2013年福建高考理科数学试卷(带详解)(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）一选择题1已知复数的共轭复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于 （ ）A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【测量目标】复平面【考查方式】给出复数的共轭复数，判断z在复平面内所在的象限.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由，得z12i，故复数z对应的点(1，2)在第四象限2已知集合,则“”是“”的 （ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断两个命题之间的关系.【难

2、易程度】容易【参考答案】A【试题解析】若a3，则A1,3B，故a3是AB的充分条件；(步骤1)而若AB，则a不一定为3，当a2时，也有AB故a3不是AB的必要条件故选A（步骤2）3双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A B C D【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的方程，判断顶点到其渐近线的距离.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】双曲线y21的顶点为(2,0)，渐近线方程为，（步骤1）即x2y0和x2y0.故其顶点到渐近线的距离.（步骤2）4某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：40,50), 50,60), 60,70), 70

3、,80), 80,90), 90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ）A588 B480 C450 D120第4题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由频率分布直方图知4060分的频率为(0.0050.015)100.2，故估计不少于60分的学生人数为600(10.2)480.5满足，且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）A14 B13 C12 D10【测量目标】实系数一元二次方程.【考查方式】

4、给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】a0时，方程变为2xb0，则b为1,0,1,2都有解；（步骤1）a0时，若方程ax22xb0有实数解，则224ab0，即ab1.（步骤2）当a1时，b可取1,0,1,2.当a1时，b可取1,0,1.当a2时，b可取1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为443213.（步骤3）6阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是 （ ）A计算数列的前10项和 B计算数列的前9项和C计算数列的前10项和 D计算数列的前9项和第6题图 【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项.【考查方式】给出程

5、序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】当k10时，执行程序框图如下：S0，i1；S1，i2；S12，i3；S1222，i4；S122228，i10；S122229，i11.7在四边形ABCD中，则四边形的面积为 （ ）A B C5 D10【测量目标】向量的数量积运算.【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】1(4)220，.（步骤1）又|，|，S四边形ABCD|5.（步骤2）8设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）A B是的极小值点C是的极小值点 D是的极小值点 【

6、测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出函数的极值点，判断及的极值点.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】选项A，由极大值的定义知错误；（步骤1）对于选项B，函数f(x)与f(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点，故不正确；（步骤2）对于C选项，函数f(x)与f(x)图象关于x轴对称，x0应是f(x)的极小值点，故不正确；（步骤3）而对于选项D，函数f(x)与f(x)的图象关于原点成中心对称，故正确（步骤4）9已知等比数列的公比为q，记则以下结论一定正确的是 （ ）A数列为等差数列，公差为 B数列为等比数列，公比为C数列为等比数列，公比为 D数列为等比数列，公比为【

7、测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和.【考查方式】给出由等比数列的m项组成的数列 ，判断它们的性质 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】an是等比数列，=，（步骤1）(qm)m.（步骤2）10设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足： 对任意当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A BC D【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意(1)可知，S为函数yf(x)的定义域，T为函数yf(x)的值域由(2)可知，函数yf(x)在定义域

8、内单调递增，对于A，可构造函数yx1，xN*，yN，满足条件；（步骤1）对于B，构造函数满足条件；（步骤2）对于C，构造函数，x(0,1)，满足条件；（步骤3）对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D（步骤4）二填空题11利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则时间“”发生的概率为_【测量目标】几何概型.【考查方式】利用几何概型求解事件概率.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由3a10得，由几何概型知.12已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图侧视图俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_第12题图 【测量目标】由三视

9、图求几何体的表面积【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积.【难易程度】容易【参考答案】12【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径，所以，故该球的表面积为S球4r24312.13如图中，已知点D在BC边上，ADAC，则的长为_ 第13题图 【测量目标】诱导公式，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】ADAC，DAC.（步骤1）sinBAC，cosBAD.（步骤2）由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosBAD32233.BD.（步骤3）14椭圆的左右焦点分别

10、为，焦距为2c，若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于_【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由直线y(xc)知其倾斜角为60，由题意知MF1F260，则MF2F130，F1MF290.故|MF1|c，|MF2|c（步骤1）又|MF1|MF2|2a，(1)c2a，即.（步骤2）15当时，有如下表达式:两边同时积分得：从而得到如下等式： 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理.【考查方式】

11、根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值.【难易程度】较难【参考答案】【试题解析】由(1x)n，两边同时积分得：，.三解答题16（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.

12、【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望.【难易程度】容易【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，（步骤1）因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这2人的累计得分X3的概率为.（步骤2）(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)（步骤3）由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)

13、，E(X2)，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).（步骤4）因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大（步骤5）解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响（步骤1）记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，（步骤2）因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，(步骤3)所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这2人的累计得分X3的概率为.（步骤4）(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2

14、，则X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P （步骤5）所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大（步骤6）17（本小题满分13分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.【考查方式】利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及函数的极值.【难易程度】容易【试题解析】函数f(x)的定义域为(0，)，1.（步骤1）(1)当a2时，f(x)x2ln x，1(x0)， 因而f(1)1，1，（步骤2）所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为

15、y1(x1)，即xy20.（步骤3）(2)由1，x0知：当a0时，0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由0，解得xa(步骤4)又当x(0，a)时，0；当x(a，)时，0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值（步骤5）综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值（步骤6）18（本小题满分13分）如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为分别将线段和十等分，分点分别记为和，连结，过做轴的垂线与交于点（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求该抛物线的方程；（2）过点做

16、直线与抛物线交于不同的两点，若与的面积比为，求直线的方程第18题图 【测量目标】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】根据平面几何图形及坐标和三角形的面积关系，求解抛物线和直线方程.【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)依题意，过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.（步骤1）设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.（步骤2）(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.（步骤3）由得x2

17、10kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.（步骤4）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.（步骤5）又x1x20，所以x14x2，分别代入和，得解得.所以直线l的方程为yx10，即3x2y200或3x2y200.（步骤6）19（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱，（1）求证：（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中

18、，记其中最小的表面积为，写出的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）第19题图 【测量目标】空间立体几何线面垂直，线面角.【考查方式】给出四棱柱中的线段及线面关系，求解线面关系及线面所成角问题.【难易程度】中等【试题解析】(1)取CD的中点E，连结BE.（步骤1）ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形， BEAD且BEAD4k.（步骤2）在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD，（步骤3）又BEAD，CDADAA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD又AA1ADA，CD平面ADD1A1.（步骤4）第19图 (2)以D为原点，的方向为

19、x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0，6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，（步骤5）所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)（步骤6）设AA1与平面AB1C所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.（步骤7）第19图 (3)共有4种不同的方案f(k)（步骤8）20（本小题满分14分）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移个单位长度后得到函数

20、的图象（1）求函数与的解析式；（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断.【考查方式】给出三角函数的周期及对称中心，求解函数关系式及变换后的函数关系式；判断在某一区内是否存在,使得三角函数值呈等差数列；判断复合函数零点个数与区间的关系.【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)由函数f(x)sin(x)的周期为，0，得2.又曲线yf(x)的一个对称中心为，(0，)，故，得，所以f(x)cos 2x.（步骤1）将

21、函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得ycos x的图象，再将ycos x的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以g(x)sin x.（步骤2）(2)当x时，sin x，0cos 2x，所以sin xcos 2xsin xcos 2x.（步骤3）问题转化为方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在内是否有解设G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，则G(x)cos xcos xcos 2x2sin 2x(2sin x)（步骤4）因为x，所以G(x)0，G(x)在内单调递增又，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存

22、在唯一零点x0，即存在唯一的x0满足题意（步骤5）(3)依题意，F(x)sin xcos 2x，令F(x)sin xcos 2x0.当sin x0，即xk(kZ)时，cos 2x1，从而xk(kZ)不是方程F(x)0的解，（步骤6）所以方程F(x)0等价于关于x的方程，xk(kZ)现研究x(0，)(，2)时方程的解的情况（步骤7）令，x(0，) (，2)，则问题转化为研究直线ya与曲线yh(x)，x(0，)(，2)的交点情况，令h(x)0，得或.（步骤8）当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)00h(x)11当x0且x趋近于0时，h(x)趋向于，当x且x趋近于时，h(x)趋

23、向于，当x且x趋近于时，h(x)趋向于，当x2且x趋近于2时，h(x)趋向于.（步骤9）故当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内无交点，在(，2)内有2个交点；当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内有2个交点，在(，2)内无交点；当1a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内有2个交点，在(，2)内有2个交点（步骤10）由函数h(x)的周期性，可知当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，n)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线ya与曲线yh(x)在(0，n)内恰有2 013个交点；（步骤11）又当a1或a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)(，2)内有3个交点

24、，由周期性，2 0133671，所以依题意得n67121 342.（步骤12）综上，当a1，n1 342或a1，n1 342时，函数F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点（步骤13）解法二：(1)、(2)同解法一(3)依题意，F(x)asin xcos 2x2sin2xasin x1.现研究函数F(x)在(0,2上的零点的情况设tsin x，p(t)2t2at1(1t1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，（步骤1）又p(0)10，p(1)a1，p(1)a1.当a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1

25、，x2，且x1，x2(，2)；当a1时，函数p(t)有一个零点t1(0,1)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1，x2，且x1，x2(0，)；当1a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)，另一个零点t2(0,1)，F(x)在(0，)和(，2)分别有两个零点（步骤2）由正弦函数的周期性，可知当a1时，函数F(x)在(0，n)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意当a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)，另一个零点t21；当a1时，函数p(t)有一个零点t11，另一个零点t2(0,1)，（步骤3）从而当a1或a1时，函数F(x)在(0,2有3个零点由正弦函

26、数的周期性，2 0133671，所以依题意得n67121 342.综上，当a1，n1 342或a1，n1 342时，函数F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点（步骤4）21（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线（）求实数的值；（）若点在直线上，且，求点的坐标【测量目标】矩阵与行列式初步.【考查方式】根据直线方程在矩阵的变换求未知字母，利用点在直线上和矩阵乘积，求点坐标.【难易程度】容易【试题解析】（I）设直线l：axy1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M(x，y)由，得（步骤1）又点M(x，y)在l上，

27、所以xby1，即x(b2)y1，依题意得解得（步骤2）（II）由，得解得y00.（步骤3）又点P(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点P的坐标为(1,0)（步骤4）（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（I）求的值及直线的直角坐标方程；（II）圆C的参数方程为，（为参数），试判断直线与圆的位置关系【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标及极坐标方程求直角坐标方程，根据圆的参数方程判断直线与圆的位置关系.【难易程度】中等【试题解析】（I）由点A在直线a上，可得.

28、所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.（步骤1）（II）由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，（步骤2）因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交（步骤3）（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式的解集为，且，（I）求的值；（II）求函数的最小值【测量目标】绝对值不等式，基本不等式求最值.【考查方式】根据绝对值不等式的解集判断未知参量的值，利用基本不等式求绝对值函数的最值.【难易程度】中等【试题解析】（I）因为A，且A，所以，且，解得a.又因为aN*，所以a1.（步骤1）（II）因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2) 0，即1x2时取到等号所以f(x)的最小值为3.（步骤2）专心-专注-专业