解圆锥曲线离心率的求法大全(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。椭圆的离心率e（0，1），双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e=1一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。例. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( )A. B. C. D.解：由F1、F2的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，ac=1

2、，a+c=3，a=2，c=1,所以离心率e=.故选C.变式练习：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=,因此选C变式练习： 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得则。故选A。二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例. 已知F

3、1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D. 解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。由焦半径公式，即，得，解得，故选D。变式练习：设双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c，则双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D. 解：由已知，直线L的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 c，又c2=a2+b2, 4ab=c2,两边平方，得16a2(c2a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得 e

4、24或e2.又0a2，e24，e2.故选A.变式练习：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）解：如图所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0), F2(c,0),则|MF1|=|MF2|=.又|F1F2|2c，在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2,即cos120，b2c2a2，3a22c2，e2，e.故选B.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：如右图所示，有四、根据圆锥曲线

5、的统一定义求解例4.设椭圆+1 (ab0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是.解：如图1所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，ADl1于D，|AD|为F1到准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，e=， 即 e=.故填. 变式练习：五、构建关于e的不等式，求e的取值范围例5. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. （）另：由x2coty2tan=1，(0，)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan+cot,e21+ cot2,(0，)，cot21,e22，e.故选D.例6 如图，已知梯形ABCD中，

6、AB2CD，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率e的取值范围解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A(c，0)，C(，h),E(x0，y0)，其中c=AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点坐标公式得 x0，y0设双曲线的方程为1，则离心率e=. 由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得 1 ，将点E的坐标代入双曲线方程得()2()21 再将e=、得 1，1 ，()2()21 将式代入

7、式，整理得 （44）12，1由题设得，1解得e所以双曲线的离心率的取值范围为，练习：1.（天津理4） 设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为A.B.C.D.2.（全国2 文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）ABCD3.（2006全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 （A） (B) (C) (D)4（2006山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (A) (B) (C) (D)5（2006山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距

8、离为，则该双曲线的离心率为 (A) (B)2 (C) (D)26.（安徽理9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A）（B）（C）（D）7.（湖南文9）设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是A B. C. D. 8.（全国2理11）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(A) (B)(C) (D) 9.（2006福建卷）已知双曲线(a0,bb0），则有，据此求出e5.不妨设双曲线

9、方程为（a0，b0），则依题意有，据此解得e，选C6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。7.由已知P（），所以化简得8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 离心率，选B。9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=， e2，选C10.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则，该椭圆离心率e， D。设点为曲线上的点专心-专注-专业一椭圆的焦半径公式：到左焦点的距离：；到右焦点的距离：二双曲线的焦半径公式：到左焦点的距离：；到右焦点的距离：