因式分解方法总结(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上因式分解方法总结一、定义定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：）三、基本方法（一） 提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取次

2、数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.例如： 注意：把变成不叫提公因式.例1、 分解因式（2003年淮安市中考题）解： 例2、 能被整除吗？还能被那些数整除? （二） 公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.1、平方差公式： 2、完全平方公式：3、立方和公式： 4、立方差公式： 5

3、、6、完全立方公式：7、例3、 分解因式（2003年南通市中考题）解： 例4、已知是的三边，且，则的形状是（ ）.直角三角形 .等腰三角形 .等边三角形 .等腰直角三角形解： （三）分组分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.1.分组后能直接提取公因式.例5、分解因式 .解： 原式= = 每组之间还有公因式！=例6、分解因式 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =练习：分解因式（1） （2）2.分组后能直接运用公式例7、分解因式：解： 原式=例8、分解因式

4、：解：原式= =练习：分解因式（1） （2）（四）十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中1. 二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解特点： （1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和例9、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5. 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5. 1 2解： = 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例10、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6

5、 （-1）+（-6）= -7练习、分解因式(1) (2) (3)练习、分解因式(1) (2) (3)2. 二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例11、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习、分解因式（1） （2）（3） （4）3. 二次项系数为1的齐次多项式例12、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习、分解因式(1) (2) (3)4. 二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整

6、体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习、分解因式：（1） （2）思考：分解因式：（五）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例11、分解因式 解：令则原式 例12、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘. 原式=设，则原式= =练习、分解因式（1）（2） （3）（六）拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补

7、上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例13、分解因式解： 原式 （七）配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例14、分解因式解：原式（八）主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例15、分解因式解： 原式 （九）特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的

8、每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式. 例16、分解因式解：令，则将分解成3个质因数的积，即注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则（十）待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例17、分解因式解：由分析知，这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式 于是设 所以 解得 ， 所以 例18、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例19、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解

9、此多项式. （2）如果有两个因式为和，求的值.（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时， 原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设=则= 解得，=21（十一）双十字相乘法用于分解形如的二次六项式具体方法：将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则.要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0例20、分解因式解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 x 3y 6 原式 例21、分解因式解：原式 （十二）长除法不足的项要用0补，除的时候，一定要让第一项抵消例22、分解因式 解：提示：可以使该式，有因式，如下图，所以原式专心-专注-专业