南昌大学历年高等数学(下)期末考试试卷(共36页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上南昌大学 20062007学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设，则当时, ; 当 时, .2. 函数 的间断点是.3. 设函数, 则 .4. 设G是一个单连通域,与在G内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分 在G内与路径无关的充要条件是.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :, 平面方程为, 若直线与平面平行,则 ( ).(A) 充要条件是:. (B) 充要条件是: . (C) 充分但不必要条件是: (D) 充分但不必要条件是: .2设是由方程 所确定的隐函数, 则( ). (A) . (B) . (C

2、) . (D) . 3函数 的极小值为 ( ).(A) . (B) . (C) . (D) .4下列说法正确的是 ( ). (A) 若 , 则级数 必收敛. (B) 若级数 发散, 则必有 . (C) 若级数 发散, 则 . (D) 若 , 则 级数 必发散.5微分方程 的通解是 ( ). (A) . (B) . (C) . (D) .三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1设一平面经过原点及点且与平面 垂直, 求此平面方程.2设而,且具有二阶连续偏导数,求. 四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算二重积分,其中是由圆周所围成的闭区域.2、计算曲线积

3、分 , 其中L是取圆周 的正向闭曲线.五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分):1、 利用高斯公式计算曲面积分, 其中是长方体：整个表面的外侧.2、判别正项级数 的敛散性.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、设幂级数 . (1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数. 2、求微分方程 的通解. 七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点处的切线斜率等于.南昌大学 20062007学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设，则当时, ; 当 时, .2. 函数 的间断点是.3. 设函数, 则 .4. 设G

4、是一个单连通域,与在G内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分 在G内与路径无关的充要条件是.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :, 平面方程为, 若直线与平面平行,则 ( A ).(A) 充要条件是:. (B) 充要条件是: . (C) 充分但不必要条件是: (D) 充分但不必要条件是: .2设是由方程 所确定的隐函数, 则( C ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3函数 的极小值为 ( B ).(A) . (B) . (C) . (D) .4下列说法正确的是 ( D ). (A) 若 , 则级数 必收敛. (B) 若级数 发散, 则必有 . (

5、C) 若级数 发散, 则 . (D) 若 , 则 级数 必发散.5微分方程 的通解是 ( D ). (A) . (B) . (C) . (D) .三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1设一平面经过原点及点且与平面 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量. 则 . 取 .故所求平面方程为: . 解法二: 设所求平面法向量则.于是有 解得: . 由平面的点法式方程可知,所求平面方程为.将代入上式,并约去,便得：. 即为所求平面方程. 2设而,且具有二阶连续偏导数,求. 解: 四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算二重积分,其中是由圆周所围成的

6、闭区域.解: 2、计算曲线积分 , 其中L是取圆周 的正向闭曲线.解: 由格林公式,有原式五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分):1、 利用高斯公式计算曲面积分, 其中是长方体：整个表面的外侧.解: 则由高斯公式有原式2、判别正项级数 的敛散性.解: 所以原级数收敛. 六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、设幂级数 . (1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数. 解: (1). 所以收敛半径 当时, 发散; 当时, 发散.所以收敛区间为: . (2). 设和函数为: . 故 2、求微分方程 的通解.解: . 不是特征根,所以设特解为: .则,代入原方

7、程得. . 故通解为: 七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点处的切线斜率等于.解: 依题意: 则： . 把 代入上式, 得.故 南昌大学 20072008学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设 则_.2. 函数 的定义域是_.3. 设函数, 则_.4. 交换累次积分的次序_. 5. 微分方程 的通解为_. 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 过点且与平面平行的平面方程是( ).(A) . (B) . (C) (D) .2设 , 而 , 则( ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3 设可微函数在点取得极小值,

8、则下列结论正确的是 ( ). (A) 在处的导数大于零. (B) 在处的导数等于零. (C) 在处的导数小于零. . (D) 在处的导数不存在.4设L为取正向的圆周, 则曲线积分 之值为 ( ).(A) . (B) . (C) . (D) .5函数关于的幂级数展开式为 ( ). (A) (B) . (C) . (D) .三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1求与两平面 和 的交线平行且过点的直线方程.2设而,且具有二阶连续偏导数,求. 四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算曲线积分, 其中L 是由点沿上半圆周到点的弧段.2、利用高斯公式计算曲面积分

9、, 其中为上半球面 的上侧。五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分):1、判定正项级数 的敛散性2、设幂级数 . (1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数.六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解.2、(应用题) 计算由平面 和旋转抛物面 所围成的立体的体积.七、(6分) 已知连续可微函数 满足 , 且能使曲线积分 与路径无关, 求.南昌大学 20072008学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设 则 .2. 函数 的定义域是.3. 设函数, 则 .4. 交换累次积分的次序： . 5. 微分方程

10、 的通解为：.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 过点且与平面平行的平面方程是( B ).(A) . (B) . (C) (D) .2设 , 而 , 则( A ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3 设可微函数在点取得极小值, 则下列结论正确的是 ( B ). (A) 在处的导数大于零. (B) 在处的导数等于零. (C) 在处的导数小于零. . (D) 在处的导数不存在.4设L为取正向的圆周, 则曲线积分 之值为 ( A ).(A) . (B) . (C) . (D) .5函数关于的幂级数展开式为 ( D ). (A) (B) . (C) . (D) .三、求解

11、下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1求与两平面 和 的交线平行且过点的直线方程.解: 因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的解: 因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的方向向量与两平面的法向量、都垂直. 所以取. 故所求直线方程为. 2设而,且具有二阶连续偏导数,求：. 解: 四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算曲线积分, 其中L 是由点沿上半圆周到点的弧段.解: 连接OA构成闭路OABO, 其围成区域为D.沿. 0A（a，0）BDxy2、利用高斯公式计算曲面积分, 其中为上半球面 的上侧。解: 记为平面的下侧. 由高斯公式有原式 五、解下

12、列各题(共2小题, 每小题8分,共16分):1、判定正项级数 的敛散性解: 所以原级数收敛. 2、设幂级数 . (1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数.解: (1). 当时, 发散; 当时, 收敛.故收敛区间为 (2). 设. 即 六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解. 解: 不是特征根, 所以设 代入原方程得: 故原方程的通解为: 2、(应用题) 计算由平面 和旋转抛物面 所围成的立体的体积.解法一: 解法二: 七、(6分) 已知连续可微函数 满足 , 且能使曲线积分 与路径无关, 求.解: 因为曲线积分与路径无关, 所以 . 于是得：即：

13、 由, 得 南昌大学 20082009学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,则以,为边的平行四边形的面积等于.2. 曲面在点处的切平面方程是.3. 交换积分次序.4. 对于级数（a0），当a满足条件时收敛.5. 函数展开成的幂级数为.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通过轴 （B）通过轴（C）垂直于轴 （D）平行于平面2. 函数在点处具有偏导数，,是函数在该点可微分的 （ ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件3. 设，则（ ）（A） （B）（C） （D）4

14、. 若级数在处收敛，则此级数在处（ ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)设平面通过点，而且通过直线，求该平面方程四、(本题满分8分)设，其中具有二阶连续偏导数，试求和五、(本题满分8分)计算三重积分，其中六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中L是圆周在第一象限的部分七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是柱面与平面和所围成的边界曲面外侧八、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数九、(本题满分9分)求微分方程的通解十、(本题满分11分)设是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点

15、为，记1证明曲线积分与路径无关；2求的值南昌大学 20082009学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,则以,为边的平行四边形的面积等于.2. 曲面在点处的切平面方程是.3. 交换积分次序.4. 对于级数（a0），当a满足条件时收敛.5. 函数展开成的幂级数为.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通过轴 （B）通过轴（C）垂直于轴 （D）平行于平面2. 函数在点处具有偏导数，,是函数在该点可微分的 （ ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件3. 设，则（

16、 ）（A） （B）（C） （D）4. 若级数在处收敛，则此级数在处（ ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)设平面通过点，而且通过直线，求该平面方程解: 由于平面通过点及直线上的点， 因而向量平行于该平面。该平面的法向量为: 则平面方程为: 或： 即： 四、(本题满分8分) 设，其中具有二阶连续偏导数，试求和解: , 五、(本题满分8分)计算三重积分，其中解: 六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中L是圆周在第一象限的部分解法一: 解法二: （的弧长） 解法三: 令， 七、(本题满分9

17、分)计算曲面积分，其中是柱面与平面和所围成的边界曲面外侧解: , 由高斯公式： 八、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数解: 收敛半径： 易判断当时，原级数发散。 于是收敛域为 九、(本题满分9分)求微分方程的通解解:特征方程为：特征根为：,的通解为：设原方程的一个特解为：, 原方程的一个特解为：故原方程的一个通解为： 十、(本题满分11分)设是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记1证明曲线积分与路径无关；2求的值证明1:因为上半平面是单连通域，在内： ，有连续偏导数，且： ，。 所以曲线积分与路径无关。解2: 设，由于曲线积分与路径无关，故可取折线路径：。 南昌大学 200

18、92010学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设，若，则_.2. 空间曲线，在点处的切线方程是_.3. 计算积分_.4. 设级数收敛，发散，则级数必是_. 5. 函数展开成的幂级数为_. 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线与平面的关系是 （ ）（A）直线在平面上 （B）直线与平面平行但直线不在平面上（C）直线与平面垂直 （D）直线与平面相交但不垂直2函数在点处可微分，则（ ） （A）在点处具有连续偏导数 （B）在点处不一定连续（C）存在 （D）在点的任一邻域内有界3设，则= （ ）（A） （B）（C） （D）4若级数在处收敛，则此级数在处

19、 （ ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5函数的极大值点为（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)求通过两点和且垂直于平面的平面方程四、(本题满分8分)设，其中具有二阶连续偏导数，试求和五、(本题满分8分)计算二重积分，其中是由圆周 所围成的闭区域 六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中是直线从点到的直线段七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是球面的外侧八、(本题满分9分)求微分方程的通解九、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数十、(本题满分11分)已知函数有（1）求、的值；（2）计算，其中为取正向南昌大学 20092010学年第二学期

20、期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设，若，则.2. 空间曲线，在点处的切线方程是.3. 计算积分.4. 设级数收敛，发散，则级数必是. 5. 函数展开成的幂级数为. 三、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线与平面的关系是 （ A ）（A）直线在平面上 （B）直线与平面平行但直线不在平面上（C）直线与平面垂直 （D）直线与平面相交但不垂直2函数在点处可微分，则（ C ） （A）在点处具有连续偏导数 （B）在点处不一定连续（C）存在 （D）在点的任一邻域内有界3设，则= （ C ）（A） （B）（C） （D）4若级数在处收敛，则此级数在处 （ D ）（

21、A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5函数的极大值点为（ D ）（A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)求通过两点和且垂直于平面的平面方程解: 设已知平面法向量为，则， 取所求平面方程为即四、(本题满分8分)设，其中具有二阶连续偏导数，试求和解: 令 五、(本题满分8分)计算二重积分，其中是由圆周 所围成的闭区域 解: 六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中是直线从点到的直线段解: 七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是球面的外侧解: 八、(本题满分9分)求微分方程的通解解: 先求的通解特征方程为，特征根，所以对应齐次方程的通解为又设非齐次方程的特解为，则，所以特解为所以的通解为：九、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数解: （1）当时，即时原级数绝对收敛当时，级数化为，发散当时，级数化为，发散所以收敛域为 （2）设的和函数为，则又，所以 十、(本题满分11分)已知函数有（1）求、的值；（2）计算，其中为取正向解: （1），要使，所以，（2） 专心-专注-专业