2022年专题平面向量常见题型与解题指导.pdf

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1、专题：平面向量常见题型与解题指导平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法与减法的运算法则及运算律。 3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度与垂直的问题,掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点与中点坐标公式 ,并且能熟练运用;掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的

2、应用的教学 ,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类: 1、以选择、填空题型考查本章的基本概念与性质、此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题、2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题、此类题综合性比较强,难度大 ,以解析几何中的常规题为主、3、向量在空间中的应用(在 B 类教材中 )、在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质、在复习过程中 ,抓住源于课本 ,高于课本的指导方针、本章考题大多数就是课本的变式题,即源于课本、因此,掌握双基、精通课本就是本章关键、分析近几年来的高考试题,有关

3、平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于与解析几何相关的线段的定比分点与平移等交叉内容,作为学习解析几何的基本工具,在相关内容中会进行考查。本章的另一部分就是解斜三角形,它就是考查的重点。总而言之,平面向量这一章的学习应立足基础,强化运算 ,重视应用。考查的重点就是基础知识与基本技能。4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章知识解决的问题也分为两类:一类就是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算与证明问题;另一类就是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量

4、问题时,一就是要善于运用向量的平移、伸缩、 合成、 分解等变换 ,正确地进行向量的各种运算,进一步加深对 “向量” 这一二维性的量的本质的认识,并体会用向量处理问题的优越性。二就是向量的坐标运算体现了数与形互相转化与密切结合的思想,所以要通过向量法与坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解斜三角形就是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的能力。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共

5、 7 页 - - - - - - - - - - 专题：平面向量常见题型与解题指导二、常见题型分类题型一 :向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中,在复习中要充分理解平面向量的相关概念,熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算 ,掌握两向量共线、垂直的充要条件、例 1: 已知a 就是以点A(3, 1)为起点 ,且与向量b = ( 3,4) 平行的单位向量,则向量a 的终点坐标就是、思路分析 :与 a 平行的单位向量e=| aa方法一 :设向量 a 的终点坐标就是(x,y),则 a =( x-3,y+1),则题意可知55185512101334229yx1yx13)()(或解得）（）（y

6、xyx,故填(512,-51)或(518,-59) 方法二与向量b = (-3,4)平行的单位向量就是51(-3,4),故可得a (-53,54),从而向量a 的终点坐标就是(x,y)= a(3,1),便可得结果、点评 :向量的概念较多,且容易混淆 ,在学习中要分清、理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念、例 2:已知 | a |=1,| b |=1,a 与 b 的夹角为 60, x =2ab,y=3b a,则 x 与 y 的夹角的余弦就是多少？思路分析 :要计算 x 与 y 的夹角 ,需求出 |x|,|y|,xy 的值、计算时要注意计算的准确性、解:

7、由已知 |a|=|b|=1,a 与 b 的夹角 为 60,得 ab=|a|b|cos =21、要计算 x 与 y 的夹角 ,需求出 |x|,|y|,xy 的值、|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=4421+1=3, |y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=9621+1=7、xy=(2a b)(3ba)=6ab2a2 3b2+ab=7ab2a23b2 =72123=23, 又 xy=|x|y|cos ,即23=37cos , cos =1421点评 :本题利用模的性质|a|2=a2,在计算 x,y 的模时 ,还可以借助向量加法、 减法的几何意义获得:如图所示 ,设AB=b

8、, AC=a, AD=2a,BAC=60、由向量减法的几何意义,得BD=ADAB=2ab、由余弦定理易得|BD|=3,即|x|=3,同理可得 |y|=7、题型二 :向量共线与垂直条件的考查例 1.平面直角坐标系中,O 为坐标原点 ,已知两点 A(3, 1),B( 1, 3), 若点 C 满足OCOAOBuu u ru uu ruu u r,其中,R 且+=1,求点 C 的轨迹方程。、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 专题：平面向量常

9、见题型与解题指导解:(法一)设 C(x,y),则OC=(x,y),由OC=(x,y)= (3,1)+ (-1,3)=(3 - , +3 ) 33yx, (可从中解出 、 )又 + 1消去 、得 x+2y-5=0 (法二 ) 利用向量的几何运算,考虑定比分点公式的向量形式,结合条件知 :A,B,C 三点共线 ,故点 C 的轨迹方程即为直线 AB 的方程 x2y5=0, 例 2.已知平面向量a(3,1),b(21, 23)、(1) 若存在实数k 与 t,便得 xa(t23)b, y katb,且 xy,试求函数的关系式k f(t);(2) 根据 (1)的结论 ,确定 kf(t)的单调区间、思路分析

10、 :欲求函数关系式k=f(t), 只需找到 k 与 t 之间的等量关系,k 与 t 之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法就是求单调区间的简捷有效的方法？解:(1)法一 :由题意知 x(23322t,223232t), y(21t3k,23tk),又 xy故 x y23322t (21t3k)223232t (23t k)0、整理得 :t33t4k0,即 k41t343t、法二 :a (3,1),b(21, 23), 、a2,b1 且 abxy,x y0,即 ka2t(t23)b20,t33t4k0,即 k41t343t (2) 由(1)知 :kf(t) 4

11、1t343t k f(t) 43t343, 令 k0 得 1t1;令 k 0 得 t 1 或 t1、故 kf(t) 的单调递减区间就是(1, 1 ),单调递增区间就是( ,1)与 (1, )、点评 : 第(1)问中两种解法就是解决向量垂直的两种常见的方法:一就是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二就是直接利用向量垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,值得注意 )、第 (2)问中求函数的极值运用的就是求导的方法 ,这就是新旧知识交汇点处的综合运用、例 3: 已知平面向量a(3,1),b(21,23),若

12、存在不为零的实数k 与角 ,使向量ca(sin 3)b, d ka(sin)b,且cd,试求实数k 的取值范围、解:由条件可得 :k41( sin23)2169,而1sin 1, 当 sin 1 时,k 取最大值 1; sin1 时,k 取最小值21、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 专题：平面向量常见题型与解题指导又 k0 k 的取值范围为1,0)(0,12U、点拨与提示 :将例题中的t 略加改动 ,旧题新掘 ,出现了意想不到的效

13、果,很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力、例 4:已知向量) 1 ,2(),2, 1 (ba,若正数 k 与 t 使得向量btakybtax1) 1(2与垂直 ,求 k 的最小值、解:0)1()1(02?btakbtayxyx即0)1(112222batkbatbttak) 1 ,2(),2, 1 (ba,|a|=3,|b|=3ba22, 代入上式3k32112tttt当且仅当 t=t1,即 t=1 时,取“”号 ,即 k 的最小值就是2、题型三 :向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查、例 7.设函数

14、f ( x)a b,其中向量 a(2cosx , 1), b(cosx,3sin2x), xR、(1)若 f(x) 13且 x3,3,求 x;(2)若函数 y2sin2x 的图象按向量c(m , n) (m2)平移后得到函数yf(x)的图象 ,求实数 m、n 的值、思路分析 :本题主要考查平面向量的概念与计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能, 解: (1)依题设 ,f(x)(2cosx,1)(cosx,3sin2x)2cos2x3sin2x12sin(2x6) 由 12sin(2x6)=13,得 sin(2x6)23、3x3, 22x665, 2x6=3, 即 x4、(2)函数 y2

15、sin2x 的图象按向量c(m , n)平移后得到函数y 2sin2(xm)+n 的图象 ,即函数 yf(x)的图象、由(1)得 f (x)1)12(2sin2xm2, m12,n1、点评 : 把函数的图像按向量平移,可以瞧成就是C 上任一点按向量平移,由这些点平移后的对应点所组成的图象就是 C,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,也就找到了此问题的解题途径、一般地 ,函数 yf (x)的图象按向量a (h , k)平移后的函数解析式为ykf(xh)、例 8:已知 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin )(0 ),(1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直 ; (2)

16、若 ka+b 与 a-kb 的模大小相等(kR 且 k0),求 解:(1) 证法一 :a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 专题：平面向量常见题型与解题指导a+b(cos +cos ,sin + sin ), a-b(cos -cos ,sin - sin ) (a+b) (a-b)=(cos +cos ,sin + sin ) (cos -cos ,sin - sin ) =co

17、s2 -cos2 +sin2 - sin2 =0 (a+b) (a-b) 证法二 :a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin )|a|1,|b|1 (a+b) (a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b) (a-b) 证法三 :a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin )|a|1,|b|1, 记OAa,OBb,则|OA|OB|=1, 又 ,O、A、B 三点不共线、由向量加、减法的几何意义,可知以 OA、 OB 为邻边的平行四边形OACB 就是菱形 ,其中OC a+b,BAa-b,由菱形对角线互相垂直,知(a+b)(a-b) (2)解:由已知得 |ka+b|与|

18、a-kb|, 又 |ka+b|2(kcos +cos )2+(ksin +sin )2=k2+1+2kcos( ), |ka+b|2(cos -kcos )2+(sin -ksin )2=k2+1-2kcos( ), 2kcos( )= -2kcos( ) 又 k0cos( )0 0 0 , =2注:本题就是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的有关运算,同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法 ,常用的方法有三种,一就是根据数量积的定义证明,二就是利用数量积的坐标运算来证明,三就是利用向量运算的几何意义来证明、题型四 :向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有

19、“数”的良好运算性质,就是数形结合与转换的桥梁与纽带,文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程与椭圆方程。例 9:设 G、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心 ,A(0,2),B(0, 2)且ABGM( R)、()求点 C(x,y)的轨迹 E 的方程 ;()过点 (2,0)作直线 L 与曲线 E 交于点 M、N 两点 ,设ONOMOP,就是否存在这样的直线 L,使四边形 OMPN 就是矩形？若存在,求出直线的方程;若不存在 ,试说明理由、思路分析 :(1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系、(2)根据矩形应该具备的充要条件,得到向量垂直关系,结合韦达定理 ,求得 k 的值、解:()由已

20、知得(,)3 3xyG, 又GHABuuu ruu u r,(,0)3xHCH=HA 222()()433xxxy即221(2 3)124xyx(2)设 l 方程为 y=k(x-2),代入曲线 E 得(3k2+1)x2-12k2x+12(k2-1)=0 设 N (x1,y1),M ( x2,y2),则 x1 +x2=221231kk,x1x2=2212(1)31kkOPONOMu uu ru uu ru uuu r,四边形 OMPN 就是平行四边形、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，

21、共 7 页 - - - - - - - - - - 专题：平面向量常见题型与解题指导若四边形 OMPN 就是矩形 ,则ONOMuu u ruuu u rx1x2+y1y2=0 222222212(1)12(1)24(4)0313131kkkkkkk得k=3直线 l 为:y= 3(2)yx点评 : 这就是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题、例 10:已知椭圆方程1422yx,过 B(1,0)的直线 l 交随圆于 C、D 两点 ,交直线 x 4 于 E 点,B、E 分CD的比分1、2. 求证 : 120 解: 设 l 的方程为 yk( x1), 代入椭圆方程整理得(4k21)x28

22、k2x4(k21) 0、设 C(x1, y2),D( x2, y2), 则 x1x21444,148222122kkxxkk、由BDCB1得), 1(),1(2211yxyx所以11),1(1211211xxxx、同理 , 记 EEDCEyE2), 4(得44),4(4212221xxxx4411212121xxxx)4)(1(8)(52222121xxxxxx其中,081485144428)( 5222222121kkkkxxxx021、例 11:给定抛物线C:y24x,F 就是 C的焦点 , 过点 F 的直线 l 与 C相交于 A、 B两点、设 l 的斜率为1, 求OA与OB夹角的余弦。解

23、:C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1, 所以 l 的方程为 yx1, 将 yx1 代入方程 y2=4x, 并整理得x26x10 设 A(x1, y1),B( x2, y2), 则有 x1x26, x1x21, 从而OAOBx1x2y1y22x1x2(x1+x2)+1 3 OAOB2121yx2222yx41, cosOBOA,OBOAOBOA41413例 12. 已知点 G 就是 ABC 的重心 ,A(0, 1),B(0, 1),在 x 轴上有一点M,满足 |MAuuu u r|=|MCuuu u r|,GMABuuuu ru uu r(R).求点 C 的轨迹方程 ; 若斜率为

24、k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点P,Q,且满足 |APuuu r|=|AQuuu r|,试求 k 的取值范围 . 分析 本题依托向量给出等量关系,既考查向量的模、 共线等基础知识,又考查动点的轨迹,直线与椭圆的位置关系、通过向量与解析几何间的联系,陈题新组 ,考查基础知识与基本方法、按照求轨迹方程的方法步骤,把向量问题坐标化 ,几何问题代数化、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 专题：平面向量常见题型与解题指导解: 设 C

25、(x, y),则 G(x3,y3).GMABuu uu ru uu r(R),GM/AB, 又 M 就是 x 轴上一点 ,则 M(x3, 0).又|MAuuuu r|=|MCuu u u r|, 2222xx()(01)(x)y33,整理得22xy1(x0)3,即为曲线C 的方程 . 当 k=0 时,l 与椭圆 C 有不同两交点P,Q,根据椭圆对称性有|APu u u r|=|AQuuu r|. 当 k0时,可设 l 的方程为 y=kxm, 联立方程组2213ykxmxy消去 y,整理行 (13k2)x26kmx3(m21)=0(*) 直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 , =(6km)24(

26、13k2)( m21)0,即 13k2m20. (1) 设 P(x1, y1),Q(x2, y2),则 x1, x2就是方程 (*) 的两相异实根 ,x1x2=26km13k则 PQ 的中点 N(x0, y0)的坐标就是x0=12xx2=23km13k,y0= k x0m=2m13k, 即 N(23km13k, 2m13k), 又|APuuu r|=|AQuuu r|,ANuuu rPQuu u r,kkAN=k22m113k3km13k=1,m=213k2、将 m=213k2代入(1)式,得 13k2(213k2)20(k0), 即 k21,k(1, 0)(0, 1). 综合得 ,k 的取值范围就是 (1, 1). 对题目的要求 :有较大的难度 ,有特别的解题思路、演变角度,要有一定的梯度、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -