2017届高三数学复习专题8平面向量(共66页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2017届高三数学复习专题8平面向量1(2015课标，7，易)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.1A考向1如图所示，在ABC中，.又3，.2(2014课标，6，易)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.2A考向1如图，()2.3(2012广东，3，易)若向量(2，3)，(4，7)，则()A(2，4) B(2，4)C(6，10) D(6，10)3A考向3(2，3)(4，7)(2，4)4(2013辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.4A考向2(

2、3，4)，|5.与同方向的单位向量为.故选A.5(2012安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()A(7，) B(7，)C(4，2) D(4，2)5A考向3由题意，得|10，由三角函数定义，设P点坐标为(10cos ，10sin )，则cos ，sin .则Q点的坐标应为.由三角函数知识得10 cos 7，10sin，所以Q(7，)故选A.思路点拨：向量旋转前后模保持不变，因此求Q点的坐标关系是求出旋转后与x轴正向的夹角，然后根据三角函数的定义求解6(2014北京，10，易)已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)

3、，且ab0(R)，则|_.6考向3【解析】ab0，ab.|a|b|，|a|b|，|1，|.【答案】7(2013四川，12，易)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_7考向1【解析】如图，因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.【答案】28(2014陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值8考向1，3解：(1)方法一：0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，解得x2，y

4、2，即(2，2)，故|2.方法二：0，则()()()0，()(2，2)，|2.(2)(x，y)，(1，2)，(2，1)mn，(x，y)(m2n，2mn)，得，mnyx，令mnt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值，故mn的最大值为1.思路点拨：(1)根据向量相等，求出P点坐标后求|；(2)根据向量相等，将mn转化为x，y的关系，变换为线性规划问题平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，通常有两个考查角度：(1)向量的线性表示；(2)加(减)法运算几何意义的应用考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题目，所占分值为5

5、分 1(1)(2014浙江，8)记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2(2)(2015北京，13)在ABC中，点M，N满足2，若xy，则x_；y_.【解析】(1)方法一：对于平面向量a，b，|ab|与|ab|表示以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又|ab|，|ab|中的较大

6、者与|a|，|b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故选项D正确，选项C错误方法二：若a，b同向，令|a|2，|b|3，这时|ab|5，|ab|1，min|ab|，|ab|1，min|a|，|b|2；若令|a|2，|b|6，这时|ab|8，|ab|4，min|ab|，|ab|4，而min|a|，|b|2，显然对任意a，b，min|ab|，|ab|与min|a|，|b|的大小关系不确定，即选项A、B均错同理，若a，b同向，取|a|1，|b|2，则|ab|3，|ab|1，这时max|ab|2，|ab|29，而|a|2|b|25，不可能有m

7、ax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故选C项错(2)如图，在ABC中，()，x，y.【答案】(1)D(2) 1.(2013江苏，10)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_1【解析】()，又12，1，2.12.【答案】2(2014课标，15)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_2【解析】由()可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC90，所以与的夹角为90.【答案】90,解题(1)的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的

8、特点入手，通过对a，b特殊化，从而得到|ab|，|ab|的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案解题(2)的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得结果平面向量线性运算的解题策略(1)用已知向量表示某个向量问题的基本解题思路观察各个向量的位置，特别注意平行关系；寻找相应的三角形或多边形；利用法则找关系；化简结果其中要特别注意结论：若AD是ABC的中线，则有()(2)构造三角形或平行四边形分析向量模之间的关系根据向量线性运算的几何意义，涉及比较分析向量的模之间的大小关系等问题，均可构造三角形或平行四边形，通过三角形中的边角关系来确定向量模之间的关

9、系高考对共线向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下几个方面：(1)利用共线向量定理求参数的值；(2)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算对向量进行分解；(3)在坐标表示的前提下由向量共线求参数值或对向量进行分解一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值为5分 2(1)(2012大纲全国文，9)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.abB.abC.ab D.ab(2)(2015课标，13)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_【解析】(1)方法一：ab0，ACB90，AB，CD.BD，AD，ADBD41.()ab.方法二：如图，以C为原

10、点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系由已知得A(2，0)，B(0，1)又因为CDAB，所以可求得D，于是，而a(0，1)，b(2，0)，若设xayb，则有即故ab.(2)因为ab与a2b平行，所以存在实数，使ab(a2b)，即()a(12)b0.由于a，b不平行，所以解得.【答案】(1)D(2) 1.(2014福建，8)在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(2，3)1B方法一：若e1(0，0)，e2(1，2)，则e1e2，而a不能由e

11、1，e2表示，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，因为，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a(3，2)表示出来，故选B.方法二：因为a(3，2)，若e1(0，0)，e2(1，2)，不存在实数，使得ae1 e2，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，设存在实数，使得ae1 e2，则(3，2)(5，22)，所以解得所以a2e1e2，故选B.2(2012四川，7)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|2C因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，

12、D.当a2b时，故a2b是成立的充分条件,求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)(5)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时

13、，合理地选择基底会给解题带来方便(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算高考对平面向量坐标运算的考查主要有以下几个方面：(1)用坐标进行线性运算；(2)在坐标表示下两向量共线与垂直条件的应用；(3)用坐标运算进行向量的分解高考中该类问题多以客观题的形式出现，难度一般，为中低档题目，分值为5分 3(1)(2014陕西，13)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _(2)(2013北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_【解析】(1)因为ab，所以sin 2cos2

14、，即2sin cos cos2.因为0，所以cos 0，得2sin cos ，所以tan .(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即解得2，4.【答案】(1)(2)4 在考题展示(1)中，若，a，b的坐标不变，且ab，求tan 的值解：由于ab，所以ab0，即sin 2cos cos 0，因为0)，且|OC|2，若，则实数，的值分别是_7考向3【解析】|2，|21c24，c0，c.，(1，)(1，0)(0，1)，1，.【答案

15、】1，8(2015安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_8考向2【解析】方法一：由，得()()，则0，得0，得0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.方法二：如图，连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得ABAT，.T，M，N三点共线，.【答案】1(2016课标，3，易)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6 C6 D81D考向1方法一：ab(4，m2)，(ab)b，(ab)b0，即122(m2)0，解得m8.方法二：(ab)b，(ab)b0，即abb20.32m940，解得m8.2(

16、2016课标，3，易)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D1202A考向2如图易知|1，则60，30，ABC30.3(2016山东，8，中)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D3B考向1由题意得，cosm，n，所以mnn2.因为n(tmn)0，所以tmnn20，即tn2n20，所以t4.4(2015山东，4，易)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a24D考向1，且，()2|cos 60|2a2a2a2.故选D.5(2014重庆，4，易)已知向量a(k，3)，b(1，4)，

17、c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.5C考向22a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，得4k660，解得k3.故选C.6(2014课标，3，易)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D56A考向2由|ab|得a2b22ab10，由|ab|得a2b22ab6，得4ab4，ab1，故选A.7(2013福建，5，易)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D107C考向3(1，2)(4，2)0，故.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S|25，故选C.8(2015安徽，8，中)ABC是边长为2的等边

18、三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)8D考向1在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故选D.9(2013湖南，8，中)已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.C.1 D.29C考向3建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量，可设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点C(x，y

19、)的轨迹是以M(1，1)为圆心，1为半径的圆而|c|，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max1，故选C.思路点拨：由于a，b是相互垂直的单位向量，故可建立直角坐标系，根据向量加法、减法以及模的几何意义进行求解，求解向量问题要善于运用数形结合的思想10(2014天津，8，中)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B. C. D.10C考向1以，为基向量，则()()22(1)4()2(1)1.(1)(1)2(1)(1).由可得.11(2016课标，13，易)设向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则

20、m_11考向2【解析】方法一：ab(m1，3)，又|ab|2|a|2|b|2.(m1)232m215，解得m2.方法二：由|ab|2|a|2|b|2，得ab0，即m20，解得m2.【答案】212(2015湖北，11，易)已知向量，|3，则_12考向1【解析】()29.【答案】913(2014江西，14，中)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _13考向2【解析】ab(3e12e2)(3e1e2)929118.|a|2(3e12e2)29412119，|a|3.|b|2(3e1e2)2916118，|b|2，cos .【答案】14(20

21、12安徽，14，中)若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_14考向3【解析】由向量的数量积知，|a|b|ab|a|b|a|b|ab(当且仅当a，b时等号成立)由|2ab|34|a|24ab|b|2994ab4|a|2|b|24|a|b|4abab(当且仅当2|a|b|，a，b时取等号)，ab的最小值为.【答案】思路点拨：先由|2ab|3找出ab与|a|b|之间关系，再利用基本不等式及数量积的定义求最值.平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要从以下几个角度考查：(1)对数量积定义式的理解与应用；(2)在具体平面图形中计算数量积的值；(3)求一个向量在另一

22、个向量方向上的投影这类考题一般以选择题、填空题的形式出现，多为中低档题目，所占分值为5分 1(1)(2015陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2(2)(2015四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则()A20B15C9D6(3)(2013课标，13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.【解析】(1)根据ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立；当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B不恒成立；根据|ab|

23、2a22abb2(ab)2，C恒成立；根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D恒成立(2)如图所示，由题意知，AD，|2|236169.(3)方法一：如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)于是(1，2)，(2，2)，故1(2)222.方法二：由于四边形ABCD为正方形，且边长为2，所以()()()|2|2220222.【答案】(1)B(2)C(3)2 1.(2013湖北，6)已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D1A由(2，1

24、)，(5，5)，得15，|5.|cos ，|cos ，.故选A.2(2012天津，7)已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R.若，则()A. B. C. D.2A如图，()()，.又，(1)，代入上式得(1)(1).(*)ABC为等边三角形，且|2，|cos 60222，|24，|24，代入(*)式得42410，即(21)20，故选A.思路点拨：本题的关键在于将，用一组基底，来线性表示，然后根据数量积的运算律，结合已知条件建立参数的方程求解,求平面向量数量积的方法给出向量a，b，求ab的三种方法：(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向

25、量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算法则求得求向量a在向量b方向上的投影的方法(1)根据定义求，即a在b方向上的投影为|a|cosa，b；(2)利用数量积求解，即a在b方向上的投影为.平面向量的夹角与模的计算问题是高考的热点内容，一般有以下几个考查角度：(1)求两个向量的夹角；(2)求某一个向量的模；(3)由向量垂直求参数值等高考对该类问题的考查往往会将知识进行交汇考查，多

26、为中低档题目，难度一般，主要以客观题形式出现，所占分值为5分 2(1)(2015重庆，6)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D(2)(2014大纲全国，4)若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B. C1 D.(3)(2013山东，15)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【解析】(1)设|b|x，a，b，则|a|x，abx2cos .(ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)0，3a22ab3ab2b20，即3x2x2cos 2x20，cos ，cos .0，故选A.(2)因为(

27、ab)a，所以(ab)a0，即|a|2ab0，又因为|a|1，所以ab1.又因为(2ab)b，所以(2ab)b0，即2ab|b|20，所以|b|22，所以|b|.(3)，0，()0，即()()220.向量与的夹角为120，|3，|2，(1)|cos 120940，解得.【答案】(1)A(2)B(3) 1.(2014四川，7)平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1 C1 D21Dcmab(m4，2m2)，ac5m8，bc8m20.由两向量的夹角相等可得，即为，解得m2.2(2013天津，12)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD

28、60，E为CD的中点若1，则AB的长为_2【解析】方法一：由题意可知，.因为1，所以()1，则221.因为|1，BAD60，所以|，因此式可化为1|21.解得|0(舍去)或，所以AB的长为.方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD1，BAD60，可知AM，DM.设|AB|m(m0)，则B(m，0)C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以，.由1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的长为.【答案】,求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系；第三步，根

29、据公式cosa，b(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围为0，及其余弦值，求出这两个向量的夹角求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解平面向量中的最值或范围问题也是高考考查的重点，多以下列角度进行考查：(1)求数量积的最值或范围；(2)求模的最值；(3)求夹角的最值或范围；(4)求其他参数的取值范围或最值这类考题往往具有较强的综合性，难度较大，多以客观题形

30、式出现，所占分值为5分 3(1)(2015天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_(2)(2011浙江，14)若平面向量，满足1，1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_【解析】(1)方法一：如图，分别过C，D作CNAB于N，DMAB于M，则AMBN，CDMN1.()()24122，当且仅当，即时等号成立，此时有最小值.方法二：在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60，可得ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，C，D，(2，0)，

31、(1，0)，E.，F.2.当且仅当，即时取等号，符合题意的最小值为.(2)如图，向量与在单位圆O内，由于|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为两边的三角形的面积为，故的终点在如图所示的线段AB上，因此夹角的取值范围为.【答案】(1)(2) (2011课标全国，10)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：p1：|ab|1p2：|ab|1p3：|ab|1 p4：|ab|1其中的真命题是()Ap1，p4Bp1，p3Cp2，p3Dp2，p4A|a|b|1，且0，若|ab|1，则(ab)21，a22abb21，即ab，cos ab，；若|ab|1，同理求得ab，cos

32、 ab，p1，p4正确，故选A.,解题(1)时，方法一：将，转化为已知向量和夹角，并由向量的模和向量的夹角得关于的表达式，然后利用均值不等式求得最值；方法二：考虑到图形中线段长度和夹角已知较多，故可以建立坐标系，通过坐标运算得到关于的表达式，然后利用均值不等式求得最值；解题(2)时，考虑到已知条件的特点，可运用数形结合的方法求解求解平面向量最值或范围问题的常见方法(1)利用不等式求最值解题时要灵活运用不等式|a|b|ab|a|b|.(2)利用函数思想求最值常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值(3)利用数形结合思想求最值要充分利用平面向

33、量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值1(2016广东佛山质检，3)已知向量a(2，0)，b(1，1)，则下列结论正确的是()Aab2 BabCb(ab) D|a|b|1C考向1由已知得ab(1，1)，于是b(ab)0，故b(ab)2(2016辽宁大连一模，6)如图，在ABC中，AB1，AC3，D是BC的中点，则()A3 B4C5 D不能确定2B考向1由于D是BC的中点，所以()又因为，所以()()(|2|2)4.3(2016陕西西安质检，7)已知向量a，b满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则b在a方向上的投影为()A3 B3 C D.3B考向1由a(

34、ab)得a(ab)0，即|a|2ab0，于是ab9，因此b在a方向上的投影为3.4(2015浙江温州二模，5)已知|a|1，ab，(ab)21，则a与b的夹角等于()A30 B45 C60 D1204C考向2设a与b的夹角为，因为ab|a|b|cos ，且|a|1，所以|b|cos .又(ab)2|a|2|b|22ab1，即1|b|211，故|b|1.由得cos .又0180，所以60.故选C.5(2016河北石家庄一模，7)已知平面向量a(1，x)，b(2，y)，且ab，则|ab|的最小值等于()A1 B. C. D35D考向3由ab可得12xy0，即xy2，于是|ab|3.6(2016吉林长春一模，8)非零向量a，b满足2a