2012年全国各地中考数学压轴题专集答案三角形(共128页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国各地中考数学压轴题专集答案六、三角形1（北京）在ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ（1）若60且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围图2ABCQPM图1ABCQ

2、M(P)图1ABCQM(P)D解：（1）补全图形，见图1；CDB30（2）猜想：CDB90证明：如图2 ，连结AD，PCBABC，M是AC的中点，BMAC点D，P在直线BM上，PAPC，DADC又DP为公共边，ADPCDPDAPDCP，ADPCDP又PAPQ，PQPCDCPPQC，DAPPQCPQCDQP180，DAPDQP180图2ABCQPMD在四边形APQD中，ADQAPQ180APQ2，ADQ1802CDB ADQ90（3）45 60提示：由（2）知CDB90，且PQQDPADPCQPQC2CDB1802点P不与点B，M重合，MADPADBAD18022，45 602（北京模拟）已知，

3、点P是MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APBMON180（1）求证：PAPB；（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当SPOB 3SPCB 时，求 的值；（3）若MON60，OB2，直线PA交射线ON于点D，且满足PBDABO，求OP的长MTNO备用图MTNO备用图MTNO图1ABPMTNOEF（1）证明：当点A在射线OM上时，如图1作PEOM于E，作PFON于F则EPFMON180APBMON180，EPFAPBEPAEPFAPF，FPBAPBAPFEPAFPBOP平分MON，PEPFEPAFPB，PAPB图2ABPM

4、TNOFE当点A在MO延长线上时，如图2作PEOM于E，作PFON于F则EPFMON180APBMON180，EPFAPBEPAEPFAPF，FPBAPBAPFEPAFPBOP平分MON，PEPFEPAFPB，PAPB（2）解：SPOB 3SPCB ，点A在射线OM上，如图3图3ABPMTNOCPAPB，PABPBA (180APB)APBMON180，POB MONPOB (180APB)，PBCPOB又BPCOPB，POBPBC （3）解：当点A在射线OM上时，如图4图4ABPMTNOEDAPBMON180，MON60APB120，PABPBA30，BPD60PBDABO，PBDABO75

5、作BEOP于EMON60，OP平分MON，BOE30OB2，BE1，OE，OBE60EBPEPB45，PEBE1OPOEPE1当点A在MO延长线上时，如图5此时AOBDPB120图5ABPMTNOEDPBDABO，PBA30，PBDABO15作BEOP于E，则BOE30OB2，BE1，OE，OBE60EBPEPB45，PEBE1OPOEPE13（北京模拟）已知ABC和DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是_，位置关系是_，请证明；（2）如图2，把DEC绕点C顺时针旋转角（090），其

6、他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；（3）如图3，把DEC绕点C顺时针旋转45，BE、CD交于点G若DCF30，求 及 的值ABCDEF图2ABCDEF图3GABCDEF图1解：（1）BE2CF，BECFABCDEF图1证明：ABC和DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点ACBC，DCECBCEACD，BEAD，EBCDACF为线段AD的中点，CFAFDF ADBE2CFAFCF，DACACFBCFACF90，BCFEBC90ABCDEF图2H即BECF（2）仍然成立证明：如图2，延长CF到H，使HFCF，连接AH、D

7、HAFDF，四边形AHDC为平行四边形AHCDCE，CAH180ACDBCEBCADCEACD180ACDCAHBCE又ACBC，CAHBCECHBE，ACHCBEBECH2CFCBEBCHACHBCH90即BECFABCDEFGOMN图3（3）如图3，设BE、CF相交于点O，则GOC90作BC的垂直平分线，交BG于点M，连接CM则BMCM，MBCMCB，OMC2MBCACDE，CDE45，DCA45DCF30，ACHCBE15OMC30设OGx，则CG2x，OCx，BMCM2xOMOC3x，MG3xx2xBGBMMG2x2x，BOBMMO2x3x 1 2过E作BC的垂线，交BC的延长线于N则

8、RtBNERtBOC， 2设ENt，则CNt，CEt，BN(2)t，BC(2)tt(1)t ABBC，CDCE， 4（上海模拟）如图，ACB90，CD是ACB的平分线，点P在CD上，CP将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G（1）当点F在射线CA上时求证：PFPE设CFx，EGy，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域（2）连接EF，当CEF与EGP相似时，求EG的长ACBFPDGEACBPD备用图（1）证明：过点P作PMAC，PNBC，垂足分别为M、NCD是ACB的平分线，PMPNACBFPDEM

9、N21G由PMCMCNCNP90，得MPN901FPN902FPN90，12PMFPNE，PFPE解：CP，CNCM1CFx，PMFPNE，NEMF1xCE2xCFPN， ，即 ACBFPGE1DCG y 2x（0 x1）（2）当CEF与EGP相似时，点F的位置有两种情况：当点F在射线CA上时GPEFCE90，1PEGG1，FGFE，CGCECP在RtEGP中，EG2CP2ACBMPFGNE15234D当点F在AC延长线上时GPEFCE90，12，32145+5，145+2，52易证34，可得54CFCP，FM1易证PMFPNE，ENFM1CFPN， ，即 GN1EG1 125（上海模拟）已知

10、ABC中，ABAC，BC6，sinB 点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；（3）如图，当PQ经过ABC的重心G时，求BP的长ADCBPQ图GADCBPQ图ADCBPQ图E解：（1）过P点作PFAC交BC于FADCBPQ图F点P为AB的中点，F为BC的中点FC BC3ABAC，BACBPFAC，PFBACBBPFB，BPFP由题意，BP

11、CQ，FPCQPFAC，DPFDQC又PDFQDC，PFDQCDCDDF FC ADCBPQ图EF（2）当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变分两种情况讨论：当点P在线段AB上时过点P作PFAC交BC于F，由（1）知PBPFPEBC，BEEF由（1）知PFDQCD，CDDFDEEFDF BC3得点P在BA的延长线上时，同理可得DE3当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变（3）过点P作PEBC于E，连接AG并延长交BC于HABAC，点G为ABC的重心，AHBC，BHCH3设AHx，则AB ADCBPQ图EGHsinB ， ，解得x4GH x 设BPt，则BE t，PE tBH

12、DE3，DHBE t由DGHDPE，得 即 ，解得t ，即BP 6（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，C90，AC4，BC3将纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F（1）设BEx，DCy，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）当ADF是直角三角形时，求BE的长；（3）当ADF是等腰三角形时，求BE的长（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？若能，求BE的长；若不能，说明理由ABCABCDEF解：（1）BEx，DEx，EC3x在RtDEC中，DC 2EC 2DE 2即y 2(3x )2x 2，y 当D与C重合时，x最小即y 0，x 当E与C

13、重合时，x最大，x3ABCDEF x3（2）当ADF90时，则FDBCAFDB，又EDFBAFDEDF，DEABDECABC， ，解得x ，即BE的长为 当AFD90时，则BFEDFE45作EGBF于G，则RtBEGRtBACABCDEFG C90，AC4，BC3，AB5 ，BG x，EG xFGEG x，DFBF x x x由RtADFRtABC，得 ，即7x3120令u，则x 7( )3u120，7u 218u90解得u130（舍去），u2 x ，即BE的长为 ABCEF(D)综上，当ADF是直角三角形时，BE的长为 或 （3）当AFDF时，则AFDAFDEB，AB90FDAFDE90，即

14、ADE90EDAC，D与C重合x BC ，即BE的长为 当ADDF时，则BFDFAD4 ABCDEFGAF5(4 )1 作DGAF于G，则RtADGRtABCAG AF (1 ) ， 得 ，解得x ，即BE的长为 当ADAF时，则AFAD4 ABCHEFDDFBF5(4 )1 作FHAD于H，则RtAFHRtABC ， AH ，FH HC4 DH 在RtDFH中，DH 2FH 2DF 2( )2( )2( 1 )2令t，代入上式并化简得15t 2130t1350解得t （舍去负值） ，解得x ，即BE的长为 综上，当ADF是等腰三角形时，BE的长为 或 或 （4）假设过C、D、E三点的圆能与A

15、B边相切DEC是直角三角形，DE是圆的直径DFE90，BFE90D点在AB上，不可能过C、D、E三点的圆不能与AB边相切（O与AB边相离）7（上海模拟）如图，在RtABC中，BAC90，AB6，AC8，ADBC于D，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且EDF90，连接EF（1）求 的值；（2）设AE的长为x，DEF的面积为S，求S关于x的函数关系式；CBAD备用图CBADEFCBAD备用图（3）设直线DF与直线AB相交于点G，EFG能否成为等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，请说明理由解：（1）BAC90，1290ADBC，C2901CCBADEF12345EDF90，3590ADBC，

16、459034ADECDF tanC （2）ADECDF， CF AE x，AF8 xEF 2x 2( 8 x )2 x 2 x64 ，EDFBAC90DEFABC SABC 6824，BC 26 28 2100S ( x 2 x64 ) x 2 x 即S x 2 x （0x6）（3）假设EFG能成为等腰三角形当点G在AB延长线上时，由于GEF90，所以只能EFEGCBADEFG61G6DEFABC，6C1C，G1DADGDF，EFAB，EF 2AB 2 x 2 x6436，解得x6（舍去）或x 此时AE的长为 当点G在BA延长线上时，由于EFG90，所以只能FEFGCBADEFGGAEF而ta

17、nG tanAEF ，解得x 此时AE的长为 综上所述，EFG能成为等腰三角形，此时AE的长为 或 8（上海模拟）如图，在RtABC中，C90，AC4，BC5，D是BC边上一点，CD3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PEBC交AD于点E（1）设APx，DEy，求y关于x的函数关系式；（2）以PE为半径的E与以DB为半径的D能否相切？若能，求tanDPE的值；若不能，请说明理由；（3）将ABD沿直线AD翻折，得到ABD，连接EC、BC，当ACEBCB 时，求AP的长ADCB备用图ADCBPEADCBPE解：（1）在RtACD中，AC4，CD3，AD5PEBC， ，即 y x5（0

18、x4）（2）对于E，rEEP x；对于D，rDDB2；圆心距ED x5当两圆外切时，rErDED， x2 x5解得x ，PC ADCBPEPEBC，DPEPDCtanDPEtanPDC 当两圆内切时，| rErD|ED，| x2| x5解得x 或x6（舍去），PC tanDPEtanPDC （3）延长AD交BB 于F，则AF垂直平分BBADCBPEFB在RtBDF中，BD2，sinBDFsinADC BF ，BB ADCBDF，CADDBF当ACEBCB 时，CAECBB ，即 ，y5 x55 ，解得x 9（上海模拟）已知RtABC中，ACB90，点P是边AB上的一个动点，连接CP，过点B作B

19、DCP，垂足为点D.（1）如图1，当CP经过ABC的重心时，求证：BCDABC；（2）如图2，若BC2厘米，cotA2，点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是 厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，若PBC是以CP为腰的等腰三角形，求BCD的面积CAPBDDD图2CAPBDDD图1CAB备用图（1）证明：CP经过ABC的重心，CP为ABC的中线CP ABAP，AACP又ACPDCB90，CBDDCB90CBDA，又BDCACB90BCDABC（2）解：BC2，cotA2，AC4CAP

20、BDDDE过点P作PEAC于E，则APt，PEt，AE2tEC42t，PC由PCECBD，得RtCPERtBCD ( )2，即 S （0t 2）（3）当PCPB时，有 2t解得t1当t1时，S （平方厘米）当PCBC时，有 2解得t1 ，t22（不合题意，舍去）当t 时，S （平方厘米）综上所述，当PCPB时，BCD的面积为 平方厘米；当PCBC时，BCD的面积为 平方厘米10（上海模拟）如图，在RtABC中，ACB90，CE是斜边AB上的中线，AB10，tanA 点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQCB，交CB延长线于点Q设EPx，BQy（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）连接P

21、B，当PB平分CPQ时，求PE的长；（3）过点B作BFAB交PQ于F，当BEF和QBF相似时，求x的值ABCE备用图ABPCQEABCE备用图解：（1）在RtABC中，ACB90，AB10，tanA AC6，BC8CE是斜边AB上的中线，CEBE AB5ABPCQEHPCQABC又PQCACB90，PCQABC ，即 y x4（x 5）（2）过点B作BHPC于HPB平分CPQ，BQPQ，BHBQyBH BC ， x4 ABPCQEFx11（3）BQFACB90，QBFABFQABC当BEF和QBF相似时，则BEF和ABC也相似有两种情况：当BEFA时在RtEBF中，EBF90，BE5，BF y

22、ABPCQEF( x4) 5，解得x10当BEFABC时在RtEBF中，EBF90，BE5，BF y( x4) 5，解得x 当BEF和QBF相似时，求x的值为10或 11（上海模拟）如图1，在RtAOC中，AOOC，点B在OC边上，OB6，BC12，ABOC90，动点M和N分别在线段AB和AC边上（1）求证：AOBCOA，并求cosC的值；（2）当AM4时，AMN与ABC相似，求AMN与ABC的面积之比；（3）如图2，当MNBC时，以MN所在直线为对称轴将AMN作轴对称变换得EMN设MNx，EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围AONECBM

23、图2AONCBM图1解：（1）AOOC，ABOBAO90ABOC90，BAOCAOBCOA，AOBCOAOB : OAOA : OCOB6，BC12，6 : OAOA : 18AONBC图1MOA6AC12cosC （2）cosC ，C30tanABO ，ABO60BAC30，ABBC12AONBC图2M当AMNABC时（如图1），AMNABCAM4，SAMN : SABC AM 2 : AB 24 2 : 12 21 : 9当AMNC时（如图2），AMNACBAM4，SAMN : SABC AM 2 : AC 24 2 :(12)21 : 27（3）易得SABC BCOA 12636MN/B

24、C，AMNABCSAMN : SABC MN 2 : BC 2，SAMN : 36x 2 : 12 2SAMN x 2AONECBM图3F当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）MN/BC，ANMC30ANMBAC，AMMNx以MN所在直线为对称轴将AMN作轴对称变换得EMNENMANM30，AFN90MF MN AM xSFMN : SAMN MF : AMy : x 2 x : x1 : 2AONECBM图4Gy x 2（0x 8）当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）MN/BC，CN : ACBM : ABCN : 12(12x ) : 12，CN12 x

25、CNGCBA，SCNG : SABC CN 2 : BC 2SCNG : 36(12 x )2 : 12 2SCNG (12 x )2S阴影SABC SAMN SCNG 36 x 2 (12 x )2即y x 218x72（8x 12）12（上海模拟）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M把三角板ABC固定不动，将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为，其中090，射线DF与线段BC相交于点Q（如图2）（1）当060时，求AMCN的值；（2）当060时，设AMx，两块三角板重

26、叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式并确定自变量x的取值范围；（3）当BM2时，求两块三角板重叠部分的面积ABCDEFM图2NABCDEFM图1ABC备用图ABCDEFM图1NPQ解：（1） ABC和DEF是等边三角形，EDFCA60ADMEDFDNCC，ADMDNCAMDCDN， AMCNADCDADCD2，AMCN4（2）过点D作DPAB于P，DQBC于Q（如图1）ABCDEFM图2N可得DPDQAMx，CN ySABC SAMD SCDN 4 2 x y4 x （1x4)（3）当M在边AB上时（如图1）ABCDEMNFRGM图3BM2，AM2，即x2y2，即两块三角板重叠部分的面积为2

27、当M在AB延长线上时（如图2）设DE与BC交于点R，过点D作DGBC，交AB于点G则BGBMDG2，AM6，BR1CN ，RN ySDRN 综上所述，两块三角板重叠部分的面积为2 和 13（上海模拟）如图，在ABC中，ACB90，A60，AC2，CDAB，垂足为点D，点E、F分别在边AC、BC上，且EDF60设AEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当BDF是等腰三角形时，求x的值；（3）以DF为直径的圆能否与AC相切？如果能，求tanAED的值；如果不能，请说明理由ABDCEF解：（1）如图，作DGAC于G，FHAB于H，FKCD于K在RtABC中，A60

28、，AC2，AB4，BC2 ABDCEFGHKCD，AD1，AG ，DG FH y，BH yDHKFCFcos30( BCBF )cos30( 2 y ) 3 yADG30，EDF60，EDGFDH90又EDGDEG90，DEGFDHRtDEGFDH， ，即 y 当点E与点G重合时，点F与点C重合自变量x的取值范围是 x 2（2）BDABAD413DFBDCBB，DFDB当BFBD时， 3，x1当DFBF时，则DHBH，2BHBD即2 y3，y ，x2（3）作DGAC于G，DHBC于H，设以DF为直径的O与AC相切于I，连接OI则OI是梯形CFDG的中位线ABDCEFGIOHOI ( CFDG

29、) ( 2 y ) y在RtDFH中，DH BD ( 41) FH|CHCF|DGCF| ( 2 y )| y |由勾股定理得DF 2DH 2FH 2 ( y )2由题意知DF2OI，DF 24OI 2得 ( y )24( y )2整理得2 y ，即y ，x ，GE tanAED 14（上海模拟）如图，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边APD和等边BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD（1）当BCCD时，试求DBC的正切值；（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求此时 的值；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S

30、与BD 2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，请说明理由DACBPE备用图DACBPE解：（1）等边APD和等边BPCPCBC，CPD60，PDBC当BCCD时，tanDBC PDCD， sinCPDsin60 DBC的正切值为 （2）由已知，CD 2DEDB，即 又CDEBDC，CDEBDC 又CPBC， PDBC， ，CDBE ，即点E是线段BD的黄金分割点 又PCAD， （3）设APa，PBb，则SAPD a 2，SBPC b 2ADPC，PDBCDACBPE ， ，SPDC abS ( a 2abb 2)作DHAB，则DH a，BH abBD 2DH 2BH 2 a

31、 2( ab )2a 2abb 2 S与BD 2成正比例，比例系数为 ABCDEFGH15（上海模拟）如图，在ABC中，ABAC5，BC6，D是AC边的中点，E是BC边上一动点（不与端点重合），EFBD交AC于F，交AB延长线于G，H是BC延长线上的点，且CHBE，连接FH设BEx，CFy（1）求y关于x的函数关系式；（2）连接AE，当以GE为半径的G和以FH为半径的F相切时，求tanBAE的值；（3）当BEG与FCH相似时，求BE的长ABCD备用图ABCD备用图解：（1）EFBD， 即 ，y x（2）CHBE，BCBEEC，EHECCHEHBC6当以GE为半径的G和以FH为半径的F相切时，G

32、EFHGFABCDEFGHMNP又GEFEGF，FEFH作FMEH于M，则EM EH3，MC y EMMCEC，3 6x，解得x2作ENAB于N，则BN BE ，EN BE ANABBN5 tanBAE （3）作FPAG交BC于P，则FPCABCABAC，ACBABCFPCACB，FPFC x，EP6x2( )3 FPAG，PEFBEG若BGEFCH，则PEFFCH于是 ，即 解得x6（舍去）或x 或 ，即 解得x2综上所述，当BEG与FCH相似时，BE的长为 或216（上海模拟）如图，ABC中，ABC90，ABBC4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），ADAB，垂足为点A连接MO，将BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N（1）当CMF120 时，求BM的长；（2）设BMx，y ，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；DACBNOFMB1（3）连接NO，与AC边交于点E，当FMCA