二次函数背景下的相似三角形(共13页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1、 二次函数背景下的相似三角形知识梳理二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。 利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。【例题点拨】【例1】如图1-3，二次函数的图像与轴相交于点A、B，与轴相交于点C，经过点A的直线与轴相交于点D，与 直线BC垂直于点E，已知AB=3，求这个二次函数的解析式。【思路解析

2、】二次函数解析式中只有两个待定系数，因此只需要求出A，B两点的坐标代入解析式即可。已知线段AB=3，只要求出OA的长度便可知A，B两点的坐标。【点评】和有一个BCD为公共角，在这个基本图形下有6对直角三角形相似，找到OA，OB所在直角三角形BOC和DOA相似是解此题的关键。【例2】如图1-4，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为C，且在轴上截得的线段AB的长为6.（1） 求二次函数解析式；（2） 在轴上方的抛物线上，是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。【思路分析】根据已知条件线段AB的长为6和抛物线的对称轴，已知ABC

3、是底角为30的等腰三角形，若ABD和ABC相似，则AD=AB=6，ACB=DAB=120。解或者，便可求得D点的坐标。【点评】抛物线的对称轴是重要的性质也是本题的第一个难点，破解后便能发现ABC是特殊等腰三角形，继而联系到DAB也是特殊等腰三角形，运用边角之间的特殊关系便可求得D点的坐标。本题第（2）题还可用代数法。设D点坐标，则BD便能表示成含有的代数式，因为ABD与ABC相似，所以，将已知线段代入后解关于的方程便能求出D的坐标。【例3】如图1-5，已知AC=BC，ACB=90，点B的坐标为（1，0），抛物线A、B、C三点。（1） 求抛物线的解析式；（2） 过点A作APCB交抛物线于点P，求

4、四边形ACBP的面积；（3） 在轴上方轴左侧的抛物线是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A，M，G三点为顶点的三角形与PCA相似。若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【思路分析】第（3）题可知PCA是直角边的长度是1:3的直角三角形，若AMG和PCA相似，则AMG也是直角边的长度是1:3的直角三角形，设M。因为M在轴上方轴左侧的抛物线上，则线段AG和MG可分别表示为和，关于的方程便可轻松建立，然后求出M的坐标。【点评】若没有“点M在轴上方轴左侧的抛物线上”这一限制条件，则线段AG和MG可分别表示为和解方程时去绝对值出现四个一元二次方程，情况将更加复杂，解将更多。【例4】如图1-

5、6，在平面直角坐标系中，二次函数-的图像经过点A（4,0），C（0,2）。（1） 试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2,0）是否在该函数的图像上；（2） 设所求函数图像的对称轴与轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与ABC相似，试求点E的坐标。【思路分析】ABC的三个顶点都是定点，而CDE的两个顶点固定，第三点在定直线上，先排除点E在轴下方的可能性，当点E在轴上方时，可证CDE=CAO，相似三角形分类讨论只需考虑两种情况。【点评】很多学生看到两个三角形相似就会分三种情况讨论，找到很多本身并不存在的相似三角形，得到很多增根。其实首先应该分析三角形的形状特征：哪些角是定

6、角，哪些边长可求，有没有相等的角。这样分类讨论更加简明。【强化训练】1、 在直角坐标系，已知点A（3,3），点D（-4，-2），AB、CD都是与轴垂直，B、C是垂足。如果在线段BC上有一点P，使得PAB和PCD相似，求点P坐标。2、 已知：如图1-8，抛物线与轴分别相交于A，B两点，将AOB绕着点O逆时针旋90到AOB，且抛物线过点A，B。（1） 求A，B两点的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 点D在轴上，若以B、B、D为顶点的三角形与ABB相似，求点D的坐标。3、 如图1-9，直线OA与反比例函数的图像交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图像交于点B，与轴交于点C。（1

7、） 求直线BC的解析式；（2） 求经过A、B、C三点的二次函数解析式；（3） 设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D，对称轴与轴的交点为E。问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。4、 如图1-10，直线与轴分别相交于A，B两点，抛物线经过点A，顶点M在直线上。（1） 求的值；（2） 求抛物线的解析式；（3） 如果抛物线的对称轴与轴交于点N，那么对称轴上找一点P，使得OPN和AMN相似，求点P的坐标。5、 在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），过点A作AB轴，垂足为点B，AOB绕点O逆时针方向旋

8、转90，得到MON（如图111所示），若二次函数的图像经过点A、M、O三点。（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 如果把这个二次函数图像向右平移2个单位，得到新的二次函数图像与轴的交点为C，求tanACO 的值；（3） 在（2）的条件下，设新的二次函数图像的对称轴与轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标。6、 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向上平移1个单位，再沿轴向右平移2个单位，平移后 抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C。（1） 求ABC的面积；（2） 点P在平移后抛物线的对称轴上

9、，如果ABP与ABC相似，求所有满足条件的P点坐标。7、 已知：如图1-12，抛物线的顶点为D，与轴相交于点A，直线与轴也相交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12。（1） 求该抛物线的对称轴；（2） 若点的DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由。8、 如图1-13，已知二次函数的图像过点A（-1,3）和B（2,0），直线AB交轴于点C，二次函数图像的顶点为D。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若点P在直线AB上（不与点C重合），且AOCAPO，试求点P的

10、坐标。9、 在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（1，3），B（0，1）。（1） 求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2） 过点A作轴的平行线交抛物线于另一点C，求ABC的面积；在轴上取一点P，使ABP和ABC相似，求满足条件的所有P点坐标。10、 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（3，0)，B(2，3)，C(0，3）。（1） 求这个二次函数的解析式、顶点坐标和对称轴；（2） 连接AB、AC、BC，求ABC的面积；（3） 求BAC的正切值。11、 如图1-14，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线上。（1） 求的值；（2） 向右平移此抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点

11、 为B，若四边形AABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3） 记平移后抛物线的对称轴与直线AB的交点为点C，试在轴上找点D，使得以点B、C、D为顶点的三角形与ABC相似。12、 如图1-15，在直角坐标系中，抛物线与轴的公共点为A，点B、C在此抛物线上，AB轴，AOB=CO，OC=。（1） 求点A、B、C的坐标；（2） 求抛物线的顶点坐标。13、 已知直线在轴的截距为3，且过点A（2,1）。（1） 求这条直线的函数解析式；（2） 点P是此直线上的一点（与点A不重合），分别过点A、P作轴的垂线，垂直分别为，如果和相似，求出点P的坐标。14、 如图1-16，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A

12、、B两点，过点A作CAAB，CA=，并且作CD轴。（1） 求证：ADCBOA；（2） 若抛物线经过B、C两点。 求抛物线的解析式； 该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与轴的夹角为30，请直接写出点M的坐标。15、 如图117，已知一次函数与坐标轴交于A、B点，AE是BAO的平分线，过点B作BEAE，垂足为E，过E作轴的垂线，垂足为M。（1） 求证：M为OB的中点；（2） 求以E为顶点，且经过点A的抛物线解析式。16、 如图1-18，在直角坐标系中，点O为原点，直线与轴交于点A（3,0），与轴的正半轴交于点B，tanOAB=。（1） 求这直线的解析式；（2） 将OAB绕点A顺时

13、针旋转60后，点B落在点C的位置，求以点C为顶点且经过点A的抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与轴的另一个交点为点D，与轴的交点为E。试判断ODE是否与OAB相似？如果认为相似，请加以证明；如果不认为相似，也请说明理由。17、 如图1-19，已知二次函数的图像经过A（-2,0），B（4,0），C(0,3)三点，连接BC、AC，该二次函数图像的对称轴与轴相交于点D。（1） 求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式；（2） 在线段BC上是否存在点Q，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。18、 如图1-20，RtABO在

14、直角坐标系中，ABO=90，点A（-25，0），A的正切值为，直线AB与轴交于点C。（1） 求点B的坐标；（2） 将ABO绕点O顺时针旋转，使点B落在轴正半轴上的B处。试在直角坐标系中画出旋转后的ABO，并写出点A的坐标；（3） 在直线OA上是否存在点D，使COD与AOB相似，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。19、 如图1-21，在直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且在点A（0,2），点C（-1,0），抛物线经过点B（1） 求点B的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 在抛物线上是否存在点P（点B除外），使APC仍然以AC为直角边的等腰直

15、角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。20、 已知：如图1-22，开口向下的抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，且使OCAOBC。（1） 求点A和点B的坐标；（2） 求线段OC的长及的值；（3） 设直线BC与轴交于点P，当C是BP的中点时，求直线BP的解析式和抛物线的解析式。21、 如图1-23，正比例函数与二次函数的图像都经过点A。（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 求这个二次函数的图像顶点P的坐标和对称轴；（3） 若二次函数的对称轴与正比例函数的图像相交于点B，与轴相交于点C，点Q是轴的正半轴上的一点，如果OBC与OAQ相似

16、，求点Q的坐标。22、 如图1-24，梯形OABC的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，ABOA，二次函数的图像经过A、B、C三点。（1） 求点A、B的坐标；（2） 当ACOB时，求二次函数的解析式。23、 如图1-25，二次函数图像的顶点为坐标原点O，且经过点A(3，3)，一次函数的图像经过点A和点B（6，0）。（1） 求二次函数与一次函数的解析式；（2） 如果一次函数图像与轴交于点C，点D在线段AC上，与轴平行的直线DE与二次函数图像相交于点E，CDO=OED，求点D的坐标。24、已知：二次函数的图像经过A（1，0），B（2，0），C（0，-2）直线与轴交于点D。（1） 求二次函数的解析式；（2） 直线上有一点E（点E在第四象限）使得BDE和AOC相似，求点E的坐标（用含的代数式表示）。25、 如图1-26，抛物线经过点A(-1，0)，C（0，4）两点，与轴交于另一点B。（1） 求抛物线的解析式；（2） 已知点D在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3） 在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP=45，求点P的坐标。专心-专注-专业