证明积分不等式的若干方法(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上证明积分不等式的若干方法 摘 要 针对高等数学中的关于积分不等式的证明题我们可以运用拉格朗日微分中值定理、柯西-施瓦茨不等式、黎曼积分性质、分部积分法和二重积分性质等的方法来证明. 关键词 积分不等式； 微分中值定理； 柯西施瓦茨不等式； 黎曼积分性质； 泰勒公式 中图分类号： C35 文献标识码： A 1 引言 积分不等是的证明是大学高等数学学习中的一个难点，也是理工科研究生入学考试中常出现的一类题型.证明定积分不等式的问题中难度较大，技巧性较高，涉及知识面较广，大多数同学感到无从下手，本文结合若干题型例题给出了一些证明积分不等式的方法以供大家参考. 2 预备知识

2、定理2.1（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导， 则在内至少存在一点，使得 定理2.2 （积分中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得 定理2.3（黎曼积分性质）设为上的可积函数.若，则 定理2.4（柯西施瓦茨（Schwarz）不等式）若和在上可积，则 定理2.5（二重积分性质（保号性）若与在上可积，且 则 3 积分不等式的各种证法 3.1 利用中值定理证明积分不等式 当被积函数在闭区间上连续，并在闭区间内可导时，对拉格朗日中值定理和积分中值定理中带的项作适当的变化，可证得某些积分不等式. 例题1 设在上连续且递减， 求证

3、：当时， 证明 根据积分中值定理有 其中即因为递减， 则有 又所以 即 3.2 利用柯西施瓦茨不等式证明积分不等式 当所求证的不等式中带有：，或 的形式时，可用柯西不等式求证. 例题2 若都在上可积，则有闵可夫斯基不等式 证明 由施瓦兹不等式，得 故 3.3 利用黎曼积分性质证明积分不等式 利用定积分的比较定理，估值定理和绝对值不等式等定积分的性质分析证明积分不等式. 例题3 设在上连续且单调非增，试证当时有 证明 利用换元积分法与定积分的性质有 因为单调非增所以 于是 即 3.4 利用二重积分不等式证明积分不等式 我们注意到，这里 ，因此 ， 可用来证明含双积分号的不等式. 例题4 设在上连

4、续，证明不等式 证明 由二重积分的保号性可得 其中 4 总结 本文给出了积分不等式的几种证明方式，可以帮助我们在短期内对照归纳，总结经验.再通过例题达到融会贯通，举一反三的能力. 参 考 文 献 1华东师范大学数学系编.数学分析（上）M.北京高等教育出版社， 2徐新亚，夏海峰.数学分析选讲M.上海同济大学出版社， 3胡 克. 解析不等式的若干问题M. 武汉武汉大学出版社， 4徐利治.数学分析的方法及例题解析M.大连大连理工大学出版社， 5匡继昌.常用不等式（第三版）M.济南山东科学技术出版社， 6孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法（上）M.武汉华中科技大学， 7海 杰. 一道积分不等式的四种证法J.高等数学研究J， 8 华东师范大学数学系编.数学分析（下）M.北京高等教育出版社， 9 华东师范大学数学系编.数学分析（上）M.北京高等教育出版社，专心-专注-专业