2,1)(1)5xy20(2)(2,1)练习 若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点 (0，m)处有公切线，则 ab_.解析： f(x)asin x，g(x)2xb，曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点 (0，m)处有公切线，f(0)ag(0)1，且 f(0)0g(0)b，ab1.答案： 11.切线方程的求法典例已知 aR，函数 f(x)x33x23ax3a3，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解由已知得 f(x)3x26x3a，故 f(1)363a3a3，且 f(1)133a3a31.故所求切线方程为y1(3a3)(x1)，即 3(a1)xy43a0.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 一、已知斜率，求切线方程此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程例：求与直线 x4y10 垂直的曲线 f(x)2x21 的切线方程解：所求切线与直线 x4y10 垂直，所以所求切线的斜率k4.设切点坐标为 (x0， y0)， 则 f(x0)4x04， 即 x01.所以切点坐标为 (1,1)故所求切线方程为y14(x1)，即 4xy30.二、已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程例：求过曲线 f(x)x32x 上的点 (1，1)的切线方程解：设切点坐标为 (x0，y0)，因为 f(x)3x22，所以 f(x0)3x202，且 y0f(x0)x302x0.所以切线方程为 yy0(3x202)(xx0)，即 y(x302x0)(3x202)(xx0)因为切线过点 (1，1)，故1(x302x0)(3x202) (1x0)即 2x303x2010，解得 x01 或 x012，故所求切线方程为xy20 或 5x4y10.三、已知过曲线外一点，求切线方程这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程例：已知函数 f(x)x33x，过点 A(0,16)作曲线 yf(x)的切线，求切线方程解：由题意知点 A(0,16)不在曲线 f(x)x33x 上，设切点坐标为M(x0，y0)则 f(x0)3x203，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 故切线方程为 yy03(x201)(xx0)又点 A(0,16)在切线上，所以 16(x303x0)3(x201)(0 x0)，化简得 x308，解得 x02，即切点为 M(2，2)，故切线方程为 9xy160.课后练习1给出下列结论：(cos x)sin x； sin3cos3；若 y1x2，则 y1x；1x12x x.其中正确的个数是 ()A0 B1 C2D3解析： (cos x) sin x，所以错误；sin332，而320，所以错误；1x20 x2x42xx42x3，所以错误；1x0 x12x12x12x12x3212x x，所以正确答案： B2函数 ysin xcos x 的导数是 ()Aycos2xsin2x Bycos2xsin2xCy2cos xsin xDycos xsin x解析： y(sin xcos x)cos xcos xsin x(sin x)cos2xsin2x.3若 f(x)(2xa)2，且 f(2)20，则 a_.解析： f(x)4x24axa2，f(x)8x4a，f(2)164a20，a1.答案： 1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 4已知曲线 yx4ax21 在点(1，a2)处切线的斜率为8，则 a_.解析： y4x32ax，因为曲线在点 (1，a2)处切线的斜率为 8，所以 y|x142a8，解得 a6.答案： 65求下列函数的导数：(1)yxx21x1x3；(2)y1cos xx2；(3)y(4xx)(ex1)解：(1)yx x21x1x3x311x2，y3x22x3.(2)y1cos x x2 1cos x x2x4xsin x2cos x2x3.(3)法一：y(4xx)(ex1)4xex4xxexx， y(4xex4xxexx)(4x)ex4x(ex)(4x)xexx(ex)xex4xln 44xex4xln 4exxex1ex(4xln 44x1x)4xln 41.法二： y(4xx)(ex1)(4xx)(ex1)(4xln 41)(ex1)(4xx)exex(4xln 44x1x)4xln 41.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -