2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析-专题18-直线和平面所成的角的求法(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第18讲 ：直线和平面所成的角的求法【考纲要求】能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题。【基础知识】一、直线与平面所成的角的定义平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和平面所成的锐角，如果这条直线垂直于平面，直线和平面所成角是直角，如果直线和平面平行或直线在平面内，直线和平面所成的角就是零度。二、直线和平面所成角的范围当直线在平面内或和平面平行时，直线和平面所成的角为，直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为，斜线和平面所成的角为所以直线和平面所成的角的范围为。三、直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形）

2、，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形。方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角。 四、求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。例1 如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积解：（）证明：因为ABC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即

3、，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以，又ABCD，所以，又因为来源:学科网ZXXK又 ，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.由平面，在中，所以.故边上的高为2，即点到平面的距离，即点点到平面的距离为2.设直线与平面所成的角为，则，又，所以.DCBPAM（）由（）知，所以，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥PACDE的体积为=。方法二向量法来源:学科网ZXXK使用情景直线和平面所成的角不容易作出。解题步骤建立空间直角坐标系求直线的方向向量求平面的法向量代入公式求出直线和平面所成的角。例2 已知三棱锥PABC中，PAAB

4、C，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）. （）,因为， 所以CMSN （）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 因为=，所以SN与平面CMN所成角为45。 【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求D

5、P与平面AADD所成角的大小.【高考精选传真】第19题图【解析】（）解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面又，所以于是 ，于是可得，且设，则. 因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时， 设平面的一个法向量为，由 及，得 可取 设与平面所成角的大小为，则由，可得，即CADB图aEMxyz图bCADBEFMN 图cBDPCFNEBGMNEH图d第19题解答图N 故与平面所成角的大小为 连接，由计算得，所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面在平面中，过点作于，则平面故是与平面所

6、成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即与平面所成角的大小为 2、（2012高考真题四川理19） 如图，在三棱锥中，平面平面。（）求直线与平面所成角的大小；（）求二面角的大小。故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan6分（2）过D作DE于E，连接CE. 由已知可得，CD平面PAB.根据三垂线定理可知，CEPA，所以，.由（1）知，DE=在RtCDE中，tan故【反馈训练】1 设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A 30B 45C 60D 752.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，C

7、C1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.3PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 4.直线AB与直二面角l的两个半平面分别交于A、B两点,且A、Bl,如果直线AB与、所成的角分别是1、2,则1+2的取值范围是 ( )A.01+2 B.1+2=C.1+2 D.01+25.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.6.把正方形ABCD沿对角线AC折起

8、,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A.90 B.60 C.45 D.307.如图，在体积为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=1.求直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，ABC=120。E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成，使平面平面BCD，F为线段的中点。（）求证：BF平面；（）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面所成角的余弦值。9.如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求A

9、E与平面PDB所成的角的大小.11.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】 ()证明：作MNAB交AP于N,连结DN,则MNABCD,且 CMND,CM平面PAD（）CMND, ND与平面ABCD所成的角为所求.侧面PAD底面ABCD，ND在平面ABCD上的射影为ADAND为所求； PAD是正三角形，N是PA的中点DCBPAMECM与底面所成的角为30. （）延长AD、BC交于点E,连结P、E

10、.则PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD所以，APE=90，APPE又ABAD,平面PAD底面ABCD AB平面PAEBPPE, BPA为所求二面角的平面角tanBPA=所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2 【变式演练2详细解析】(1)因为cos,=所以,=45,即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是=(0,1,0).因为cos,=,所以,=60,可得DP与平面AADD所成的角为30.【反馈训练详细解析】来源:学科网1 B【 解析】 作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45 答案 B2C【解析】连结A1

11、C1交B1D1于点O，则C1O平面DBB1D1.连结OB,则C1BO即为所求.BC1=20,C1O=,sinC1BO=.故选C.D3.C【解析】构造正方体如图所示，过点C作CO平面PAB，垂足为O，则O为正ABP的中心，于是CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a，则PO=，故，即选C。5.B【解析】:如图，连结A1B和AB1交于点O，取OB的中点E，连结OE,则OEA1O,来源:学科网OE平面ABC.连结AE, OAE即为AB1与平面ABC所成的角.AO=BO, 又A1A=AB,DO平面ABC. DBO为BD与平面ABC所成的角. DBO=45.答案:CAA1=CC1=2. 连结BC1.

12、 A1C1B1C1,A1C1CC1, A1C1平面BB1C1C.A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角.又BC1=,平面BB1C1C的法向量为n=(1,0,0).设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为,与n的夹角为,8.【解析】()证明：取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知FGCD，FG=CD. BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE. 故四边形BEGF为平行四边形, 所以BFEG来源:Z*xx*k.Com因为平面，BF平面 ，所以 BF/平面（）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连CE，因为在BCE中，可得CE=

13、a, 在ADE中，可得DE=a,在CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M为DE中点，所以AMDE.由平面ADE平面BCD, 可知AM平面BCD,AMCE.取AE的中点N，连线NM、NF， 所以NFDE,NFAM.因为DE交AM于M, 所以NF平面ADE,则FMN为直线FM与平面ADE新成角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a, 则cos=.所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为. OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO，来源:学科网ZXXK 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.来源:Zxxk.Com（），ACDP，A

14、CDB，AC平面PDB，平面.来源:学科网（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.10.【解析】.解法一：（）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），设G（0，2，h），则10+1（2）+2h=0. h=1，即G是AA1的中点. （）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）来源:学。科。网Z。X。X。K因为11【解析】(1)证明设ADDE2AB2a，以A为原点，AC为x轴，AB为z轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)因为F为CD的中点，来源:学科网所以F.，(a，a，a)，(2a,0，a)因为()，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)证明因为，(a，a,0)，(0,0，2a)，故0，0，所以，.所以平面CDE.又AF平面BCE，所以平面BCE平面CDE.(3)解设平面BCE的法向量为n(x，y，z)由n0，n0，可得xyz0,2xz0，专心-专注-专业