概率统计教案(共20页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章随机事件与概率一、教材说明 本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。 1教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算； （2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算； （3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。 本章的教学要求是

2、：（）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；（）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；（）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。本章的重点与难点本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。二、教学内容本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。1.1随机事件及其运算本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的

3、关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。一、 随机现象定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。例（）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；（）掷一颗骰子，出现的点数；（）一天内进入某超市的顾客数；（）某种型号电视机的寿命；（）测量某物理量（长度、直径等）的误差。随机现象到处可见。特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。二、样本空间样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为其中，表示基本结果，称为样本点。离散样本空间和连续样本空间。三、随机事件1定义 随机现象的某些样本点组成的集合。

4、2维恩图 事件的集合表示。3例 掷一颗骰子的样本空间为：。事件A=“出现1点”，它由的单个样本点“1”组成。事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。事件C=“出现的点数大于6”，中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不可能事件。四、随机变量1定义 用来表示随机现象结果的变量。2例 掷骰子，出现的点数是一个随机变量；不合格产品数是一个随机变量，等等。五、事件之间的关系事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等，以及各种关系的维恩图表示。六、事件运算1事件运算：并、交、差、补。2事件的运算性质：（1）交换律： ；（2）结合律： ； （3）分配律： ；（4）对偶律（德

5、莫根公式）： 。证明略。七、事件域1定义 设为一样本空间， 为的某些子集组成的集合，如果满足： （1） （2）若，则； （3）若，则。则称为一事件域或代数。2常见事件域例 常见事件域：；等。3波雷尔事件域： 。1.2 概率的定义及其确定方法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率方法、古典方法、几何方法及主观方法。主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。一、概率的公理化定义1.定义 设为一样本空间， 为上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件，定义在上的一个实值函数P（A）满足：（1） 非负性公理：（2） 正则

6、性公理：（3） 可列可加性公理：若两两互不相容，有则称P（A）为事件A的概率，称三元素为概率空间。2.概率是关于事件的函数。二、排列与组合公式1.两大计数原理 乘法原理，加法原理。介绍略。2.排列、组合的定义及计算公式（1）排列 （2）重复排列 （3）组合 （4）重复组合 三、确定概率的频率方法1.定义 在n次独立重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，又称n(A)为事件A的频数，称 为事件A出现的频率。2.基本思想 在与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行的条件下，记事件A的频率为，随着n的增加，会稳定在一常数附近，这个频率的稳定值就是所求事件A的概率。3.说明频率稳定性的例子例 投硬币

7、n次，正、反面出现的概率分别为1/2; 等。四、确定概率的古典方法1.基本思想 （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如n个；（2）每个样本点发生的可能性相等；（3）若事件A含有k个样本点，则A的概率为 2.例（抽样模型）一批产品共有N个，其中M个不合格品，N-M个合格品，从中抽取n个，求事件=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。分析 略。解 略。例（彩票模型）在35选7的彩票中，即从01，02，35中不重复的开出7个基本号码和一个特殊号码。求各等奖中奖的概率（附：中奖规则） 分析 略。 解 略。五、确定概率的几何方法1.基本思想（1）如果一个随机现象的样本空间充满某个区间，其度量可

8、用表示；（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的：（3）若事件A为中的某个子区域，其度量为，则事件A的概率为 。2.例（会面问题）甲、乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人20分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。 分析 略。解 略。六、确定概率的主观方法1.定义 统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性给出的个人信念。这样给出的概率称为主观概率。2.例：气象预报中，“明天下雨的概率为90%”； 一个教师认为,“甲能考取大学的可能性为95%”。 1.3 概率的性质本节包括概率的可加性、单调性、一般加法公式和连续性等内容，主要介

9、绍概率的性质及利用性质计算概率。一、概率的可加性1.有限可加性 若有限个事件互不相容，则有 证明 略。2.对任一事件A，有： 3.例 抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。分析 略。解 略。二、概率的单调性1若，则。证明 略。2若，则。证明 略。3.对任意两个事件A，B，有 。证明 略。4.例 口袋中有编号为的N个球，从中有放回地任取M次，求取出的M个球的最大号码为K的概率。分析 略。解 略。三、概率的加法公式1对任意两个事件A，B，有 。 对任意n个事件，有 分析 略。证 略。2.对任意两个事件A，B，有 。证明 略。例 已知事件A，B，的概率为0.4，0.3，0.6，求。解 略。四

10、、概率的连续性1定义 对中的任意单调不减的事件序列称可列并为的极限事件，记为 。 对中的任意单调不增的事件序列，称为的极限事件，记为。 对上的一个概率P，（1） 若它对中任一单调不减序列，均成立 ，则称概率P是下连续的。（2） 若它对中的任一单调不增序列均成立 ，则称概率P是上连续的。2.概率的连续性：若P是上的概率，则P既是下连续又是上连续的。 证明 略。3.定理 若P是上满足=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是：（1）它是有限可加的；（2）它是下连续的。 证明 略。 1.4 条件概率 本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三

11、大公式的计算和应用。一、条件概率的定义1.定义 设A，B是样本空间中的两事件，若，则称 为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。2.性质 条件概率是概率，即若，则有（1）（2）（3）若F中的，两两互不相容，则 证明 略。二、乘法公式1.若，则 若 证明 略。2.例（罐子模型）设罐子中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加入c个同色球和d个异色球。记为“第i次取出的是黑球”，为“第j次取出的是红球”。求连续从罐中取出两个红球、一个黑球的概率。 分析 略。 解 略。 注 当c=-1,d=0时，为不返回抽样； 当c=0,d=0时，为返回抽样； 当c0, d=0时，为传染

12、病模型； 当c=0, d0时，为安全模型。三、全概率公式全概率公式：设为样本空间的一个分割，即两两互不相容，且，如果， 则对任意事件，有 。证明 略。例（摸彩模型）设在张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？分析 略。解 略。四、贝叶斯公式贝叶斯公式 设是样本空间的一个分割，即两两互不相容，且，如果，则证明 略。例 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是存有错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？解答 略。小结 条件概率

13、的三大公式中，乘法公式是求交事件的概率，全概率公式是求一个复杂事件的概率，而贝叶斯公式是求一个条件概率。1.5 独立性本节内容包括两个事件的独立性、多个事件的相互独立性和试验的独立性等。主要介绍事件独立性的概念及有关独立性的概率的计算问题。一、两个事件的独立性定义 如果对于事件，有 ，则称事件,相互独立，简称与独立，否则称与不独立或相依。二、多个事件的相互独立性 定义：设，是三个事件，如果有 ， ， ，则称，两两独立，若还有 ，则称，相互独立。 定义：设有个事件，对任意的，如果以下等式均成立 ， ， ，则称此个事件相互独立。 例 设，相互独立，试证与相互独立。证明 略。例 有两名选手比赛射击，

14、轮流对同一目标进行射击，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为。甲先射，谁先命中谁得胜。问甲、乙两人获胜的概率各为多少？解 略。三、试验的独立性1.定义 设有两个试验和，假如试验的任意结果（事件）与试验的任意结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。类似可定义“多个试验相互独立”的概念。2.例 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。若你每周买一次彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，你从未中奖的可能性是多少？解答 略。第二章 随机变量及其分布一、教材说明本章内容包括随机变量及其分布函数，离散随机变量及其概率分布列，连续随机变量及其概率密度函数

15、，随机变量的数学期望、方差和标准差及其性质，切比雪夫不等式，常用离散随机变量的分布和连续随机变量的分布，随机变量函数的分布等。随机变量及其分布是基础，随机变量的数字特征是分支，常用随机变量的介绍是应用。1教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；（2）使学生理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；（3）使学生会计算随机变量的数学期望、方差和标准差等；（4）使学生熟练掌握（0-1）分布、二项分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等；（5）使学生会求简单随机变量函数的

16、概率分布及数字特征。本章的教学要求是：（1）理解随机变量及分布函数的概念，会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；（2）熟练掌握（0-1）分布、二项分布和正态分布、指数分布、均匀分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；（3）应用公式求解随机变量函数的概率分布。2本章的重点与难点本章的重点难点是理解随机变量密度分布函数的概念；掌握（0-1）分布、二项分布、正态分布、指数分布和均匀分布；重点掌握离散和连续随机变量相互独立的条件；掌握期望、方差的概念和计算，以及随机变量函数的计算。三、教学内容本章共分随机变量及其分布、随机变量的数学期望、随机变量的方差与标准差、常用离散分布和随机变量函数

17、的分布等6节来讲述本章的内容。2.1 随机变量及其分布本节包括随机变量的的概念，随机变量的分布函数、离散随机变量的概率分布列和连续随机变量的概率密度函数。主要介绍随机变量的概念及分布函数的概念，学习两类不同的随机变量及其概率分布。一、随机变量的概念定义 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。假如一个随机变量仅取有限个或可列个值,则称其为离散随机变量,假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(a,b),则称其为连续随机变量,其中a可以是-,b可以是+.二、随机变量的分布函数1.定义 设X是一个随机变量,对任意实数x,称

18、为随机变量X的分布函数,且称X服从,记为X.有时也可用表明是X的分布函数.2.例 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数,并求P(X).分析 略.解 略.3.定理 任一分布函数都有如下三条基本性质:（1）单调性: 是定义在整个实数轴上的单调非减函数，即对任意的，有；（2）有界性:=；=。（3）右连续性:是x的右连续函数，即对任意的，有 ，即 。 证明 略。 注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算：，等。三、离散随机变量的概率分布列定义 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是，则称X取的概率 为X的概率分布列

19、或简称为分布列，记为。分布列也可用下列形式表示： 2.分布列的基本性质 (1)非负性：(2)正则性：注 离散随机变量的分布函数为：。3.例 设离散随机变量X的分布列为，试求，并写出X的分布函数。 解 略。四、连续随机变量的概率密度函数1. 定义 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意，有，则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数。2、密度函数的基本性质（） 非负性：；（） 正则性：； 3、例 已知随机变量的密度函数为试求的分布函数。解 略。小结 注意分析“分布列”与“密度函数”的异同点。2.2 随机变量的数学期望 本节内容包括数学期望的概念、定义和

20、性质等。主要介绍数学期望的概念、性质及其运算。一、数学期望的概念1.数学期望又称期望或均值，来源于历史上著名的分赌本问题：17世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡（1623-1662）提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定谁先赢三局，则得全部赌本100法郎。当甲赢了二局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。问这100法郎如何分才算公平？分析 略。解 略。2.数学期望是一种加权平均。二、数学期望的定义1.定义 设离散随机变量X的分布列为 如果 ，则称 为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称X的数学期望

21、不存在。2.定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果 ，则称 为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若不收敛，则称X的数学期望不存在。3.例 设X服从区间上的均匀分布，求。解 略。二、数学期望的性质1.基本性质 （）若是常数，则（）（）对任意的常数，（）（）对任意的两个函数，有。2.定理 若随机变量的分布用分布列或用密度函数表示，则的某一函数的数学期望为 证明 略。 2.3 随机变量的方差与标准差 本节内容包括方差与标准差的定义、方差的性质和切比雪夫不等式等。主要介绍方差的定义、性质和切比雪夫不等式的内容和应用。一、方差与标准差的定义1.定义 若随机变量的数学期望存在

22、，则称偏差平方的数学期望为随机变量X的方差或该分布的方差，记为称方差的正平方根为X的标准差或该分布的标准差，记为或。2.例 下面是三角分布，均匀分布和倒三角分布的密度函数，分别计算它们的方差。解 略。3.方差的基本性质（1）；(2) ,其中c为常数;(3) 是常数。证明 略。二、切比雪夫不等式 1. 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数，有 ，或 。 证明 略。 2.定理 若随机变量X的方差存在，则的充要条件是X几乎处处为某个常数，即。证明 略。2.4 常用离散分布 本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布，主要介绍二项分布和泊松分布。

23、一、二项分布1.定义 如果随机变量X的分布列为 则称这个分布为二项分布，记为。2.二项分布举例 不合格率；色盲率；射击命中率等。3.例 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？分析 略。解 略。4.二项分布的数学期望与方差若，则。计算 略。注 二项分布可看作个（）分布的叠加。二、泊松分布1.定义 如果随机变量X的分布列为 ，其中参数，则称这个分布为泊松分布，记为。2.泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；1平方米上的砂眼数等。3.泊松分布的数学期望与方差若，则。计算 略。4.例 一铸件上的砂眼（缺陷）数服从P（0.5），试求此铸件上至多有1个砂眼（合格品

24、）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率。解 略。5.二项分布的泊松近似定理 在n重伯努利实验中，记事件A在一次实验中发生的概率为（与n有关），如果当时，有，则 。证明 略。注 当n愈大，p愈小，近似程度愈好。例 已知某疾病的发生率为0.001，某单位共有5000人。问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率？解 略。2.5 常用连续分布 本节主要内容包括正态分布、均匀分布、指数分布、分布和分布。主要介绍正态分布、均匀分布和指数分布。 一、正态分布1.定义 若随机变量X的密度函数为 ,则称X服从正态分布，称X为正态变量，记为。其中参数，。 正态分布的分布函数为：。其中，称为位置参数，称为尺度

25、参数。标准正态分布定义 称的正态分布为标准正态分布。的密度函数和分布函数分别为： ，。例 设，利用附表2，求下列事件的概率：（1）（2）（3）（4）（5） 解 略。一般正态分布的标准化定理 若，则。证明 略。例 若,求：(1)(2)常数，使得解 略。4.正态分布的数学期望与方差若，则计算 略。5.正态分布的原则设，则由此可见，正态变量的99.73%的值落在内，这个性质被称为正态分布的原则。二、均匀分布.定义 若随机变量的密度函数为 则称服从区间上的均匀分布，记为。均匀分布的分布函数为2.均匀分布的数学期望与方差若，则计算 略。三、指数分布1.定义 若随机变量的密度函数为： 则称服从指数分布，记

26、作。其中，参数。指数分布的分布函数为：.指数分布的数学期望与方差若，则。计算 略。3.指数分布的无记忆性定理：如果，则对任意的s0,t0,有 。分析 略。证明 略。例 如果某设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从，则相继两次故障之间的时间间隔服从。证明 略。2.6 随机变量函数的分布本节内容主要包括离散随机变量函数的分布和连续随机变量函数的分布。主要介绍离散、连续随机变量函数分布的求法一、离散随机变量函数的分布1.定义 设是离散随机变量，的分布列为，则()也是一个离散随机变量，此时的分布为 。当中有某些值相等时，则将它们合并，将概率值相加即可。2.例 已知X的分布列如下，求的分布列。 解 略。二、连续随机变量函数的分布.当严格单调时（1）定理 设是连续随机变量，其密度函数为,是另一个随机变量。若严格单调，其反函数有连续导函数，则的密度函数为其中，。证明 略。（2）例：设，试求的分布；设，试求的分布。解 略。（3）对数正态分布定理 设随机变量，则的概率密度函数为称Y的分布为对数正态分布。证明 略。（4）定理 若的分布函数为严格单调增的连续函数，其反函数存在，则服从。证明 略。2 .当为其他形式时例 设随机变量服从标准正态分布，试求的分布。分析 略。解 略。注 可先求的分布函数，再求导求出的密度函数。例 设随机变量的密度函数为 求得密度函数。解 略。专心-专注-专业