平面向量的数量积的性质(共14页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a,b,为a与b的夹角.1.若ab0,则a与b有什么关系?【提示】ab0,a0,b0,cos 0,90,ab.2.aa等于什么?【提示】|a|a|cos 0|a|2.(1)如果e是单位向量,则aeea|a|cosa,e;(2)abab0;(3)aa|a|2即|a|;(4)cosa,b(|a|b|0);(5)|ab|a|b|.平面向量数量积的运算律(1)交换律:abba;(2)分配律:(ab)cacbc;(3)数乘向量结合律:对任意实数,(ab)(a)ba(b).向量的数量积运算(2013海淀高一检测)已知|a|5,|b
2、|4,a与b的夹角为120,(1)求ab;(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(1)ab|a|b|cos 54cos 12054()10.(2)|a|cos 5cos 120,a在b方向上的射影的数量为.1.在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量,可利用数量积的几何意义求ab.1.(2013玉溪高一检测)已知|a|6,|b|3,ab12,则a在b方向上的
3、射影的数量是()A.4B.4C.2D.2【解析】cos,向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cos64,故选A.【答案】A2.已知|a|6,e为单位向量,当向量a、e之间的夹角分别等于45,90,135时,分别求出ae及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】当向量a和e之间的夹角分别等于45,90,135时,|a|e|cos 45613;|a|e|cos 906100;|a|e|cos 13561()3.当向量a和e之间的夹角分别等于45,90,135时,a在e方向上的正射影的数量分别为:|a|cos 6cos 453;|a|cos 6cos 900;|a|cos 6cos 1353.与向
4、量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120,且|a|4,|b|2,求:(1)|ab|;(2)|(ab)(a2b)|.【思路探究】利用aaa2或|a|求解.【自主解答】由已知ab|a|b|cos 42cos 1204,a2|a|216,b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412,|ab|2.(2)(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412,|(ab)(a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系.2.利用aaa2|a|2或|a|,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45的两个单位向量,且ae12e2,b2e1e2,
5、试求|ab|的值.【解】ab(e12e2)(2e1e2)3(e1e2),|ab|3(e1e2)|3|e1e2|333.与向量夹角有关的问题(2014济南高一检测)若向量a,b,c两两所成的角均为120,且|a|1,|b|2,|c|3,求向量ab与向量ac的夹角的余弦值.【思路探究】先利用已知条件,分别求出(ab)(ac),|ab|和|ac|的大小,再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】(ab)(ac)a2abacbc112cos 12013cos 12023cos 120,|ab|,|ac|,cos ,所以向量ab与ac的夹角的余弦值是.1.求向量a,b夹角的流程图求|a|,|b|计算ab计算
6、cos 结合0180,求解2.当题目中涉及向量较多时,可用整体思想代入求值,不必分别求值,以避免复杂的运算.(1)(2014辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线,ab0,且cab,则a与c的夹角为()A.0 B. C. D.(2)(2014贵州省四校高一联考)若|a|2,|b|4且(ab)a,则a与b的夹角是()A. B. C. D.【解析】(1)acaaaaba2a20,又a0,c0,ac,a与c的夹角为,故选D.(2)因为(ab)a,所以(ab)aa2ab0,即aba24,所以cos,又因0,所以a与b的夹角是 ,故选A.【答案】(1)D(2)A混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之
7、间关系致误设两向量e1,e2满足:|e1|2,|e2|1,e1,e2的夹角为60.若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【错解】由已知得e1e2211,于是(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.因为2te17e2与e1te2的夹角为钝角,所以2t215t70,解得7t.【错因分析】当两向量反向共线时,其数量积为负,但夹角不是钝角而是平角.【防范措施】若两向量的夹角为钝角,则这两向量的数量积为负;反之不成立,因为两向量反向共线时,夹角为平角,即180,其数量积也为负.【正解】由已知得e1e2211,于是(2te17e2)(
8、e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.因为2te17e2与e1te2的夹角为钝角,所以2t215t70,解得7t.但是,当2te17e2与e1te2异向共线时,它们的夹角为180,也有2t215t70,这是不符合题意的.此时存在实数,使得2te17e2(e1te2),即2t且7t,解得t.故所求实数t的取值范围是7,.1.两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a0,b0,090时),也可以为负(当a0,b0,90180时),还可以为0(当a0或b0或90时).2.数量积对结合律一般不成立,因为(ab)c|a|b|cosa,bc是一个与c共线的向量,
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