更高更妙的物理:专题14--刚体的运动学与动力学问题(共14页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题14 刚体的运动学与动力学问题一、刚体知识概要1、刚体 在无论多大的外力作用下,总保持其形状和大小不变的物体称为刚体。刚体是一种理想化模型,实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视为刚体,刚体内各质点之间的距离保持不变是其重要的模型特征。2、刚体的平劝和转动 刚体运动时,其上各质点的运动状态(速度、加速度、位移)总是相同,这种运动称为平动。研究刚体的平动时,可选取刚体上任意一个质点为研究对象。刚体运动时,如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动,这种运动称为转动,而所绕的直线便称为转轴。若转轴是固定不动的,刚体的运动就是定轴转动。刚体
2、的任何一个复杂运动总可视作平动与转动的叠加,刚体的运动同样遵从运动的独立性原理。3、质心 质心运动定理 质心 这是一个等效意义的概念:即对任何一个刚体(或质点系),总可以找到一点,它的运动就代表整个刚体(或质点系)的平动,它的运动规律就等效于将刚体(或质点系)的质量集中在点的运动情况,刚体(或质点系)所受外力也全部作用在点时,这个点被称为质心。当外力的作用线通过刚体的质心时,刚体仅做平动,当外力作用线不通过质心时,整个物体的运动是随质心的平动及绕质心的转动的合成。 质心运动定理 物体受外力作用时,其质心的加速度为,则必有,这就是质心运动定理。该定理表明:不管物体的质量如何分布,也不管外力作用点
3、在物体的哪个位置,质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此、外力亦作用于此时应有的运动。4、转动惯量 转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度,它等于刚体中每个质点的质量与该质点到转轴的距离的平方的乘积的总和,即 从转动惯量的定义式可知,刚体的转动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况。在中学数学知识层面上,我们可以用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量。5、描述转动状态的物理量 对应于平动状态参量的速度、加速度、动量、动能,描述刚体定轴转动状态的物理量有:角速度 角速度的定义为。在垂直于转轴、离转轴距离处的线速度和角速度之间的关系为。 角加速度 角加速度的定义为。在垂直于转轴、离
4、转轴距离处的线加速度与角加速度的关系为。 角动量 角动量也可称动量矩,物体对定轴转动时,在垂直于转轴、离转轴距离处某质量为的质点的角动量大小是,各质点角动量的总和即为物体的角动量 转动动能 当刚体做转动时,各质点具有共同的角速度及不同的线速度,若第个质点质量为,离转轴垂直距离为,则其动能为, 整个刚体因转动而具有的动能为所有质点的转动动能的总和。6、力矩 力矩的功 冲量矩 力矩 如同力是质点运动状态改变、产生加速度的原因,力矩是改变刚体转动状态、使刚体获得角加速度的原因。力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩,即。 力矩的功 类同于力的作用对位移的累积为功,力矩的作用对角位移的累积称为力矩的功
5、,恒力矩的作用使刚体转过角时,力矩所做的功为力矩和角位移的乘积,即。 冲量矩 与冲量是力的作用对时间的累积相似,力矩的作用对时间的累积称为冲量矩,冲量矩定义为力矩乘以力矩作用的时间,即。7、定轴转动的基本规律 转动定律 刚体在合外力矩作用下,所获得的角加速度与合外力矩大小成正比,与转动惯量成反比,即。如同质点运动的牛顿第二定律可表述为动量形式,转动定律的角动量表述形式是。 转动动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量,即。该定理揭示了力矩作用对角位移的积累效应是刚体的转动动能的改变。 角动量原理 转动物体所受的冲量矩等于这物体在这段时间内角动量的增量,即。该原理体现了力矩作用的时
6、间积累效应是改变刚体转动中的动量矩。 角动量守恒定律 当物体所受合外力矩等于零时,物体的角动量保持不变,即常量,此即角动量守恒定律。该定律适用于物体、物体组或质点系当不受外力矩或所受合外力矩为零的情况。在运用角动量守恒定律时,要注意确定满足守恒条件的参照系。 如果将上述描述刚体的物理量及刚体的运动学与动力学规律与质点问题相对照(如表l所示),可以发现它们极具平移对称性,依托我们对后者的熟巧,一定可以很快把握刚体转动问题的方法规律。二、确定物体转动惯量的方法 物体的转动惯量是刚体转动状态改变的内因,求解转动刚体的动力学问题,离不开转动惯量的确定。确定刚体的转动惯量的途径通常有:1、从转动惯量的定
7、义出发 对于一些质量均匀分布、形状规则的几何体,计算它们关于对称轴的转动惯量,往往从定义出发,运用微元集合法,只须初等数学即可求得。【例1】如图所示,形状如同通常铅笔的正六角棱柱,质量为,密度均匀,其横截面六边形边长为,试求该棱柱体相对于它的中心对称轴的转动惯量。【分析与解】这里求的是规则形状的几何体关于它的中心对称轴的转动惯量。从转动惯量的定义出发,我们可将棱柱沿截面的径向均匀分割成()个厚度均为、棱长为的六棱柱薄壳,确定任意一个这样的薄壳对中心轴的元转动惯量,然后求和即可,即。现在,先给出一矩形薄板关于与板的一条边平行的轴的转动惯量。板的尺寸标注如图所示,质量为,且均匀分布,轴与板的距离为
8、,沿边将板无限切分成条长、宽的窄条,则有 回到先前的六棱柱薄壳元上,由对称性可知,薄壳元对轴的转动惯量是,即;式中是六棱柱体的密度:。则六棱柱体对中心对称轴的转动惯量2、借助于平行抽定理 在刚体绕某点做转动时,需对过该点的轴求转动惯量,借助于平行轴定理,可以解决这样的问题:已知刚体对过质心的轴的转动惯量,如何求对不通过质心但平行于过质心转轴的轴的转动惯量。平行轴定理;设任意物体绕某固定轴的转动惯量为,绕通过质心面平行于轴的转动惯量为,则有,式中为两平行固定轴、之间的距离,为物体的质量。平行轴定理的推证:如图所示,为过刚体质心并与纸面垂直的轴,为与它平行的另一轴,两轴相距为,在与轴垂直的平面内以
9、质心为原点,过、两点的直线为轴,建立直角坐标系。代表刚体上任一徽元的质量,它与轴及轴的距离依次为和,微元与质心连线与方向夹角为,由转动惯量的定义知,刚体对轴的转动惯量应为上式中第一项即为刚体对质心的转动惯量;第二项,是刚体的总质量,而第三项中,是质量元在平面直角坐标系内的坐标,按质心的定义,有,故。在上例中,我们已求得正六棱柱关于其中心轴的转动惯量,利用平行轴定理,我们可求得六棱柱相对于棱边的转动惯量为。3、运用垂直轴定理 对任意的刚体,在刚体上任意建立三维空间坐标系,刚体对、轴的转动惯量分别为、,可以证明,是质元到坐标原点的距离。证明 如图所示,质元的坐标是、,显然,。而刚体对、轴的转动惯量
10、依次为;。则 。 这个结论就是转动惯量的垂直轴定理,或称正交轴定理。这个定理本身及其推导方法对转动惯量求解很有意义。【例2】从一个均匀薄片剪出一个如图所示的规则对称的等臂星。对轴,此星的转动惯量为。求等臂星对轴的转动惯量。和轴都位于图示的平面内,和都可看似已知量。【分析与解】设星形薄片上任意一质元到过中心而与星平面垂直的轴距离为,则星对该轴的转动惯量,由于对称性,星对轴及同平面内与轴垂直的轴的转动惯量相等,均为已知量;同样,星对轴及同平面内与轴垂直的轴的转动惯量亦相等,设为,等同于垂直轴定理的推导,这里应有,。于是有 ,即。4、巧用量纲分析法 根据转动惯量的定义为,其量纲应为,转动惯量的表达式
11、常表现为形式,是刚体的质量,是刚体相应的几何长度,只要确定待定系数,转动惯量问题便迎刃而解。【例3】求均匀薄方板对过其中心且与轴(在薄方板平面内)形成角的轴的转动惯量。【分析与解】如图甲所示为待求其转动惯量的正方形薄板,设其边长为,总质量为,对轴的转动惯量为,过将板对称分割成四个相同的小正方形,各小正方形对过各自质心且平行于的轴的转动惯量为。如图乙所示,小正方形的轴与轴距离为或,由平行轴定理,它们对轴的转动惯量应分别为(两个质心与轴距离为的小正方形)或(两个质心与轴距离为的小正方形),则有下列等式成立化简整理,可得。而由几何关系,可得,故有 ,则 。于是求得正方形木板对过其中心的轴的转动惯量,
12、且与角并无关系。5、这里提供一些规则几何体的转动惯量一些规则几何体的转动惯量如表2所示。三、刚体运动问题例析 刚体运动问题主要涉及运用质心运动定理、角动量定理及角动量守恒定律等剐体的基本运动规律来求解刚体转动的动力学与运动学问题。下面就此问题展示四例。【例4】在平行的水平轨道上有一个均匀的滚轮,缠着绳子,绳子的末端固定着一个重锤。开始时,滚轮被按住,滚轮与重锤系统保持不动。在某一瞬间,放开滚轮。一段时间后,滚轮轴得到了恒定的加速度,如图甲。假定滚轮没有滑动,请确定:重锤的质量和滚轮的质量之比;滚轮对水平轨道面的最小动摩擦因数。【分析与解】与处理质点的动力学问题一样,处理刚体转动的力学问题,要理
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