三角恒等变换(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上03三角恒等变换突破点(一)三角函数的化简求值1两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2.二倍角公式三角函数式的化简常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等例1已知(0，)，化简：_.解析原式.因为(0，)，所以，所以cos0，所以原式cos2sin2cos . 答案cos 方法技巧三角函数式的化简要遵循“三看”原则三角函数的给角求值例2求值：(1)sin 10(tan 5)；(2)sin 50(1tan 10)解(1)原式sin 10()sin 10sin 102cos 10.(2)sin 50(1tan 10)si

2、n 50(1tan 60tan 10)sin 50sin 501.方法技巧给角求值问题的解题规律解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形突破点(二)三角函数的条件求值给值求值问题例1(2017合肥模拟)已知coscos，.(1)求sin 2的值；(2)求tan 的值解(1)coscoscossinsin，sin.，2，cos，sin 2sinsincosco

3、ssin.(2)，2，又由(1)知sin 2， cos 2. tan 22.方法技巧给值求值问题的求解思路(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值给值求角问题例2(1)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A. B. C. D.或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_解析(1)，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，.(2)tan tan()0，00，02，tan(2)1.tan 0，20)，函数f(x)mn的最大值

4、为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域解(1)f(x)mnAsin xcos xcos 2xAAsin.因为A0， A6.(2)由(1)知f(x)6sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin的图象因此g(x)6sin.因为x，所以4x，故g(x)的值域为3,6典例2已知函数f(x)2cos2x12sin xcos x(01)，直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴(1)求函

5、数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值解：(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，由于直线x是函数f(x)2sin的图象的一条对称轴，所以sin1，因此k(kZ)，解得k(kZ)，又01，所以，所以f(x)2sin.由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)由题意可得g(x)2sin，即g(x)2cos，由g2cos2cos，得cos，又，故0)求周期；根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲

6、线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x)t或yAcos(x)t的单调区间全国卷5年真题集中演练明规律1.(2016全国甲卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4 B5C6 D7解析：选Bf(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.故选B.2(2015新课标全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B. C D.解析：选Dsin 20cos 10cos 160s

7、in 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.3(2014新课标全国卷)设，且tan ，则()A3 B2 C3 D2解析：选B由条件得，即sin cos cos (1sin )，sin()cos sin，因为，0，所以，所以2.4(2013新课标全国卷)已知sin 2，则cos2() A. B. C. D.解析：选Acos2(1sin 2).5(2013新课标全国卷)设为第二象限角，若tan，则sin cos _.解析：将tan利用两角和的正切公式展开，则，求得tan .又因为在第二象限，则sin ，cos ，从而sin cos .答案： 检

8、验高考能力一、选择题1已知sin 2，则cos2()A B.C D.解析：选D依题意得cos2cos cossin sin2(cos sin )2(1sin 2).2已知cos，则cos xcos()A BC1 D1解析：选Ccos，cos xcosxcos xcos xcossin xsincos xsin xcos1.3若tan 2tan，则()A1 B2 C3 D4解析：选C3，故选C.4已知sin，cos 2，则sin ()A. BC. D解析：选C由sin得sin cos ，由cos 2得cos2sin2，所以(cos sin )(cos sin )，由可得cos sin ，由可得s

9、in .5在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，则角A的值为()A. B. C. D.解析：选A由题意知，sin Acos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，在等式cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C两边同除以cos Bcos C得tan Btan C，又tan Btan C1，所以tan(BC)1.由已知，有tan Atan(BC)，则tan A1，所以A.6已知锐角，满足sin cos ，tan tan tan tan ，则，的大小关系是()A B C. D.又tan tan tan tan

10、，tan()，又，0，2，sin 2，coscos 2sin 2.答案：9已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，则_.解析：由题意得tan tan 30，tan()，且tan 0，tan 0，又，故，(，0)，.答案：10若0，0，cos，cos，则cos_.解析：0，0，sin，sin，coscoscoscossinsin.答案：三、解答题11已知函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.解：(1)fcos2sincos2.(2)因为f(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin，所以fs

11、insin.因为sin ，且，所以cos ，所以f().12(2016天津高考)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解：(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，Bxkxk，kZ，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. 专心-专注-专业