2022年两角和差正余弦公式的证明.pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值, 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之, 要推导两角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一个等式或方程, 将或与, 的三角函数联系起来。根据诱导公式, 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此, 由和角公式容易 得 到 对 应 的 差 角 公 式, 也 可 以 由 差 角 公 式 得 到 对 应 的 和 角 公 式 。又 因 为, 即原角的余弦等于其余角的正弦, 据此, 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此, 只要解

2、决这组公式中的一个, 其余的公式将很容易得到。( 一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示, 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系与, 的三角函数值的等式。1. 和角余弦公式(方法1) 如图所示 , 在直角坐标系中作单位圆, 并作角, 和, 使角的始边为, 交于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整

3、理学习必备于点C；角始边为, 终边交于点。从而点A, B, C 和 D 的坐标分别为, ,。由两点间距离公式得；。注意到, 因此。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架, 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。2. 差角余弦公式仍然在单位圆的框架下, 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是(方法 2) 如图所示 , 在坐标系中作单位圆, 并作角和, 使角和的始边均为, 交于点 C, 角终边交于点A,角终边交于点。从而点 A, B 的坐标为,。由两点间距离公式得精品资料 - - -

4、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备。由余弦定理得。从而有。注记：方法2 中用到了余弦定理, 它依赖于是三角形的内角。因此 , 还需要补充讨论角和的终边共线 , 以及大于的情形。 容易验证, 公式在以上情形中依然成立。在上边的证明中, 用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

5、 -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备( 二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式, 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。1. 和角正弦公式(一) (方法 3) 如图所示 , 为的边上的高, 为边上的高。设, , , 则。从而有, , , 。因此, 。注意到, 从而有：, 整理可得：。注记：在方法3 中 , 用和与底角, 相关的三角函数, 从两个角度来表示精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

6、- -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备边上高, 从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形, 证明过程类似。利用方法3 中的图形, 我们用类似于恒等变形的方式, 可以得到下面的(方法4) 如图所示 , 为的边上的高, 为边上的高。设, , 则。注意到, 则有,即。从而有。利用正弦定理和射影定理, 将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法3,4 所用的图形框架是相同的。(方法5) 如图所示, 为的边上的高。设, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

7、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备, 则有,。 由正弦定理可得, 其中 d 为的外接圆直径。由得, 从而有。2. 和角正弦公式( 二 ) 方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角, 放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角, 将会有下面的几种证法( 方法611)。(方法6) 如图所示, 作于 D, 交外接圆于E, 连和。 设, , 则, ,。设的外接圆直径为d, 则有 , ,。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

8、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备所以有。注意到, 从而。(方法7) 如图所示, 为的边上的高, 为边上的高。设, , 则。 设, 则, , , 。又从而。整理可得。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备(方法8) 如图所示, 作于 D, 过 D 作于 F, 于 G。设, 则,设, 从

9、而,。所以。注意到, 则有。注记： 我们用两种不同的方法计算, 得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方法来计算, 则可以得到和角的余弦公式。由上图可得, , 从而有。注意到, 从而可得。方法6,7 和 8 都是用角, 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段, 从而构造出我们所希望的等式关系。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备(方法9 ) 如图所示, 设为的边上的高。设, , , 从而有精品资料 - - -

10、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。(方法10) 如图所示, 设为的外接圆直径d, 长度为 d。设, , 则, 从而精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备注记：这一证明用到了

11、托勒密定理：若和是圆内接四边形的对角线, 则有。(方法11) 如图所示, 为的边上的高。设, , 则。 设, 则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备方法10 和 11 将某一线段作为基本量, 利用与角, 相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理( 托勒密定理或正弦定理), 构造出我们希望的等式关系。3. 差角正弦公式仍然还是在三角形中, 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法 12

12、和 13 便是用这种想法来证明的。(方法12) 如图所示,。 设, , 记, 作精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备于 E, 则, , 从而有(方法13) 如图所示, 为的外接圆直径, 长度为d。设, , 则, 。 从而精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - -

13、- - - 名师推荐精心整理学习必备方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段, 借此来构造等式关系。很显然, 在这十二种证法中, 方法 1 和 2 更具普遍性。换言之, 这两种方法中出现的角, 是任意角。而其余方法中, 角和则有一定的限制, 它们都是三角形的内角( 甚至都是锐角)。因此, 对于方法313, 我们需要将我们的结果推广到角和是任意角的情形。具体而言, 我们要证明：如果公式对任意成立, 则对任意角也成立。容易验证, 角和中至少有一个是轴上角( 即终边在坐标轴上的角), 我们的公式是成立的。下面证明, 角和都是象限角( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 时 ,

14、 我们的公式也成立。不妨设为第二象限角, 为第三象限角, 从而有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备从而同理可证 , 公式对于象限角和的其它组合方式都成立。因此, 我们可以将方法313 推导的公式推广到角, 是任意角的情形。两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中可以看到, 这一探究过程可分为四个步骤：(1) 明确推导证明的目标：构造联系和三角函数

15、与或的等式或方程；(2) 简化课题：四个公式只要解决一个, 其余的都可由它推出；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系和三角函数与或的工具, 寻找我们希望的等式关系；(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺, 可考虑将其化归为已解决的情形, 必要时还要进行分类讨论。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -