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1 / 8 导数一、导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数y 相应地有增量y=f（x0+x ）f （x0） ，比值xy叫做函数 y=f （x）在 x0到 x0+x 之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做f （x）在点 x0处的导数，记作f （x0）或 y|0 xx。f (x0)=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。例、 若kxxfxxfx)()(lim000，则xxfxxfx)()2(lim000等于（） A k2 B k C k21 D 以上都不是变式训练：设函数)(xf在点0 x处可导，试求下列各极限的值1xxfxxfx)()(lim000；2.2)()(lim000hhxfhxfh3若2)(0 xf，则kxfkxfk2)()(lim000=？二、导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x0，f （x0） ）处的切线的斜率是 f （x0） 。切线方程为 yy0=f/（x0） （xx0） 。三、导数的运算1基本函数的导数公式 : 0;C（C为常数）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2 / 8 1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 习题： 求下列函数的导数：（8 分钟独立完成）（1）( )f x（2）4( )f xx（3）( )f xx（4）( )sinf xx（5）( )cosf xx（6）( )3xf x（7）( )xf xe（8）2( )logf xx（9）( )lnf xx（10）1( )f xx（11）31cos44yx（12）1xyx（13）lgxyxe（14）3cosyxx2、导数的四则运算法则：)()( )()()()( )()(xgxfxgxfxgxfxgxf)()()()()()()()()()()( )()(2xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf练习： 求下列函数的导数：（1）xxy22；（2）xxyln；（3）xxysin；（4）xxyln。（5）xxysin；（6）xxyln2。3、复合函数求导：如果函数)(x在点 x 处可导，函数 f (u) 在点 u=)(x处可导，则复合函精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 3 / 8 数 y= f ( u) =f )(x 在点 x 处也可导，并且 (f )(x) =)(xf)(x例、求下列函数的导数（1）y=x21cos x（2）y=ln ( x+21x) 练习： 求下列函数的导数（1）y=2)13(1x（2）y=sin （3x+4）常考题型：类型一、求导数相关问题例 1、若曲线 yex上点 P处的切线平行于直线2xy10，则点 P的坐标是_例 2、曲线 yxex1在点(1 ，1)处切线的斜率等于 ( ) A2e B e C2 D 1 例 3、2014新课标全国卷 设曲线 yaxln( x1) 在点(0 ，0)处的切线方程为 y2x，则 a( ) A0 B 1 C 2 D 3 类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例 1. 曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程（二）已知切点斜率，求切线方程例 2. 与直线240 xy的平行的抛物线2yx的切线方程（三）已知曲线外一点，求切线方程例 3. 求过点(2 0)，且与曲线1yx相切的直线方程（四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例 4. 求过曲线32yxx上的点(11)，的切线方程变式训练：1、2014 广东卷 曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为 _2、2014江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数 )过点 P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 4 / 8 的值是 _3、与直线1yx0 平行, 且与曲线 y132x相切的直线方程类型三、求单调区间及极值、最值考点一 求不含参数的函数的单调区间例 1. 求函数 y=x2(1 x)3的单调区间 . 变式训练：1. 函数xxyln的单调递减区间是（）A),(1eB),(1eC),0(1eD ),(e2. (05 年广东高考题 )函数32( )31fxxx是减函数的区间为 ( ) （）(2,)（）(,2)（）(,0)（）(0,2)考点二 求含参数的函数的单调区间考例 1、已知函数21( )ln(1)2f xxmxmx ， mR 当0m时，讨论函数( )f x的单调性 . 例 2、设函数 f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中求 f(x) 的单调区间；例3、设函数 f ( x)=ax( a+1)ln( x+1)，其中 a-1 ，求f ( x) 的单调区间。变式训练：1、2014山东卷 设函数 f (x) aln xx1x1，其中 a 为常数(1) 若 a0，求曲线 yf ( x)在点(1，f (1) 处的切线方程；(2) 讨论函数 f ( x) 的单调性2、 【2014安徽卷 】设函数 f (x) 1(1a) xx2x3，其中 a0. (1) 讨论 f ( x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例 1、2014 新课标全国卷 若函数 f (x) kxln x 在区间 (1， )单调递增，则 k 的取值范围是 ( ) A( ， 2 B ( ， 1 C2 ， ) D 1 ， ) 例 2、2014 全国新课标卷 已知函数 f (x) ax33x21，若 f ( x) 存在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 5 / 8 唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是 ( ) A(2， ) B (1， ) C( ， 2) D ( ， 1) 例 3、2014辽宁卷 当 x 2，1 时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 5，3 B.6，98C 6，2 D 4，3 变式训练：（山东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题（数学文） ） 已知函数32( )f xaxbx的图像经过点(1,4)M，曲线在点M 处的切线恰好与直线90 xy垂直. （）求实数,a b的值；（）若函数( )f x在区间,1m m上单调递增，求 m的取值范围 . 考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤 : (1) 确定函数的定义域，求导数( )fx.(2) 求方程( )0fx的根.(3) 用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格. 检查( )fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(xf在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(xf在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(xf在这个根处无极值 .注: 可导函数( )yf x在0 xx处取得极值是0()0fx的充分不必要条件 . 例 1、已知函数xxbaxxfln42)(在311xx与处都取得极值（1）求a、b 的值；变式训练： 设1,2xx是lnfxaxbxx 函数的两个极值点 . （1）试确定常数 a 和 b 的值；（2）试判断1,2xx是函数fx的极大值点还是极小值点，并求相应极值. 例 2、 （06 安徽卷） 设函数32()fxxbxcx xR ，已知( )( )( )g xf xfx是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 6 / 8 奇函数。（）求 b、c的值。（）求( )g x的单调区间与极值。例 3、已知函数dxbacbxaxxf)23()(23的图象如图所示（I ）求dc,的值；（II ）若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx，求函数)(xf的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(xfy与mxxfy5)(31的图象有三个不同的交点，求m的取值范围例 4、2014江西卷 已知函数 f ( x)(x2bxb)12x(bR ) (1) 当 b4 时，求 f ( x)的极值；(2) 若 f ( x) 在区间 0，13上单调递增，求 b 的取值范围变式训练：1、 已 知 函 数( )f xxb的 图 象 与 函 数23)(2xxxg的 图 象 相 切 , 记( )( )( )F xf x g x. （）求实数 b的值及函数( )F x的极值；（）若关于x的方程kxF)(恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围 . 2、 （2011 全国文 20）已知函数32( )3(36 )124()f xxaxa xaaR( ) 证明：曲线( )0yf xx在(2,2)的切线过点；（）若00( )(1,3)f xxxx在处取得极小值，, 求a的取值范围 . 考点五：结合单调性求最值问题求函数在 , a b上最值的步骤：（1）求出( )f x在( , )a b上的极值 . （2）求出端点函数值( ),( )f af b. （3） 比较极值和端点值，确定最大值或最小值 . 例 1、(2010 年重庆卷 ) 已知函数 f(x) ax3x2bx( 其中常数 a，bR)，g(x)f(x) f (x) 是奇函数 (1) 求 f(x) 的表达式；(2) 讨论 g(x) 的单调性，并求g(x) 在区间 1,2 上的最大值与最小值例 2、设函数 f(x) ax3bxc(a 0) 为奇函数，其图象在点 (1，f(1)处的切线与直线 x6y70 垂直，导函数 f (x) 的最小值为 12. (1) 求 a，b，c 的值；(2) 求函数 f(x) 的单调递增区间，并求函数 f(x) 在 1,3 上的最大值和最小值例 3、已知函数21( )ln,( )(1),12f xxaxg xaxa（I ）若函数( ),( )fxg x在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 7 / 8 求实数a的取值范围；（II ）若(1, (2.71828)aeeL，设( )( )( )F xf xg x，求证：当12,1, x xa时，不等式12|()() | 1F xF x成立例 4、2014安徽卷 设函数 f ( x)1(1a) xx2x3，其中 a0. (1) 讨论 f ( x)在其定义域上的单调性；(2) 当 x0 ，1 时 ，求 f ( x) 取得最大值和最小值时的x 的值四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1、max)()(xfmDxxfm上恒成立在思路 2、min)()(xfmDxxfm上恒成立在例 1. 设函数32( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值求 a、b 的值；若对于任意的0 3x，都有2( )f xc成立，求 c 的取值范围例 2、已知函数1123323xaxxaxf，其中a为实数。已知不等式12axxxf对任意,0a都成立，求实数x的取值范围例 3、设函数)( ,2234Rxbxaxxxf，其中Rba,。若对于任意的2, 2a，不等式1xf在1 , 1上恒成立，求 b 的取值范围。例 4、若实数0a且2a，函数122213123xxaaxxf。（1）证明函数xf在1x处取极值，并求出函数xf的单调区间。（2）若在区间,0上至少存在一点0 x，使得10 xf，求实数a的取值范围。变式训练：1、 （2010辽宁文）已知函数2( )(1)ln1f xaxax. （）讨论函数( )f x的单调性；（）设2a，证明：对任意12,(0,)x x，1212|()()|4 |f xfxxx. 2、 已知函数f(x) x33|xa|(a0) 若f(x) 在 1， 1 上的最小值记为g(a) (1) 求 g(a) ；(2) 证明：当 x 1，1 时，恒有 f ( x)g( a)4. 3、设函数2( )(),f xxax aR. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 8 / 8 ( ) 若1x为函数( )yf x的极值点，求实数 a ；（）求实数 a的取值范围，使得对任意的x(,2，恒有( )f x4 成立. 4、设函数3221( )23(01,)3f xxaxa xbabR. （）求函数fx的单调区间和极值；（）若对任意的,2, 1aax不等式fxa成立，求 a 的取值范围。存在性问题：afx能成立minafx；maxafxafx能成立例 1、已知两函数2)(xxf，mxgx21)(，对任意2,01x，存在2, 12x，使得21)(xgxf，则实数 m的取值范围为例 2、已知两函数2728fxxxc，322440g xxxx。（1）对任意3,3x，都有fxg x) 成立，求实数c的取值范围；（2）存在3,3x，使fxgx成立，求实数c的取值范围；（3）对任意12,3,3xx，都有12fxg x，求实数c的取值范围；（4）存在12,3,3xx，都有12fxg x，求实数c的取值范围；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -