2017年高考第二轮复习：(理数)专题十七-随机变量及其分布列(共60页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2017年高考第二轮复习（理数）专题十七 随机变量及其分布列1(2014课标，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.451A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)由条件概率可知，P(B|A)0.8，故选A.2(2015湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖

2、都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X.求X的分布列和数学期望2解：(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.因为P(A1)，P(A2)，所以P(

3、B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.于是P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)3.3(2014山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落

4、点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望3解：记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0，1，3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i0，1，3)，则P(B3)，P(

5、B1)，P(B0)1.(1)记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B

6、0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得随机变量的分布列为012346P所以数学期望E012346.4(2013课标，19，12分，中)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互

7、独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望4解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X4

8、00)1，P(X500)，P(X800).所以X的分布列为X400500800PE(X)400500800506.25.相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题出现，与数学期望等知识结合，难度中等 1(2015北京，16，13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选

9、1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(1)(2)【解析】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bj为“乙是B组的第j个人”，i，j1，2，7.由题意可知P(Ai)P(Bj)，i，j1，2，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)P(A5)P(A6)P(A7).(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间

10、长”由题意知，CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因为P(C)P(A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1).(3)a11或a18. (2014大纲全国，20，12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望解：设Ai表示事件：同一工作日乙、丙

11、中恰有i人需使用设备，i0，1，2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1)DA1BCA2BA2C，P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1BCA2BA2C)P(A1BC)P(A2B)P(A2C)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P()P(C)0.31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，则有P(X0)P(A0)P()P(A0)P()(10.6)0.52(10.4)0.06，P(X1)P(BA0A0CA1)P(B)P(A0)P()P()P(A0)P(C)P()P(A

12、1)P()0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25，P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38，X的分布列为X01234P0.060.250.380.250.06数学期望E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062.相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确

13、区分“互斥事件”与“对立事件”当且仅当事件A和事件B相互独立时，才有P(AB)P(A)P(B)(2)A，B中至少有一个发生：AB.若A，B互斥：P(AB)P(A)P(B)，否则不成立若A，B相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P(AB)P(AB)P(A)P(B)；方法二：P(AB)P(A)P(B)P(AB)1P()P()(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率要注意“至多”“至少”等题型的转化条件概率在高考中经常作为解答题的一小问，或以选择题、填空题出现，难度较小，一般以直接考查公式的应用为主，分值约为5分 2(2015湖北荆门模拟，20，

14、12分)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率【解析】设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B，事件A和事件B相互独立依题意得：(1)第一次抽到次品的概率为P(A).(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB).(3)方法一：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A).方法二：第一次抽到次品后，还剩余产品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率为P(B). (2015湖北荆州质检，

15、13)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A“至少一次出现反面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P(B|A)_【解析】由题意知，P(AB)，P(A)1，所以P(B|A).【答案】,条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).1(2016湖北荆门一模，6)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出

16、现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A. B. C. D.1A由古典概型知P(A)，P(AB)，则由条件概率知P(B|A).2(2016河北石家庄质检，9)小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则进入操作考试环节，第二次未通过则直接被淘汰在操作考试环节，若第一次考试通过，则直接获得证书；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则获得证书，第二次未通过则被淘汰若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相

17、互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是()A. B. C. D.2B设小明本次电工考试中共参加3次考试为事件A，小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过为事件B，小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过为事件C，则P(A)P(BC)P(B)P(C)，又P(B)，P(C)，所以P(A).3(2015河南郑州一模，10)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B. C. D.3A方法一：记事件A：从2号箱中取出的

18、是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)，P()1；由条件概率公式知P(A|B)，P(A|).从而P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P()，选A.方法二：根据题意，分两种情况讨论：从1号箱中取出白球，其概率为，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为，则这种情况下的概率为.从1号箱中取出红球，其概率为.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为，则这种情况下的概率为.则从2号箱中取出红球的概率是.4(2016江苏扬州一模，4)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取

19、一张(不放回)，两人都中奖的概率为_4【解析】方法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A，乙中奖记为事件B，两人都中奖的概率为P，则PP(AB).方法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P，则P.【答案】5(2016江苏盐城二模，10)如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_5【解析】灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)P(B)P(C)，由独

20、立事件概率公式知P(AC)P(A)P()P(C).【答案】6(2016湖南常德一模，18，12分)某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，且两人租车的时间都不超过4小时(1)求甲、乙两人所付租车费用相等的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望6解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元，甲、乙两人所付费用都是

21、10元的概率为P1.甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P2.甲、乙两人所付费用都是30元的概率为P3.故甲、乙两人所付费用相等的概率为PP1P2P3.(2)随机变量的取值可以为20，30，40，50，60.P(20).P(30).P(40).P(50).P(60).故的分布列为2030405060P的数学期望是E203040506035.7(2016山东德州一模，18，12分)某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为，.(1)对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；(2)该项目要求实验A，B各做

22、两次，实验C做三次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10 000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30 000元，三次实验C只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60 000元(不重复得奖)且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望7解：(1)设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C且相互独立，A，B，C至少有一次实验成功为事件D.则P(D)1P( )1P()P()P()1.(2)X的取值为0，10 000，30 000，60 000.则P(X0).P(X10 000).P(X30 000).或P(X30 000).P(X60 000).X的分

23、布列为X010 00030 00060 000PX的数学期望是E(X)010 00030 00060 00021 600(元)1(2015湖北，4，易)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)1C由正态分布密度曲线可得，12，12.结合正态曲线的概率的几何意义，对于A，12，P(Y2)P(Y1)；对于B，12，P(X2)P(X1)；对于C，D，结合图象可知，C正确2(2015课标，4，中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已

24、知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.3122A记Ai投中i次，其中i1，2，3，B表示该同学通过测试，故P(B)P(A2A3)P(A2)P(A3)C0.620.4C0.630.648.3(2015湖南，7，中)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(20)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则()A12，12B12C12，12，12(2)(2015山东

25、，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P( )68.26%，P(22)95.44%.)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%【解析】(1)由正态分布N(，2)的性质知，x为正态分布密度函数图象的对称轴，故12；又越小，图象越高瘦，故12.(2)由正态分布的概率公式知P(33)68.26%，P(66)95.44%，故P(34)()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 51B由正态曲线性质知，其图象关于直线x3对称，P(X

26、4)0.50.682 60.158 7，故选B.2(2016江西八校联考，6)在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布N(100，2)(0)，若在(80，120)内的概率为0.8，则在(0，80)内的概率为()A0.05 B0.1 C0.15 D0.22B由题意得，P(80100)P(100120)0.4，P(0100)0.5，P(080)0.1.,利用正态曲线的对称性求概率的方法(1)解题的关键是利用对称轴x确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断(2)对于正态分布N(，2)，由x是正态曲线的对称轴知：对任意的a，有P(Xa)；P(Xx0)1

27、P(Xx0)；P(aXb)P(Xb)P(Xa)(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(，2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(X)，P(2X2)，P(3a2)P(a2)P(2)0.023，则P(22)()A0.477 B0.628 C0.954 D0.9773C0，正态曲线关于0对称，P(2)P(2)0.023，P(22)120.0230.954，故选C.4(2015豫北六校联考，10)设是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E()15，D()，则n与p的值分别为()A60， B60，C50， D50，4B由B(n，p)，得E()np15，D()np(1p)，则p，n6

28、0.5(2016山西四校联考，14)设随机变量XN(3，2)，若P(Xm)0.3，则P(X6m)_.5【解析】因为P(Xm)0.3，XN(3，2)，所以m3，P(X6m)P(Xm)0.3，所以P(X6m)1P(X6m)0.7.【答案】0.76(2016河北唐山一模，18，12分)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率； (2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X(单位：元)，求X的分布列和期望6解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A，则P(A)C.(2)X的所有可能取值为0

29、，5，10，15，20.P(X0)，P(X5)C，P(X10).P(X15)C，P(X20).所以X的分布列为X05101520PE(X)05101520(元)7(2016江西南昌一模，18，12分)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，2)(满分为100分)，已知P(X75)0.3，P(X95)0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间80，85)，85，95)，95，100各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间75，85的人数为，求随机变量的分布列和数学期望E.7解：(1)P(80X85)P(75X80)0.5P(X75)0.2，P(85X95)0.50.20.10.2，所以所求概率PA0.20.20.10.024.(2)P(75X85)12P(Xp2，E(1)E(2) Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)E(2)2A随机变量1，2的分布列如下：112p2123p所以E(1)，E(2)，所以E(1)0，所以p1p2.思路点拨：列出随机变量1，2的分布列，计算期望值并比较大小；利用分步计数原理计算p1，p2并比较大小3(2014浙江，12，易)随机变量的取值为0