椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.C.(3,+)D.【解析】，（当且仅当三点共线等号成立）,选B例2、如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD解析设，由题意及椭圆第二定义可知（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又,选B二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（

2、 ） 【解析】设，当点在右顶点处，三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.C.(3,+)D.解：,即在双曲线右支上恒存在点使得可知，又,选B例2已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。解：由题意得因为，所以，从而，。又因为P在右支上，所以。 。 例3椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A） （B） （C）

3、（D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA| w |PF|ac,ac 于是ac,ac即acc2b2acc2 m又e(0,1)故e 答案：D例4、已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 【解析】（由正弦定理得），又，由双曲线性质知，即，得，又，得例5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使=900，求离心率e的取值范围。解析：P点满足F1PF2=90，点P在以F1F2为直径的圆上又P是椭圆上一点，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，F1、F2是椭圆的焦点以F1F2为直径的圆的半径r满足：

4、r=cb，两边平方，得c2b2 即c2a2-c2 四、利用圆锥曲线中的范围建立不等关系例1、双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）【解析】 而双曲线的离心率，例2、设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。例2 设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使=900，求离心率e的取值范围。解析1：设P

5、（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解析2：由焦半径公式得 例3已知椭圆=1（ab0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0x0a, 0y0bA（a，0），B（a，0），=，=APB=1200，tanAPB=-，又tanAPB=，=， 而点P在椭圆上，b2x02+a2y02=a2b2由、得y0=0y0b，0bab0，2ab（a2-b2），即4 a2b23 c4，整理得，3e4+4e2-40考虑0e1，可解得e1四、利用判别式建立不等关系例1、设椭圆的左右焦点分别为

6、，如果椭圆上存在点P，使=900，求离心率e的取值范围。解：由椭圆定义知 例2、已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，即且，所以，即且。五、利用均值不等式建立不等关系例1、已知椭圆(ab0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，F1PF2=60则椭圆离心率e的取值范围 ；解：设|PF1|=m，|PF2|=n则根据椭圆的定义，得m+n=2a， 又F1PF2中，F1PF2=60由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2 联解，得mn又mna2， a2，化简整理，得a24c2，解之得e1 例2、已

7、知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，则双曲线离心率的取值范围 。解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。例3、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使=900，则离心率e的取值范围 。解析：由椭圆定义，有 平方后得 六、利用二次函数的性质建立不等关系设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 【解析】，根据二次函数值域可得七、利用非负数性质例 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），则双曲线离心率的取值范围 。解析：设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：，由韦达定理得：，由OPOQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。练习1、设F1，F

8、2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足F1PF2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（A）A，1) B.（，1) C.(0，) D.(0，解：设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1在PF1F2中，由余弦定理得 cos120，解得 x12 x12（0，a2，4c2-3a20且e21 e，1)2、设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）【解析】设若为右准线与轴的交点，可知，即，又在右准线上可知，所以离心率的取值范围为3、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为若 ，则该

9、椭圆离心率的取值范围是（ ） 【解析】因为两准线距离为，又因为，所以有，即，所以4、已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） 【解析】如图与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线为过且倾斜角为的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使5、设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，求双曲线离心率的取值范围。解析1：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：，由三角形性质得：解得：。解析2： ，点P在双曲线右支上由图1可知：，即，两式相加得：，解得：。6、已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取

10、值范围是 【解析】因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得则解得由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率7、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A. B. C. D. 解析: 因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。7、已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ A ）ABC.D8、已知

11、是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。【解析】如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得. 两边都除以,得,解得.9、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（ ）（A）1 （B） （C） （D）2【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，由，得，即k=，故选B.【解析】：A（x1，y1），B（x2，y2），y1=-3y2，e，设a2t，ct，b=t，x2+4y2-4t2=0，直线AB方程为xsy+t代入消去x，得 (s2+4)y2+2styt20，y1+y2 ，y1y2 ，2y2 k= 故选B专心-专注-专业