《锐角三角函数》导学案(共17页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第七章 锐角三角函数（1）正切函数 学习目标1、认识锐角的正切的概念。2、会求一个锐角的正切值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。学习重点：锐角的正切的概念学习难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法知识要点 在RtABC中，C=90，A的对边与邻边的比值是A的正切，记作一、 情境创设 问题1. 我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？如上图，这两个直角三角形中，C=C=90，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个坡更陡？ 本节课我们研究两直角

2、边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？给出正切概念：如图，在RtABC中，把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作：.二、典型例题例1根据下列图中所给条件分别求出下列图中A、B的正切值。通过上述计算，你有什么发现？ 互余两角的正切值 例2如图，在RtABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求ACD 、BCD的正切值。 结论：等角的正切值 例3 如图（1），A=30，C=90，根据三角函数定义求出30、45、60的正切值（1） （2） （3） 例4 如图，A=15，C=90，求出15正切值随堂演练1.（1）在直角三角形ABC中，

3、C=90，b=9, a=12,则= ，tanB= 。（2）如图，ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的 （3）在RtABC中,C=90,AC=12,tanA=2，则BC长为 。2.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为（ ） A B C DABCCB3RtABC中，C=90，若，则tanA= 。4在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正切值（ ） A扩大2倍B缩小2倍C扩大4倍D不变5. 在RtABC中A=75，C=90，求出75正切值9等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC.ABC 7.2 正弦、

4、余弦(1) 学习目标：1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一个锐角的正弦、余弦值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。教学重点：锐角的正弦、余弦的概念教学难点：锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想方法知识要点：1、正弦的定义如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的_，记作_，即：sinA_=_.2、余弦的定义如图，在RtABC中，C90,我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的_，记作=_，即：cosA=_=_。（你能写出B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看_.教学过程一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m

5、后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？20m13m3、B 在ABC中, C=90. 锐角A的对边a与斜边c的比叫做 A的正弦,记作sinA.CA 锐角A的邻边a与斜边c的比叫做 A的余弦,记作cosA.二、典型例题例1. 根据图中数据,分别求出A, B 的正弦,余弦.练习：在ABC中，A、B、C的对边分别为、，且，下面四个式中错误的有( ) sin；cos；tan；sinA1个B2个C3个D4个例2、 如图，在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别是、，：=2：3，求s

6、inA与sinB的值。例3、如图，在RtABC中 ，ACB=90，BC=6，CDAB于D，AC=8。试求：sinA的值；cosACD的值；CD的长。练习：1、 如图，在RtABC中，C90，AC12，BC5，则sinA_，cosA_，sinB_，cosB_。2、 在RtABC中，C90，AC1，BC，则sinA_，cosB=_,cosA=_,sinB=_.3、如图，在RtABC中，C90，BC9a，AC12a，AB15a，则tanB=_,cosB=_,sinB=_4、比较：sin30与sin60的大小;cos30与cos60的大小?随堂演练：(第2题)1、在RtABC中，C=90，AC=2，B

7、C=1，则sinA= 。2如图，P是的边OA上一点，且P点坐标为（3,4），则sin= ，cos .(第3题)3如图ABC中，C=90，sinA=，则BC：AC=( )A3：4B4：3C3：5D4：54在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，则cosB=( )ABCD 7.2 正弦、余弦(2) 学习目标：1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一个锐角的正弦、余弦值。3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。教学重点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。教学难点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。一 复习导入二三 如图,在RtABC中, C=90, AC=12, BC=5.求

8、: sinA、cosA、sinB、cosB的值.你发现sinA与cosB 、 cosA与sinB的值有什么关系吗?结论：二、典型例题1. 比较大小sin40 cos40 sin80 cos30 sin45 cos452已知为锐角:（1） sin = ，则cos=_,tan=_, （2） cos= ，则sin=_,tan=_, （3）tan= ，则sin=_,cos=_, 三典型例题例1、如图，BCAD于C，DFAB于F，SAFD:SEFB=9，BAE=，求sin+cos的值；分析 由已知易证RtAFDRtEFB，再根据SAFD：SEFB=9，可得AF：EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出A

9、E=EF，从而容易求得sin，cos的值。 例2、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ACAB，AD=CD ，BC=10，则AB的值是（ ） A9B8C6 D3例3、 如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=1，cosB=，求这个菱形面积。随堂演练1ABC中，C=90，若tanA，则sinA= 。2ABC中，C=90，AC=AB，则sinA= ，tanB= 。3.在RtABC中,C=90,且锐角A满足sinA=cosA, 则A的度数是 ( )A.30 B.45 C.60 D.904.在RtABC中,C=90,sinA=,则BC:AC:AB等于 ( )A. 1:2:5 B. C. D. 5

10、. 如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( ) A. B. (第6题)C. D.6如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，高度BC为 米(结果用含的三角函数表示)。7ABC中，C=90，BC=2，AB=3，则下列结论正确的是( )。ABCD7.3 4 特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角 学习目标1.熟记30、45、60特殊角的三角函数值，并利用其进行求值计算。2.会根据特殊角的正弦、余弦、正切值求该锐角的大小。3.经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。学习重点利用三角函数有关概念解决问题教学过程一、复习、归纳1分别说出30、

11、45、60角的三角函数值。2.完成下列表格三角函数值三角函数304560sincostan二、典例分析例1求下列各式的值。（1）2sin30-cos45 （2）sin60cos60（3）sin230+cos230练习：计算.（1）cos45sin30 （2）sin260cos260 (3)tan45sin30cos60 (4) 例2.求满足下列条件的锐角。(1) cos= (2)2sin=1 (3)2sin=0 (4)tan1=0练习：1. 若sin=,则锐角=_.若cos=1,则锐角=_.2. 若A是锐角，且3tanA=,则cosA=_.3.已知为锐角,当无意义时,求tan(+15)-tan

12、(-15)的值.三、小结随堂演练：1sin30的值等于 . 的补角是120,则=_ _,sin=_ _.2下列计算错误的是( ) AB CD3. 求满足下列条件的锐角:(1)cos-=0 (2)-tan+=0(3)cos-2=0 (4)tan（+10）=4计算(1) (2) 5已知tan2（1+）tan+=0，求锐角的度数6已知：如图，在Rt中，点为边上一点，且，求周长（结果保留根号）7已知锐角ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c （1）试说明：SABC=absinC； （2）若a=30cm，b=36cm，C=30，求ABC的面积7.5解直角三角形 学习目标：1.理解直角三角形中5个元素

13、的关系，会运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形。2.通过综合运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数” 解直角三角形提高分析问题、解决问题的能力。3.培养学生对图形的转化能力。重点： 边角关系的灵活应用难点： 如何通过添加辅助线构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来解决问题。知识点：1解直角三角形的定义：任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。2解直角三角形的所需的工具。(1)两锐角互余AB90(2)三边满足勾股定理a2b2c2(3)边与角关

14、系sinAcosB，cosAsinB，tanA， tanB。3一个直角三角形当已知 或已知 ，这个直角三角形就是可解的直角三角形4解直角三角形的四种类型和解法如下表：类型已知条件解法两边两直角边a, bc=，tanA=，B=90-A一直角边a，斜边cb=，sinA=，B=90-A一边一锐角一直角边a，锐角AB=90-A，b=atanB，c=斜边c，锐角AB=90-A，a=csinA，b=ccosA5解直角三角形时需要注意的几个问题：（1）尽量使用原始数据，少用有误差的近似值，使计算更加准确。（2）非直角三角形问题，通过添加恰当的辅助线转化为解直角三角形问题。（3）恰当使用方程可使一些较复杂的解

15、直角三角形问题化繁为简、化难为易。 （4）在选用三角函数时，尽可能做乘法，避免除法，以使运算简便。典型例题：例1 在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为、，由下列条件解直角三角形。 已知，B=60 已知，（3）已知，A=60配套练习：根据下列条件解直角三角形 (1)在 RtABC中，C90o，c10，A30o. (2）在RtABC中，C90o，a50，c.例2.如图，已知在ABC中，B=60，AD=14，CD=12，SADC=，求BD的长。随堂演练：1在RtABC中，C=90，A=30，AB=18，则AC= ，BC= 。2在RtABC中，C=90，则A= ，b= 。3在RtABC中，

16、C=90，则tanB= ，面积S= 。4在RtABC中，C=90，AC：BC=，AB=6，B= ，AC= BC= 。5在下列直角三角形中不能求解的是（ ）A已知一直角边一锐角 B已知一斜边一锐角C已知两边 D已知两角6. ABC中，AB90O,cosA，则sinB，若c10,则a 7. 解直角三角形在RtABC中8.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角ACD=52,已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）（tan52=1.2799）9某块绿地的形状如图所示，其中BAD=60，ABBC，ADCD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长。(参考数据

17、：1.414, 1.732,精确到1m) 7.6锐角三角函数的简单应用（1） 学习目标：1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。 2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明 。 3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。重点： 灵活应用“锐角三角函数、勾股定理”解直角三角形难点：发现、构造可解的直角三角形和需解的直角三角形方向角1：北偏东30度。2：南偏西60度重要概念：旋转角：AOB1是俯角，2仰角12 解题要领：把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，明确已知量和未知量，通

18、过添加适当辅助线，构造直角三角形，解决实际问题。问题引入：长为90 CM的单摆AB旋转30后，最低点B升高了多少？典型例题例1. 国庆长假，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场大型摩天轮的半径为20米，旋转一周需要12分钟。小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5米）开始一周的观光。（1）2分钟后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1米）？ （2）摩天轮启动多长时间后，小明和地面的高度将首次达到9m ? (提示cos55=0.575) (3) 小明将有多长时间连续保持在离地面9 m以上的高度？例2升国旗时，某同学站在离旗杆底部20m处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学视线的仰角恰为40，若双眼离地

19、面1.5m，则旗杆高度为多少m?（sin40=0.64, tan40=0.84）（图6）例3某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， ABBD，BAD18o，C在BD上，BC0.5m根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果（结果精确到0.1m） 参考数据：sin18=0.31, cos18=0.95，tan18=0.32随堂演练：1小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，

20、这时测得CBD=60，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。(计算结果精确到0.1米，)2汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（如图） 求A、B两个村庄间的距离（结果精确到米，参考数据）3水平地面上的甲、乙两楼的距离为30米，从甲楼顶部测得乙楼顶部的仰角为30，测行乙楼底部的俯角为45求甲、乙两楼的高度 7.6锐角三角函数的简单应用（2） 学习目标：1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。 2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行

21、说明 。 3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。重点： 借助列方程灵活应用锐角三角函数解直角三角形难点：几个可解的直角三角形和需解的直角三角形之间的联系解题要领：把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，通过添加适当辅助线构造直角三角形，注意抓住几个直角三角形之间的公共边角，灵活应用锐角三角函数借助列方程解直角三角形。问题引入：我校九年级某班在测量校内旗杆高度的数学活动中，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下数学活动报告中的一部分请你把下表中计算过程和结果填写完整课题测量校内旗杆高度目的运用所学数学知识及数学方法解决实际问题测量旗杆高度

22、方案BACDMN方案一方案二示意图DAMCNGB测量工具皮尺、测角仪皮尺、测角仪测量数据：，计算过程（结果保留根号）解：解：测量结果典型例题例1 小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这点测得气球的仰角为27，然后向气球方向走了50米，测得气球的仰角为40。这时他就能算出气球的高度了。他是如何求得气球的高度呢？（小明的身高是16米）（tan27=0.51,tan40=0.84,结果精确到01米）270400 例2如上图所示，已知：在ABC中，A=60，B=45，AB=8.求：ABC的面积(结果可保留根号). 例3如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞

23、达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30，A处测得点P的仰角为45，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）图随堂演练：1 如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45和60，试求塔高和楼高。2.如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯

24、角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个距离MN的方案，要求：(1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.(2题图) 7.6锐角三角函数的简单应用（3） 学习目标：1.正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问题中的意义。2. 能综合运用解直角三角形的知识解决实际问题，进一步培养“把实际问题转化为数学问题”的能力重点： 用三角函数有关知识解决工程中的相关实际问题难点： 根据解决问题的需要，正确添加辅助线，从而利用解直角三角形的方法解决实际问题知识点：坡度的概念，坡度与坡角的关系。如下图，这是一张水库拦水坝

25、的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i，坡度通常用l：m的形式，例如下图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是itanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就陡。 （一）与（二）比较：（一）中坡度小，坡角A小，坡面平缓； （二）中坡度大，坡角A大，坡面陡尝试练习：(图3)如图3，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进。若小球升高了10m，此时小球沿坡面向上前进 米；若小球沿坡面向上前进10m，此时小球升高 米。典例剖析： 例1某数学活动小组组织一次登山话动。他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点再从B点沿斜坡

26、BC到达山巅C点，路线如图所示斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30。已知A点海拔121米C点海拔721米 (I)求B点的海拔： (2)求斜坡AB的坡度例2如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tan）为11.2，坝高为5米。现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为11.4。已知堤坝总长度为4000米。求完成该工程需要多少土方？例3如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的

27、仰角为30，D、E之间是宽为2米的人行道请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。随堂演练：1如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD，DCAB，迎水坡AD长为m，上底长DC=2m，背水坡BC长也是2 m。又测得DAB=30，CBA=60。下底AB的长是 ，堤坝的横截面积是 。2如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度，则斜坡AB的长为 米3如图RtABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45，为了提高该堤防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，则DB的长 (结果保留根号)。4如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为1:2的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）第4题图A4.5mB4.6mC6mD8m(第3题)(第2题)5如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45已知山坡AB的坡度i1:，AB10米，AE15米，求这块宣传牌CD的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732）ABCDE4560专心-专注-专业