(完整版)第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式.pdf

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识批注 理解深一点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式S( )：sin( )sin cos cos sin . C( )：cos( ) cos cos ?sin sin . T( )：tan( )tan tan 1?tan tan ， ， 2 k ，k Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C( )同名相乘，符号反； S( )异名相乘，符号同；T( )分子同，分母反. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2二倍角公式S2：sin 2 2sin cos . C2：cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 . T2：tan 2 2tan 1tan2 k 2且 k24，kZ .二倍角是相对的，例如，2是4的二倍角， 3是32的二倍角二、常用结论汇总 规律多一点(1)降幂公式： cos2 1cos 22，sin2 1cos 22. (2)升幂公式： 1cos 2 2cos2 ，1cos 2 2sin2 . (3)公式变形： tan tan tan( )(1?tan tan )(4)辅助角公式： asin xbcos xa2b2sin(x )其中sin ba2b2，cos aa2b2. 三、基础小题强化 功底牢一点一 判一判 对的打“”，错的打“”(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ，是任意的 () (2)存在实数 ， ，使等式sin( )sin sin 成立 () (3)公式 tan( )tan tan 1tan tan 可以变形为tan tan tan( )(1 tan tan )，且对任意角 ，都成立 () (4)存在实数 ，使 tan 2 2tan .() 答案 ：(1)(2)(3)(4)(二)选一选精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1(2018 全国卷 )若 sin 13，则 cos 2 () A.89B.79C79D89解析： 选 Bsin 13， cos 2 12sin2 1213279. 2sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 () A32B.32C12D.12解析： 选 D原式 sin 20 cos 10 cos 20 sin 10 sin(20 10 )sin 30 12. 3设角 的终边过点 (2,3)，则 tan 4() A.15B15C5 D 5 解析：选 A由于角 的终边过点 (2,3)，因此 tan 32，故 tan 4tan 11tan 32113215. (三)填一填4已知 cos 1213， 0，2，则 cos 4_. 解析： cos 1213， 0，2， sin 1cos2 513，cos 4cos cos4sin sin41213225132217226. 答案 ：172265sin 15 sin 75 _. 解析： 依题意得 sin 15 sin 75cos 75 sin 752cos(75 45 ) 62. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 答案 ：62考点一三角函数公式的直接应用典例 (1)已知 sin 35， 2，tan 12，则 tan( )的值为 () A211B.211C.112D112(2)(2019呼和浩特调研)若 sin() 13，且2 ，则 sin 2的值为 () A2 29B429C.2 29D.429解析 (1)因为 sin 35， 2，所以 cos 1sin2 45，所以 tan sin cos 34. 所以 tan( )tan tan 1tan tan 211. (2)因为 sin( )sin 13，2 ，所以 cos 1sin2 223，所以 sin 2 2sin cos 213 2 234 29. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 答案 (1)A(2)B 解题技法 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用题组训练 1已知 sin 13cos ，且 0，2，则cos 2sin 4的值为 () A23B.23C13D.13解析： 选 A因为 sin 13cos ，所以 sin cos 13，所以cos 2sin 4cos2 sin2sin cos4cos sin 4cos sin cos sin 22sin cos 132223. 2已知 sin 45，且 2，32，则 sin2 3的值为 _解析： 因为 sin 45，且 2，32，所以 2，所以 cos 1sin2 145235. 因为 sin 2 2sin cos 2425，cos 2 2cos2 1725. 所以 sin 2 3sin 2 cos3cos 2 sin324 7 350. 答案 ：247 350考点二三角函数公式的逆用与变形用典例 (1)(2018全国卷 )已知sin cos 1，cos sin 0，则sin( )_. (2)计算： tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 _. 解析 (1)sin cos 1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - cos sin 0，22得 12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin 12，sin( )12. (2)原式 tan(25 35 )(1tan 25 tan 35 )3tan 25 tan 35 3(1tan 25 tan 35 )3tan 25 tan 35 3. 答案 (1)12(2)3 解题技法 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)公式的一些常用变形：sin sin cos( )cos cos ；cos sin sin( )sin cos ；1 sin sin2 cos22；sin 2 2sin cos sin2 cos22tan tan2 1；cos 2 cos2 sin2cos2 sin21tan21tan2. 提醒 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系(2)tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan( )(或 tan( )三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式公式顺用和逆用，变形运用加巧用；幂升一次角减半，升幂降次它为范；1 加余弦想余弦，1 减余弦想正弦题组训练 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1. 口诀第 1句 设 acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 ， b22(sin 56 cos 56 )，c1tan2391tan239，则 a，b，c 的大小关系是 () AabcBbacCcabDacb解析： 选 D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 cos 50 cos 127 sin 50 sin 127 cos(50 127 )cos(77 )cos 77 sin 13 ，b22(sin 56 cos 56 )22sin 56 22cos 56 sin(56 45 )sin 11 ， c1tan2391tan2391sin239cos2391sin239cos239cos239 sin239 cos 78 sin 12 .因为函数ysin x，x 0，2为增函数，所以 sin 13 sin 12 sin 11 ，所以 acb. 2. 口诀第 1句 已知 cos 6sin 4 35，则 sin 6_. 解析： 由 cos 6sin 4 35，可得32cos 12sin sin 435，即32sin 32cos 435，3sin 6435，即 sin 645. 答案 ：453. 口诀第 2、3句 化简 sin2 6sin2 6sin2的结果是 _解析： 原式1cos 2 321cos 2 32sin2112cos 2 3cos2 3sin21cos 2 cos 3sin21cos 221cos 2212. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 答案 ：12考点三角的变换与名的变换考法 (一)三角公式中角的变换典例 (2018 浙江高考改编 )已知角 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P 35，45.若角 满足 sin( )513，则 cos 的值为 _解析 由角 的终边过点P35，45，得 sin 45，cos 35. 由 sin( )513，得 cos( )1213. 由 ( ) ，得 cos cos( )cos sin( )sin ，所以 cos 5665或 cos 1665. 答案 5665或1665解题技法 1三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的配角技巧2 ( )( )， ( ) ， 2 2， 2 2， 2 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2等考法 (二)三角公式中名的变换典例 (2018 江苏高考 )已知 ，为锐角， tan 43，cos( )55. (1)求 cos 2的值；(2)求 tan( )的值解(1)因为 tan 43，tan sin cos ，所以 sin 43cos . 因为 sin2 cos2 1，所以 cos2 925，所以 cos 2 2cos2 1725. (2)因为 ，为锐角，所以 (0，) 又因为 cos( )55，所以 2，. 所以 sin( )1cos2 2 55，所以 tan( ) 2. 因为 tan 43，所以 tan 2 2tan 1tan2247. 所以 tan( )tan2 ( )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - tan 2 tan 1tan 2 tan 211. 解题技法 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦题组训练 1已知 tan 1tan 4，则 cos2 4() A.12B.13C.14D.15解析： 选 C由 tan 1tan 4，得sin cos cos sin 4，即sin2 cos2sin cos 4， sin cos 14， cos2 41cos 2 221sin 221 2sin cos 21214214. 2(2018 济南一模 )若 sin A47 210，A4，则 sin A 的值为 () A.35B.45C.35或45D.34解析： 选 BA4， A42，54，cos A41sin2A4210，sin AsinA44sinA4cos4cosA4sin445. 3已知 sin 45， 32，2，若sin cos 2，则 tan( ) () A.613B.136C613D136解析： 选 Asin 45， 32，2，cos 35. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 又sin cos 2，sin( )2cos( ) 展开并整理，得65cos( )135sin( )，tan( )613. 课时跟踪检测 A 级 保大分专练1sin 45 cos 15 cos 225 sin 165 () A1B.12C.32D12解析： 选 Bsin 45 cos 15 cos 225 sin 165 sin 45 cos 15 (cos 45 )sin 15 sin(45 15 )sin 30 12. 2若 2sin xcos2x 1，则 cos 2x() A89B79C.79D725解析： 选 C因为 2sin xcos2x 1，所以 3sin x 1，所以 sin x13，所以 cos 2x12sin2x79. 3(2018 山西名校联考 )若 cos 633，则 cos 3cos () A2 23B2 23C 1 D 1 解析： 选 Ccos 3cos 12cos 32sin cos 32cos 32sin 3cos 6 1. 4tan 18 tan 12 33tan 18 tan 12 () A.3 B.2 C.22D.33精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解析： 选 Dtan 30 tan(18 12 )tan 18tan 121tan 18tan 1233，tan 18 tan 12 33(1tan 18 tan 12 )，原式33. 5若 2，且 3cos 2 sin4，则 sin 2的值为 () A118B.118C1718D.1718解析： 选 C由 3cos 2 sin4 ，可得 3(cos2 sin2 )22(cos sin )，又由 2，可知 cos sin 0，于是 3(cos sin )22，所以 1 2sin cos 118，故sin 2 1718. 6已知 sin 2 13，则 cos2 4() A13B.13C23D.23解析： 选 Dcos2 41cos 2 221212sin 2 12121323. 7已知 sin212， 2，0 ，则 cos 3的值为 _解析： 由已知得 cos 12，sin 32，所以 cos 312cos 32sin 12. 答案 ：128(2019 湘东五校联考 )已知 sin( )12，sin( )13，则tan tan _. 解析： 因为 sin( )12，sin( )13，所以 sin cos cos sin 12，sin cos cos sin 13，所以 sin cos 512，cos sin 112，所以tan tan sin cos cos sin 5. 答案 ：5 9(2017 江苏高考 )若 tan 416，则 tan _. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解析： tan tan 44tan 4tan41tan 4tan416111675. 答案：7510化简：sin235 12cos 10 cos 80_. 解析：sin235 12cos 10 cos 801cos 70212cos 10 sin 1012cos 7012sin 20 1. 答案 ： 1 11已知 tan 2. (1)求 tan 4的值；(2)求sin 2sin2 sin cos cos 2 1的值解： (1)tan 4tan tan41tan tan42112 3. (2)sin 2sin2 sin cos cos 2 12sin cos sin2 sin cos 2cos2 1 12sin cos sin2 sin cos 2cos22tan tan2 tan 22222221. 12已知 ，均为锐角，且sin 35，tan( )13. (1)求 sin( )的值；(2)求 cos 的值解： (1) ， 0，2，2 2. 又 tan( )130，2 0. sin( )1010. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (2)由(1)可得， cos( )3 1010. 为锐角，且sin 35， cos 45. cos cos ( )cos cos( )sin sin( ) 453101035 101091050. B 级创高分自选1(2019 广东五校联考 )若 tan24cos(2 )，| |2，则 tan 2 _. 解析： tan24cos(2 )，cos sin 4cos ，又 | |2， sin 14，0 2，cos 154，tan sin cos 115，从而 tan 2 2tan 1tan2157. 答案 ：1572(2018 江西新建二中期中)已知 A，B 均为锐角， cos(AB)2425，sin B335，则 cos A3_. 解析： 因为 A，B 均为锐角， cos(AB)2425，sin B335，所以2AB ，2B3 ，所以 sin(AB)1cos2AB 725，cosB31sin2B345，可得 cos A3cosAB B32425 4572535117125. 答案：1171253(2019 石家庄质检 )已知函数 f(x)sinx12，xR. (1)求 f4的值；(2)若 cos 45， 0，2，求 f 2 3的值解： (1)f 4sin 412sin 612. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (2)f 2 3sin 2 312sin 2 422(sin 2 cos 2 )因为 cos 45， 0，2，所以 sin 35，所以 sin 2 2sin cos 2425，cos 2 cos2 sin2 725，所以 f2 322(sin 2 cos 2 )22242572517250. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -