2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷(共26页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1已知集合U=1，2，3，4，5，6，7，M=x|x26x+50，xZ，则UM=2若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=3函数f（x）=的定义域为4如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为6已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为7从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，则这两个数

2、的和为3的倍数的槪率为8在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线=l的右焦点，则双曲线的离心率为9设等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列且a2+a5=4，则a8的值为10在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为11在ABC中，已知AB=1，AC=2，A=60，若点P满足=+，且=1，则实数的值为12已知sin=3sin（+），则tan（+）=13若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|的零点个数为14若正数x，y满足15xy=22，则x3+y3x2y2的最小值为

3、二.解答题：本大题共6小题，共计90分15在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边若acosB=3，bcosA=l，且AB=（1）求边c的长；（2）求角B的大小16如图，在斜三梭柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1A1B，求证：AC1BC17某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈

4、钢支架的长度和记为l（1）请将l表示成关于的函数l=f（）；（2）问当为何值时l最小？并求最小值18在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （ab0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值19己知函数f（x）=（x+l）lnxax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x1）f（x）0恒成立，求a的取值范围20己知n为正整数，数列an满足an0，4（n+1）an2nan+12=0，设数列bn满足bn=（1）求证：数列为等

5、比数列；（2）若数列bn是等差数列，求实数t的值：（3）若数列bn是等差数列，前n项和为Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分A.选修4一1：几何证明选讲21如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E求DAC的度数与线段AE的长选修4-2：矩阵与变换22已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M对应的变换将点（1，2）变换成（2，4）（1）求矩阵

6、M；（2）求矩阵M的另一个特征值选修4-4：坐标系与参数方程23已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2，（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲24已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求+的最大值四.必做题：每小题0分，共计20分25如图，已知正四棱锥PABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且=（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角NPCB的余弦值26设|，n为正整数，数列an的通项公式an=sintann，其前n项和为Sn（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=

7、（1）tann；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin21+（1）n+1tan2n2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1已知集合U=1，2，3，4，5，6，7，M=x|x26x+50，xZ，则UM=6，7【考点】补集及其运算【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，7，M=x|x26x+50，xZ=x|1x5，xZ=1，2，3，4，5，则UM=6，7故答案为：6，72若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=【考点】复数代数形式的乘除

8、运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=故答案为：3函数f（x）=的定义域为x|x且x1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：x且x1，故函数的定义域是x|x且x1，故答案为：x|x且x14如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案【解答】解：当i=2

9、时，满足循环条件，执行循环t=12=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=23=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=64=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24故答案为：245某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300【考点】分层抽样方法【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数【解答】解：用分层抽样的方法

10、从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，高二年级要抽取452010=15，高级中学共有900名学生，每个个体被抽到的概率是=该校高二年级学生人数为=300，故答案为：3006已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】正四棱锥PABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积【解答】解：如图，正四棱锥PABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=在直角三角形POA中，PO=1所以VPABCD=SABCDPO=41=故答案为：

11、7从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数n=6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率【解答】解：从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，基本事件总数n=6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，这两个数的和为3的倍数的槪率p=故答案为：8在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线=l的右焦点，则双曲线的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，

12、由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线=l的右焦点为（2，0），即有c=2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e=2故答案为：29设等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列且a2+a5=4，则a8的值为2【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列且a2+a5=4，解得，a8=（a1q）（q3）2=8=2故答案为：210在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y

13、2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为xy1=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=2y2，y1+y2=，y1y2=联立解得m=1，直线l的方程为xy1=0，故答案为：xy1=011在ABC中，已知AB=1，AC=2，A=60，若点P满足=+，且=1，则实数的值为或1【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把

14、、用、与表示出来，再求即可【解答】解：ABC中，AB=1，AC=2，A=60，点P满足=+，=，=；又=（+）=+（1），=+（1）=+（1）=21cos60+（1）22=1，整理得4231=0，解得=或=1，实数的值为或1故答案为：或112已知sin=3sin（+），则tan（+）=24【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tan、tan的值，可得tan（+）的值【解答】解：sin=3sin（+）=3sincos+3cossin=sin+cos，tan=又tan=tan（）=2，tan（+）=24，故答案为：2413若函数f（

15、x）=，则函数y=|f（x）|的零点个数为4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用分段函数，对x1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可【解答】解：当x1时， =，即lnx=，令g（x）=lnx，x1时函数是连续函数，g（1）=0，g（2）=ln2=ln0，g（4）=ln420，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx，有2个零点（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点）当x1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|的零点个数为：4个故答案为：414若正数x，y满足15xy=22，则x3+

16、y3x2y2的最小值为1【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由题意可得x，y0，又x3+y3x2y2=（x3x2）+（y3y2），求出y3y2y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值【解答】解：由正数x，y满足15xy=22，可得y=15x220，则x，y0，又x3+y3x2y2=（x3x2）+（y3y2），其中y3y2+y=y（y2y+）=y（y）20，即y3y2y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3x2，f（x）的导数为f（x）=3x22x=x（3x2），当x=时，f（x）的导数为（2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为

17、y=x由x3x2x（x）2（x+2）0，当x=时，取得等号则x3+y3x2y2=（x3x2）+（y3y2）xy=1当且仅当x=，y=时，取得最小值1故答案为：1二.解答题：本大题共6小题，共计90分15在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边若acosB=3，bcosA=l，且AB=（1）求边c的长；（2）求角B的大小【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2b2=6c，b2+c2a2=2c相加即可得出c（2）由（1）可得：a2b2=8由正弦定理可得： =，又AB=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin代入可得16sin2B

18、=，化简即可得出【解答】解：（1）acosB=3，bcosA=l，a=3，b=1，化为：a2+c2b2=6c，b2+c2a2=2c相加可得：2c2=8c，解得c=4（2）由（1）可得：a2b2=8由正弦定理可得： =，又AB=，A=B+，C=（A+B）=，可得sinC=sina=，b=16sin2B=，1（1cos2B）=，即cos2B=，2，=0或=1，B解得：B=16如图，在斜三梭柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1A1B，求证：AC1BC【考点】空间中直线与直线之间的位置关

19、系；直线与平面平行的性质【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，O为AC1的中点，E是AB的中点，OEBC1； OE平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，OE平面BCC1B1，OE平面BCC1B1，E，E重合，E是AB中点；（2）侧面AA1C1C是菱形，AC1A1C，AC1A1B，A1CA1B=A1，A1C平面A1BC，A

20、1B平面A1BC，AC1平面A1BC，BC平面A1BC，AC1BC17某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为l（1）请将l表示成关于的函数l=f（）；（2）问当为何值时l最小？并求最小值【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于的函数l=f（）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当为何值时l最小？并求最小值【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，a

21、=，l=+（0）；（2）l=h，0，l0，l0，时，l取得最小值m18在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （ab0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a

22、b0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e=，则a=，b2=a2c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x），则，整理得：（2k2+1）x2（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）2k2=，则kAP+kAQ=+=，由y1x2+y2x1=k（x1）x2+k（x2）x1=2kx1x2（k+）（x1+x2）=，kAP+kAQ=1，直线AP，AQ的斜率之和为定值119己知函数f（x）=（x+l）lnxax+a （a为正实数，且为常数）（1）

23、若f（x）在（0，+）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x1）f（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为alnx+1在（0，+）恒成立，（a0），令g（x）=lnx+1，（x0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x1）（x+1）lnxa0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnxax+a，f（x）=lnx+1a，若f（x）在（0，+）上单调递增，则alnx+1在（0，+）恒成立，（a0），令g（x）=lnx

24、+1，（x0），g（x）=，令g（x）0，解得：x1，令g（x）0，解得：0x1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0a2；（2）若不等式（x1）f（x）0恒成立，即（x1）（x+1）lnxa0恒成立，x1时，只需a（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x1），则m（x）=lnx+1，由（1）得：m（x）2，故m（x）在1，+）递增，m（x）m（1）=0，故a0，而a为正实数，故a0不合题意；0x1时，只需a（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0x1），则n（x）=lnx+1，由（1）n（x）在（0，1）递减，故n（

25、x）n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）n（1）=0，故a0，而a为正实数，故a020己知n为正整数，数列an满足an0，4（n+1）an2nan+12=0，设数列bn满足bn=（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列bn是等差数列，求实数t的值：（3）若数列bn是等差数列，前n项和为Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）数列an满足an0，4（n+1）an2nan+12=0，化为： =2，即可证明（2）由（1）可得： =，可得=n4n1数列bn满足bn=，可

26、得b1，b2，b3，利用数列bn是等差数列即可得出t（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sna14n2=16bm，即可得出a1【解答】（1）证明：数列an满足an0，4（n+1）an2nan+12=0，=an+1，即=2，数列是以a1为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得： =，=n4n1bn=，b1=，b2=，b3=，数列bn是等差数列，2=+，=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4（3）解：数列bn是等差数列，由（2）可得：t=12或4t=12时，bn=，Sn=，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n2=16bm成立，a14n2=16，

27、=，n=1时，化为：=0，无解，舍去t=4时，bn=，Sn=，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n2=16bm成立，a14n2=16，n=4m，a1=a1为正整数，=k，kN*满足条件的所有整数a1的值为a1|a1=2，nN*，mN*，且=k，kN*四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分A.选修4一1：几何证明选讲21如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E求DAC的度数与线段AE的长【考点】弦切角【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，

28、从而得到DCA=60，再在直角三角形ACD中得到DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此CBO=60，由于DCA=CBO，所以DCA=60，又ADDC得DAC=30；又因为ACB=90，得CAB=30，那么EAB=60，从而ABE=30，于是选修4-2：矩阵与变换22已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M对应的变换将点（1，2）变换成（2，4）（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，dR，由

29、二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（1，2）换成（2，4）得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（）=（6）（4）8=210+16，从而求得另一个特征值为2【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，dR，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（1，2）换成（2，4）则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（）=（6）（4）8=210+16，故矩阵M的另一个特征值为2选修4-4：坐标系与参数方程23已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2，（1

30、）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可【解答】解：（1）=22=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y22x2y2=0（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1化为极坐

31、标方程为cos+sin=1，即选修4-5：不等式选讲24已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求+的最大值【考点】二维形式的柯西不等式【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得+的最大值【解答】解：由柯西不等式可得（+）212+12+12（）2+（）2+（）2=312+3，当且仅当=时取等号+的最大值是6，故最大值为6四.必做题：每小题0分，共计20分25如图，已知正四棱锥PABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且=（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角NPCB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）设AC与BD的交

32、点为O，AB=PA=2以点O为坐标原点，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角NPCB的余弦值【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2以点O为坐标原点，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz则A（1，1，0），B（1，1，0），C（1，1，0），D（1，1，0），设P（0，0，p），则=（1，1，p），又AP=2，1+1+p2=4，p=，=（），=（），=（1，1，），=（0，），设异面直线MN与PC所成角为，则cos=30

33、，异面直线MN与PC所成角为30（2）=（1，1，），=（1，1，），=（，），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角NPCB的平面角为，则cos=二面角NPCB的余弦值为26设|，n为正整数，数列an的通项公式an=sintann，其前n项和为Sn（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（1）tann；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin21+（1）n+1tan2n【考点】数列的求和【分析】（1）利用sin=，即可得出（2）a2k1+a2k=（1）tann利用等比数列的求和公式即可得出【解答】证明：（1）an=sintann，当n=2k（kN*）为偶数时，an=sinktann=0；当n=2k1为奇函数时，an=tann=（1）k1tann=（1）tann（2）a2k1+a2k=（1）tann奇数项成等比数列，首项为tan，公比为tan2S2n=sin21+（1）n+1tan2n专心-专注-专业