二次函数动点题(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，2），与直线y=x交于点A（2，2），B（2，2）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN=，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由解答：（1）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，2），代入得：c=2，y=ax2+bx2，把A（2，2），B（2，2）代入得：，解得：， y=x2+x2（2）MN=，点A，B都在直

2、线y=x上，MN在直线AB上，MN在线段 AB上，M的横坐标为m如图1，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点HMHN是等腰直角三角形MH=NH=1 点N的坐标为（m+1，m+1）如图2，当m0时，PM=m，NQ=m+1（m+1）2+m+12=（m+1）2+2当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQm=（m+1）2+2解得：m=（不合题意舍去）或，如图3，当m0，PM=m，NQ=m+1（m+1）2+m+12=（m+1）2+2当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQm=（m+1）2+2解得：m=2（不合题意舍去）或2，当m=或m=2时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平

3、行四边形2如图1，抛物线y=mx211mx+24m （m0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC=90（1）填空：OB=_，OC=_；（2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值解答：（1）抛物线y=mx211mx+24m （m0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）抛物

4、线与x轴的交点坐标为：0=mx211mx+24m， 解得：x1=3，x2=8， OB=3，OC=8 ；（2） 连接AD，交OC于点E，四边形OACD是菱形，ADOC，OE=EC=8=4，BE=43=1，又BAC=90，ACEBAE，=，AE2=BECE=14，AE=2，点A的坐标为 （4，2）把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=mx211mx+24m，得m=，抛物线的解析式为y=x2+x12； （3） 直线x=n与抛物线交于点M，点M的坐标为 （n，n2+n12），由（2）知，点D的坐标为（4，2），则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x4，点N的坐标为 （n，n4），MN=（n2+n

5、12）（n4）=n2+5n8，S四边形AMCN=SAMN+SCMN=MNCE=（n2+5n8）4=（n5）2+9 当n=5时，S四边形AMCN=93如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB，（1）求该抛物线的解析式（2）求证：OAB是等腰直角三角形（3）将OAB绕点O按逆时针方向旋转135，得到OAB，写出AB的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由解答：（1）由A（4，0）、B（2，2）在抛物线y=ax2+bx图象上，得：解之得

6、：a=，b=2，该函数解析式为：y=x22x（2） 证明：过点B作BC垂直于X轴，垂足是点Cy=x22x=（x+2）2+2， 线段CO、CA、CB的长度均为2，ABC和OBC为全等的等腰直角三角形，AB=OB且ABO=ABC+OBC=90OAB是等腰直角三角形（3）解：如图，将OAB绕点O按逆时针方向旋转135，得到OAB其中点B正好落在y轴上且BAx轴 又OB和AB的长度为2，AB中点P的坐标为（，2），显然不满足抛物线方程，点P不在此抛物线上（4）解：存在过点O，作OMAB交抛物线于点M,易求出直线OM的解析式为：y=x联立抛物线解析式得： 解之得点M（6，6），显然，点M（6，6）关于对

7、称轴x=2的对称点M（2，6）也满足要求，故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（6，6）和（2，6）sABOM=SABO+sAOM=42+46=164如图（1），直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）当0x3时，

8、在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图（2）、图（3）供画图探究）解答：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2） y=x24x+3=（x2）21，对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，1），满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，21），M3（2，），M4（2，21）；（3）由（1），得A（1，0），连接BP，CBA=ABP=45，当=时，ABCPBQ，BQ=3Q1（0，0），当=时，ABCQBP，BQ= Q（，0）（4）当0x3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，x+3）

9、，点E（x，x24x+3），EF=x2+3x，SCBE=SCEF+SBEF=EFOB=x2+x=（x）2+，a=0，当x=时，SCBE有最大值，y=x24x+3=，E（，）5已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N将PMN沿直线MN

10、对折，得到P1MN在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒求S关于t的函数关系式解答：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由题意得，解得，二次函数的解析式为y=x28x+12，点P的坐标为（4，4）；（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形理由如下：当y=0时，x28x+12=0，x1=2，x2=6，点B的坐标为（6，0），设直线BP的解析式为y=kx+m 则，解得直线BP的解析式为y=2x12直线ODBP（4分）顶点坐标P（4，4）OP=4 设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6x）2 当BD=OP时，（2x）2+（6x）2=32，解

11、得：x1=，x2=2，当x2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去，当x=时四边形OPBD为等腰梯形，当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形；（3） 当0t2时，运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP=t，PH=t，MH=t，HN=t，MN=t，S=tt=t2，当2t4时，P1G=2t4，P1H=t，MNOBP1EFP1MN，=3t212t+12，S=t2（3t212t+12）=t2+12t12，当0t2时，S=t2，当2t4时，S=t2+12t126如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点

12、，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0），B（l，2），D（3，0）连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QEQC|最大？并求出最大值 解答：（1）BCAD，B（1，2），M是BC与x轴的交点，M（0，2），DMON，D（3，0），N（3，2），则， 解得，y=x2x+2；（2） 连接AC交y轴于G，M是BC的中点，AO=BM=MC，AB=BC=

13、2，AG=GC，即G（0，1），ABC=90，BGAC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，点P为直线BG与抛物线的交点，设直线BG的解析式为y=kx+b，则，解得，y=x+1，解得，点P（3+3，23）或P（33，2+3），（3） y=x2x+2=（x+）2+2，对称轴x=，令x2x+2=0，解得x1=3，x2=6，E（6，0）， 故E、D关于直线x=对称，QE=QD，|QEQC|=|QDQC|，要使|QEQC|最大，则延长DC与x=相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=的交点，由于M为BC的中点，C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx

14、+b，则，解得，y=x+3，当x=时，y=+3=，故当Q在（，）的位置时，|QEQC|最大，过点C作CFx轴，垂足为F，则CD=27如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，4），将点B绕点A顺时针方向90得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，PAC的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值解答：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，拋物线经过点B（4，4），4=a42，解得a=， 所以抛物线的解析式为：y=

15、x2；过点B作BEy轴于E，过点C作CDy轴于D，如图，点B绕点A顺时针方向90得到点C，RtBAERtACD，AD=BE=4，CD=AE=OEOA=41=3，OD=AD+OA=5，C点坐标为（3，5）；（2） 设P点坐标为（a，b），过P作PFy轴于F，PHx轴于H，如图，点P在抛物线y=x2上，b=a2，d1=a2， AF=OFOA=PHOA=d11=a21，PF=a，在RtPAF中，PA=d2= =a2+1， d2=d1+1；（3） 作直线y=1，过C点作y=1 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点由（1）得AC=5，PAC的周长=PC+PA+5 =PC+PH+6，要使PC+PH最小

16、，则C、P、H三点共线，此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=x2，得到y=，即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，PAC的周长的最小值=5+6=118请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DE的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60，探究PG与PC的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的

17、边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中ABC=BEF=2（090），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）解答：（1）CDGF，PDH=PFG，DHP=PGF，DP=PF，DPHFGP，PH=PG，DH=GF，CD=BC，GF=GB=DH，CH=CG，CPHG，ABC=60，DCG=120，PCG=60，PG：PC=tan60=，线段PG与PC的位置关系是PGPC，=；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CGP是线段DF的中点，FP=DP，ADCG，GFP=CDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，四边形ABCD是菱形，CD=CB，HDC=ABC=60，ABC=BEF=60，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，GBA=60，HDC=GBE，四边形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCHGF，HCD=120，CH=HB，PH=PG，PGPC，GCP=HCP=60，；（3） ABC=BEF=2（090），PCG=90，由（1）可知：PG：PC=tan（90），=tan（90）专心-专注-专业