预见2019极坐标参数方程(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上（一） 坐标系与参数方程1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直

2、线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 选考必考题型之一，多考极参与普通方程的互化，直线参数方程中参数的几何意义 注意极坐标系下的直线方程;极坐标方程和参数方程必须经过普通方程建立联系。题型示例极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0，0,2)，于是极坐标与直角

3、坐标的互化公式如表：点直角坐标 极坐标 互化公式在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角。1.在极坐标系中，圆是以点为圆心，2为半径的圆。(1)求圆的极坐标方程。(2)求圆被直线所截得的弦长。解(1)设所求圆上任意一点，M(，)，如图，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4。因为cosAOM，所以|OM|OA|cosAOM，即4cos4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故4cos为所求。(2)设l：(R)交圆C于点P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2。解：(1)圆C是将圆4cos绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以

4、圆C的极坐标方程是4cos。(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以圆C被直线l：(R)所截得的弦长为2。2.在极坐标系中，直线的极坐标方程为，是上任意一点，点在射线上，且满足，记点的轨迹为。(1)求曲线的极坐标方程。(2)求曲线上的点到直线距离的最大值。解(1)设P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2。因为M是上任意一点，所以2sin2，即sin2，12sin。所以曲线C2的极坐标方程为2sin。(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化为标准方程为x2(y1)21，则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，由直线cos，得：coscossinsin，

5、即xy2，圆心(0,1)到直线xy2的距离为d，所以曲线C2上的点到直线cos距离的最大值为1。3()在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)M为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值解：(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB面积S|OA|Bs

6、inAOB4cos22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.4. (2017全国卷)在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (为参数)。设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线。(1)写出的普通方程。(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径。解(1)消去参数t得的普通方程：yk(x2)；消去参数m得的普通方程：y(x2)，设P(x，y)，由题设得消去k并整理得x2y24(y0)。所以C的普通方程为x2y24(y0)。(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cossin2(cossin)。故tan，从

7、而cos2，sin2。代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为。5. (2015全国卷)在直角坐标系中，直线：，圆C2： ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求，的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程为 ()，设与的交点为，求 的面积解：(1)因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2， |MN|12，因为C2的半径为1，所以C2MN的面积为.6.在直角坐标系中，直线，圆:： (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求直线

8、与圆的极坐标方程。(2)设直线与圆的交点为，求的面积。解(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x1)2(y2)21，因为xcos，ysin，所以直线l的极坐标方程为(R)，圆C的极坐标方程为22cos4sin40。(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，|MN|12|，因为圆C的半径为1，所以CMN的面积为1sin。7. (2015全国卷)在直角坐标系中，曲线 (为参数，)，其中.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，.(1)求与交点的直角坐标；(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为

9、x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中00)由(t为参数)消去t得xy20.所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y22ax(a0)，xy20.(2)将(t为参数)代入y22ax(a0)，整理得t22(4a)t8(4a)0.设t1，t2是该方程的两根，则t1t22(4a)，t1t28(4a)，因为|MN|2|PM|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，所以8(4a)248(4a)8(4a)，所以a1.12.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 (为参数)，直线经过点P(1,2)，倾斜角.(

10、1)写出圆的标准方程和直线的参数方程。(2)设直线与圆相交于两点，求的值。解(1)消去，得圆的标准方程为x2y216。直线l的参数方程为即(t为参数)。(2)把直线l的方程代入x2y216，得2216，即t2(2)t110，所以t1t211，即|PA|PB|11。13.(2016全国卷)在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标解：(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos，

11、sin)因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.14.已知曲线，直线l： (为参数)(1)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；(2)过曲线上任一点作与夹角为30的直线，交于点，求的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为

12、.15.已知直线l的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程；(2)若是直线l与圆面的公共点，求的取值范围解：(1)因为圆的极坐标方程为4sin，所以24sin4.又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22 y2x，所以圆C的直角坐标方程为x2y22x2 y0.(2)方法一：设zxy，由圆C的方程x2y22x2 y0(x1)2(y)24，所以圆C的圆心是(1，)，半径是2，将代入zxy得zt.又直线l过C(1，)，圆C的半径是2，所以2t2，即xy的取值范围是2，2方法二：直线l的参数方程化成普通方程为xy2.由

13、解得P1(1，1)，P2(1，1)因为P(x，y)是直线l与圆面4sin的公共点，所以点P在线段P1P2上，所以xy的最大值是(1)(1)2，最小值是(1)(1)2，所以xy的取值范围是2，216在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (t为参数，a0)以坐标原点O为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.(1)设P是曲线上的一个动点，当2时，求点P到直线的距离的最小值；(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围解：(1)由，得(cossin)2，化成直角坐标方程，得(xy)2，即直线l的方程为xy40.依题意，设P(2cost，2sint)，则P到直线l的距离d22

14、cos，当t2k，即t2k，kZ时，dmin22.故点P到直线l的距离的最小值为22.(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，所以对tR，有acost2sint40恒成立，即cos(t)4恒成立，所以0，解得0a0，t20，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|3.23.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(1)写出直线与曲线的直角坐标方程；(2)过点平行于的直线与曲线交于两点，若，求点轨迹的直角坐标方程解：(1)直线：yx，曲线C：y21.(2)设点M(x0，y0)及过点M的直线为l1： (t为参数)，直线l1与曲线C

15、联立可得：(x02y0)tx2y20.因为|MA|MB|，所以，即x2y6，而方程1表示一个椭圆取yxm代入y21得：3x24mx2m220，由0得m，故点M的轨迹是椭圆1夹在平行直线yx之间的两段弧24.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点(1)若，求；(2)若点是曲线上不同于的动点，求面积的最大值【解析】(1) =2cos(+)可化为=2cos 2sin ，将，代入，得曲线C的直角坐标方程为(x1)2+(y+1)2=2将直线的参数方程化为(t为参数)，代入(x1)2+(y+1)2=2，得t1=0，设方程

16、的解为，则+=，=1，因而|PA|+|PB|=|+|=（5分）(2)将直线的参数方程化为普通方程得2xy1=0，设M(1+cos ，1+sin )，由点到直线的距离公式，得M到直线AB的距离为d=，最大值为，由(1)知 |AB|=|PA|+|PB|=，因而MAB面积的最大值为25.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；(2)设圆与直线交于两点，若点的坐标为，求及【解析】(1)由直线的参数方程(t为参数)得直线的普通方程为y=x+3+由=2sin ，得+2y=0，即圆C的直角坐标方程为+(y)2=5（5分）(2)通解由得3x+2=0，解得或不妨设A(1，2+)，B(2，1+)，又点P的坐标为(3，)故|PA|+|PB|=+=3优解将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3t)2+(t)2=5，即3t+4=0由于=(3)244=20，故可设，是上述方程的两个实根，所以，又直线过点P(3，)，故|PA|+|PB|=|+|=+=3专心-专注-专业