82题突破高中数学导数(共87页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上82题突破高中数学导数1已知函数其中a为常数，且.（）当时，求在（e=2.718 28）上的值域；（）若对任意恒成立,求实数a的取值范围.2. 已知函数 （I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （II）求函数的单调区间； （III）当a=1，且时，证明：3. 已知（）（）求函数的单调递减区间；（）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围4已知函数 （I）若x=1为的极值点，求a的值； （II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，（i）求在区间-2，4上的最大值；（ii）求函数的单调区间5已知函数 （I）当a0时，若存在x使得成立，求的取值范围.19.某种商品的成本

2、为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：Q （1）求总利润（利润销售额成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.20.已知函数的图像关于原点成中心对称 ，设函数 (1)求的单调区间;(2)已知对任意恒成立求实数的取值范围(其中是自然对数的底数)21.设函数，其中为常数（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（）若,试利用（I

3、I）求证：n3时，恒有。O22.已知函数（1） 求在处的切线方程（2） 若的一个极值点到直线的距离为1，求的值；（3） 求方程的根的个数.23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设（1）将（O为坐标原点）的面积表示成的函数；（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值.24,4,6已知定义域为R的函数是奇函数(1) 求的值；(2)若对任意的, 不等式恒成立, 求k的取值范围. 25已知函数对任意实数均有，其中常数为负数

4、，且在区间上有表达式.（1）求，的值；（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.26已知函数（，R）求函数的单调区间；求函数在上的最大值和最小值27已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，求时的表达式；若关于的方程有解，求实数的范围。28已知函数，满足：对任意，都有；对任意nN *都有 （）试证明：为上的单调增函数；（）求；（）令，试证明： 29已知函数（）若为的极值点，求实数的值；（）若在上为增函数，求实数的取值范围；（）若时，方程有实根，求实数的取值范围30已知函数满足，是不为的实常数。（1）若当时，求函数的值域；（2）在（1）

5、的条件下，求函数的解析式；（3）若当时，试研究函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由。31已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点（1）求的值； （2）求的取值范围；（3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由32定义在上的函为常数）在x=1处取得极值，且 的图像在数处的切线平行与直线.（1）求函数的解析式及极值；（2）设，求不等式的解集；（3）对任意33已知函数有下列性质：“若，使得”成立。 （1）利用这个性质证明唯一； （2）设A、B、C是函数图象上三个不同的点，试判断ABC的形状，并说明理由。34已知函数

6、（1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）当a0时，试讨论这两个函数图象的交点个数35设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0D，且存在常数a0，使f(a)=1，又，（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；（2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于xD都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。36.设对于任意的实数，函数，满足， 且,，（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前项和;（）设，存在整数和,使得对任

7、意正整数不等式恒成立,求的最小值.37对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.（）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；（）设是（）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；（）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值. .38设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|x|对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为函数。（1）试判断函数= =中哪些是函数，并说明理由；（2）求证：若a1，则函数f(x)=ln(x2+a)-lna是函数。39集合A是由具备下列性质的

8、函数组成的：(1) 函数的定义域是； (2) 函数的值域是；(3) 函数在上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由（）对于（I）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论40已知是定义在的函数，满足设，当时，分别求当、时，的表达式、41. 已知函数R，）. （I）求的单调区间； （II）曲线）处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标； （III）若，曲线处的切线与x轴的交点为（），试比较的大小，并加以证明.42. 已知函数f(x)=()当时, 求的最大值;() 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在

9、实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.43.已知函数f（）(1)求函数的定义域;(2)确定函数f（）在定义域上的单调性,并证明你的结论；(3)若当时，f（）恒成立, 求正整数k的最大值。44. 已知函数和的图象在处的切线互相平行.() 求的值；（）设，当时，恒成立，求的取值范围.45. 已知函数的图象与直线相切于点。（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极小值。46. 已知函数与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其中，求F(x)的单调区间47. 已知函数， （1）证明：当时，恒有 （2）当时

10、，不等式恒成立，求实数k的取值范围;48. 已知函数f(x)=x3bx2cxd有两个极值点x1=1, x2=2,且直线y=6x1与曲线y=f(x)相切于P点. (1)求b和c 郝进制作 (2)求函数y=f(x)的解析式;(3)在d为整数时, 求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.49. 已知函数f(x)=x33ax(aR) (I)当a=l时，求f(x)的极小值； ()若直线菇x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围； ()设g(x)=|f(x)|，xl，1，求g(x)的最大值F(a)的解析式50. 已知函数， 的最小值恰好是方程的三个根，其中（）求证：

11、；（）设，是函数的两个极值点若，求函数的解析式；求的取值范围51.已知函数f(x)=x3+ax2+ax-2(aR),(1)若函数f(x)在区间(-，+)上为单调增函数，求实数a的取值范围；(2)设A(x1,f(x1)、B(x2,f(x2)是函数f(x)的两个极值点，若直线AB的斜率不小于-求实数a的取值范围.52. 已知函数的图象关于原点对称，且当时，（1）求a，b，c的值；（2）当时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论53. 对于x的三次函数f（x）= x3 +（m24m + 2）x + m36m2 + 9m1（）若f（x）有极值，求m的取值范围；（）当m在（1）

12、的取值范围内变化时，求f（x）的极大值和极小值之和g（m），并求g（m）的最大值和最小值54. 已知函数 （I）当a 2时，求f(x)的极小值； （II）讨论方程f(x) = 0的根的个数.55. 设函数（1）求导数，并证明有两个不同的极值点； （2）若对于（1）中的不等式 成立，求的取值范围。56. 已知，函数 （）当t=1时，求函数在区间0，2的最值； （）若在区间2，2上是单调函数，求t的取值范围；（）是否存在常数t，使得任意恒成立，若存在，请求出t，若不存在请说明理由.57. 设x1、 的两个极值点. （1）若，求函数f(x)的解析式； （2）若的最大值； （3）若，求证：58. 已知

13、函数，和直线，又（）求的值；（）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由（）如果对于所有的,都有成立，求的取值范围59. 设函数的图象与直线相切于（）求在区间上的最大值与最小值；（）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域也是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；（）设存在两个不等正数，当时，函数的值域是，求正数的取值范围60. 已知函数f(x)x4ax3bx2c，在y轴上的截距为5，在区间0，1上单调递增，在1，2上单调递减，又当x0，x2时取得极小值（）求函数f(x)的解析式；（）能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的

14、结论;（）设使关于x的方程f(x)2x25恰有三个不同实根的实数的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2tm2|x1x2|对任意t3，3, A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由61. 已知f(x)=x3+bx2+cx+2.()若f(x)在x=1时，有极值-1，求b、c的值；()当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线；()记函数|f(x)|(-1x1)的最大值为M，求证：M.62. 设函数，已知 ，且（aR，且a0），函数（bR，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A

15、、B与坐标原点O在同一直线上。（1）试求a、b的值；（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。63. 已知函数和（其中），（1）求的取值范围；（2）方程有几个实根？为什么？64. 已知函数f(x)=且都为常数)的导函数为f(x)=3x，且f(1)=7，设F(x)=f(x)-ax(aR).()当a0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值。 （2）当 （3）令函数的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围。71. （1）求证：当时，不等式对于恒成立 .（2）对于在（0,1）中的任一个常数，问是否存在使

16、得成立？如果存在，求出符合条件的一个；否则说明理由。72. 把函数的图象按向量平移得到函数的图象。（1）若证明：。（2）若不等式对于及恒成立，求实数的取值范围。73. 已知函数，的最小值恰好是方程的三个根，其中（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点若，求函数的解析式； 求的取值范围74. 已知函数，在处取得极值为2。（）求函数的解析式；（）若函数在区间（m，2m1）上为增函数，求实数m的取值范围；（）若P（x0，y0）为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.75. 已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为 （）求，的值； （）是否存在最小的正整数，使得

17、不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；（）求证：（，）76. 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足.” （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根； （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.77. 若函数在处取得极值.（I）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（II）是否存在实数m，使得对任意及总有 恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由78. 已知二次函

18、数，直线，直线（其中，为常数）；.若直线1、2与函数的图象以及、轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.（）求、的值；（）求阴影面积关于的函数的解析式；（）若问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.79. 已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，f(x)的导数为，函数。（1）若函数g(x)在x=1有极值，求g(x)的解析式；（2）若函数g(x)在-1,1是增函数，且在-1,1上都成立，求实数m的取值范围。80. 设关于x的方程有两个实根、，且。定义函数 （I）求的值； （II）判断上单调性，并加以证明； （III）若为正实数，试比

19、较的大小； 证明81. 设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：直线l与曲线S相切且至少有两个切点； 对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线” （1）已知函数求证：为曲线的“上夹线” （2）观察下图： 根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明82. 若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”已知，（其中为自然对数的底数）()求的极值；() 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由答案及解析1.解：（）当时， 得 2分 令，即，解得，所以函数在上为增函数， 据此，函数在上为增函数，4分 而，所

20、以函数在上的值域为 6分（）由令，得即 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增；7分 若，即，易得函数在上为增函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解.8分若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，即，由和得.10分 若，即，易得函数在上为减函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以.12分 综合上述，实数a的取值范围是.13分2. 解：（I）函数，2分又曲线处的切线与直线垂直，所以即a=1.4分来源:学科网来源:学_科_网Z_X_X_K （II）由于当时，对于在定义域上恒成立，即上是增函数.当当单调递增；当单调递减.

21、8分 （III）当a=1时，令10分当单调递减.又即故当a=1，且成立.13分3解：（） （1）当，即时，不成立（2）当，即时，单调减区间为（3）当，即时，单调减区间为-5分（），在上递增，在上递减，在上递增（1）当时，函数在上递增，所以函数在上的最大值是， 若对有恒成立，需要有解得 （2）当时，有，此时函数在上递增，在上递减，所以函数在上的最大值是， 若对有恒成立，需要有 解得（3）当时，有，此时函数在上递减，在上递增，所以函数在上的最大值是或者是 由， 时，若对有恒成立，需要有 解得时，若对有恒成立，需要有 解得 综上所述， -14分4解：（1） 是极值点 ，即 或2.3分（2）在上. （

22、1，2）在上 又 （i）由可知x=0和x=2是的极值点.来源:Zxxk.Com 在区间2，4上的最大值为8.8分 （ii） 令，得 当m=2时，此时在单调递减 当时： x(，2，m)2m（2m，0）0（0，+）G（x）0+0G（x）减增减当时G（x）在（，2，m），（0，+）单调递减，在（2m，0）单调递增.当时：x（，0）0（0，2m）2m（2m+）G（x）0+0G（x）减增减 此时G（x）在（，0），（2m+）单调递减，在（0，2m）单调递增，综上所述：当m=2时，G（x）在（，+）单调递减； 时，G（x）在（，2m），（0，+）单调递减，在（2m，0）单调递增； 时，G（x）在（，0），

23、（2m，+）单调递减，在（0，2m）单调递增.5解：函数的定义域为1分3分 （1）故函数在其定义域上是单调递增的.5分 （II）在1，e上，发如下情况讨论：当ae时，显然函数上单调递减，其最小值为仍与最小值是相矛盾；12分综上所述，a的值为13分6（I）解： 3分 （II）因为函数是R上的增函数，所以在R上恒成立，则有设则当且r=1时，取得最小值. （可用圆面的几何意义解得的最小值）8分 （）当时是开口向上的抛物线，显然在（2，+）上存在子区间使得，所以m的取值范围是（0，+）.当m=0时，显然成立.当时，是开口向下的抛物线，要使在（2，+）上存在子区间使，应满足或解得或，所以m的取值范围是则

24、m的取值范围是13分7解：（1）当时，函数曲线在点处的切线的斜率为 1分从而曲线在点处的切线方程为即 （2） 3分令，要使在定义域（0，）内是增函只需在（0，+）内恒成立 4分由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需时，在（0，+）内为增函数，正实数的取值范围是 6分 （3）上是减函数，时，即 1分当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，且，所以内是减函数。当时，在因为，所以此时，内是减函数。故当时，上单调递减，不合题意；当时，由所以又由（2）知当时，上是增函数，不合题意； 11分当时，由（2）知上是增函数，又上是减函数，故只需而即解得，所以实数的取值范围是。 13分8.

25、解：（）方法一：，2分 设直线， 并设与相切于点M（） 3分 2代入直线的方程，解得p=1或p=3 6分方法二： 将直线方程代入得 解得p=1或p=3 6分（）， 要使为单调增函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又，所以当时，在为单调增函数； 9分要使为单调减函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又，所以当时，在为单调减函数 11分综上，若在为单调函数，则的取值范围为或12分 9. 解：（I）因为所以因为上是增函数。 所以上恒成立 1分当而上的最小值是1。于是（） 可见从而由（）式即得 . 4分同时，由解得，或由得 此时，即为所求 6分注：没有提到（验证）时，不扣分。 （II）由（I

26、），于是 7分以下证明（） （）等价于 8分构造函数则时，上为增函数。因此当 即从而得到证明。 11分同理可证 12分注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分。10. 解：（）由a=0，可得，即 1分记，则在（1，+）上恒成立等价于.求得 2分当时；当时， 3分故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. 4分（）函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根5分令，则 6分当时，当时，g（x）在1，2上是单调递减函数，在上是单调递增函数故 8分又g（1）=1，g（3）=3-2ln3g（1）g（3），只需g（2）0，解得x或x-（舍去）故时，函数的单调递增区间为（，+）单调递减区间为（

27、0， ） 12分而h（x）在（0，+）上的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+）故只需=，解之得m= 13分即当m=时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性14分.11. 解：（I）因为 1分 （II）证：因为处取得极小值e （III）证：因为，当上有解，且只有一解 11分当，所以上有解，且有两解当上有且只有一解；12. 解: （1）依题意,即,.上式恒成立, 1分又,依题意,即,.上式恒成立, 2分由得. 3分 4分（2）由(1)可知,方程,设,令,并由得解知 5分令由 6分 列表分析:(0,1)1(1,+)-0+递减0递增可知在处有一个最小值0, 7分当时,0

28、,在(0,+)上只有一个解.即当x0时,方程有唯一解. 8分（3） 设, 9分在为减函数 又 11分所以：为所求范围. 12分13. 解：（1）恒成立即恒成立显然时，上式不能恒成立是二次函数由于对一切于是由二次函数的性质可得即 （2）即 当，当 （3）该函数图象开口向上，且对称轴为假设存在实数m使函数区间 上有最小值5.当上是递增的.解得舍去当上是递减的，而在区间上是递增的，即解得 当时，上递减的即解得应舍去.综上可得，当时，函数14. 解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：15. 解：（）2分故当时，时，所以在单调递增，在单调递减4分由此知在的极大值

29、为，没有极小值6分（）（）当时，由于，故关于的不等式的解集为10分（）当时，由知，其中为正整数，且有12分又时，且取整数满足，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是综合（）（）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为14分16. （）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP1010ta，所以， 所求函数关系式为若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。17解：（1）令当

30、是增函数当是减函数（2）（i）当时，由（）知上是增函数，在上是减函数又当时，所以的图象在上有公共点，等价于解得（ii）当时，上是增函数，所以原问题等价于又，无解18解：（）当时函数的定义域为； 当时函数的定义域为 （）令时，得即，当时，时，当时，故当 时，函数的递增区间为，递减区间为当时，所以，故当时，在上单调递增当时，若，;若，故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为 （）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为若存在使得成立，只须，即 19解：（1）据题意的 （2）由（1）得：当时，当时，为增函数当时，为减函数当时， 当时，当时，当时， 综上知：当时，总利润最大，最大值为195 20解:

31、 (1) 由已知可得C=0, , 令,得列表如下:(0,1)-+单调减单调减单调增所以的单调增区间为,单调减区间为和(2)在两边取对数,得而所以由(1)知当时,所以21解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增 （2） 由（）得，当时，,函数无极值点 当时，有两个不同解， 时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii） 当时，01 此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由（2）可知当时，函数，此时有惟一极小值点且