概率论期末试题(共24页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上概率论与数理统计期末试题一 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 对于任意两个事件A与B,必有P(A-B)=( )A. P(A)-P(B) B P(A)-P(B)+P(AB) C P(A)-P(AB) D P(A)+P(B)2.某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ ）。A. 0.76 B. 0.4 C. 0.32 D. 0.53.若A与B互为对立事件，则下式成立的是（）A.

2、P（AB）=B.P（AB）=P（A）P（B）C.P（A）=1-P（B）D.P（AB）=4.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（）A.B.C.D.5.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( )A f(x)单调不减 B C D 6.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为若X与Y独立,则( )X-1012P0.10.20.40.37设离散型随机变量X的分布律为 ，则P-1-1)=lDP(X4)=l10.已知随机变量X的概率密度为f (x)=则E(X)=( )A.6B.3C.1 D.二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正

3、确答案。错填、不填均无分。11.设P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（AB）=0.4，则P（AB）=_.12.设随机变量XB（1，0.8）（二项分布），则E(X) =_.13.设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则=_15. 设随机变量X的概率函数为P(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,则EX=_16设A，B为两个随机事件，若A发生必然导致B发生，且P (A)=0.6，则P (AB) =_17.袋中有5个黑球，3个白球，从中任取的4个球中恰有3个白球的概率为_.18.某地一年内发生旱灾的概率为，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为_.19.设A为随机事件，P(A)=0.3，则P

4、()=_.20.设随机变量X的分布律为 .记Y=X2，则PY=4=_.21.设X是连续型随机变量，则PX=5=_.22.设随机变量X的分布函数为F(x)，已知F(2)=0.5，F（-3）=0.1，则P-30时，X的概率密度f (x)=_.24.设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数c=_.25设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_三、计算题（本大题共16分，每题8分）26 一射手对一目标独立的射击4次，每次的命中率为0.8,求：（1）恰好命中两次的概率。（2）至少命中一次的概率。27设随机变量(X，Y)的概率分布为YX0120

5、1求：（1）E(X) (2)E(XY)五、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28设随机变量X的概率密度为试求：(1)常数A；(2)E(X)29 设(X,Y)的联合密度函数为其他求X与Y的边缘概率密度并判断X与Y是否独立。六、应用题（共10分）30.已知一批产品中有95%的是合格品，检查产品质量时，一个合格品被判为次品的概率是0.02，一个次品被判为合格品的概率是0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率。（2）一个被断为合格品的产品确实是合格品的概率。1. 1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错

6、误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率.解： 注：可以认为每个字符最终被排错的概率为0.00001，而无须分两步考虑。完毕2. 2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?解：可以先假设赌徒的赌本为M设 赌庄先输光的概率为p 赌徒先输光的概率为q 则p+q=1该模型可以等价于在Z上的带吸收壁的随机游动： X(0)=100 增加1的概率为0.51 （赌庄赢钱） 减少1的概率为0.49 （赌庄输钱） 吸收壁为： （100+M）（

7、赌徒输光） 0 （赌庄输光） 则 （参考概率论引论 P216 问题2）令M即可得本题所求的概率：赌庄破产的概率为 完毕3. 3. 考虑0,上的Poisson过程, 参数为. T是与该Poisson过程独立的随机变量,服从参数为的指数分布. 以表示0,T中Poisson过程的增量, 求的概率分布.解：完毕4. 设12n是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在，求和的相关系数.解：完毕4. 5. 设X是连续型随机变量,密度函数fX(x)= (1/2)exp(-|x|), - x . a. a. 证明特征函数X(t) = 1/(1+t2).b. b. 利用上述结果和逆转公式来证明证明

8、： 证毕5. 6. 设随机变量序列n依概率收敛于非零常数a, 而且n0. 证明1/n依概率收敛于1/a.证明：证毕6. 7. 假设X与Y是连续型随机变量.记VarY|X=x为给定X=x的条件下Y的方差. 如果EY|X=x=与X无关, 证明EY=而且VarY=.证明：证毕7. 8. 设n为独立随机变量序列, 且n服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对n中心极限定理成立.证明：证毕8. 9. 设X,Y和Z的数学期望均为0, 方差均为1. 设X与Y的相关系数为1, Y与Z的相关系数为2, X与Z的相关系数为3. 证明 . 证明：证毕9. 10. 用概率方法证明如下Weierstrass定理:对区

9、间0,1上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列bn(x), 使在区间0,1上一致地有bn(x) f(x).证明：证毕附: 常用正态分布函数值: (1.28)= 0.9, (2)= 0.977, (2.33)= 0.99, (2.58)= 0.995(1.64)= 0.95, (1.96)= 0.975,一、选择题（共5小题，每小题3分，总15分）1掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ ）。(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 2设随机变量的概率密度，则C=（ ）。(A) 1 (B) 1/2 (C) 2 (D) 3/23设，为个来自总体的随机样本的

10、均值，,则（ ）。(A) (B) (C) (D) 4设，与独立，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 5设，且，则=（ ）。(A) 0.8543 (B) 0.1457 (C) 0.3541 (D) 0.2543 二、 （本题10分）对于随机事件与。（1）已知求和（2）已知求；三、 （本题10分）某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40，35，25，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？四、 （本题10分）设连续型随机变量的密度为 (1)确定常数； (2)求； (3)求分布函数；五、 （本题15

11、分）设二维随机变量（X, Y）的分布密度求（1）确定常数；(2)关于X和关于Y的边缘密度函数；（3）问X和Y是否相互独立？（4）求与。六、 （本题10分）某公司生产的产品次品率为0.02，现随机抽取该公司生产的300件产品逐一进行测试。（1）试求测试结果次品不少于7件的概率（写出精确计算的表达式）；（2）利用中心极限定理给出上述概率的近似值。 七、 （本题10分）设总体服从区间上的均匀分布，试求参数的最大似然估计量。八、 （本题15分）某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，如果两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，今分别从两条流水线上抽取样本：及算出，假设这其均值分别为试求：

12、（1）如果两总体方差条件下，求置信水平为的置信区间； （2）/的置信水平为的置信区间。九 （本题5分）已知、为总体的参数与的估计量，且，。试给出参数与的无偏估计量。 注：，一（本题满分8分） 在正方形中任取一点，求使得方程有两个实根的概率 解： 设“方程有两个实根”，所求概率为 设所取的两个数分别为与，则有， 因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应2分 随机事件与二维平面点集，即与点集2分中的点一一对应 所以， 4分二（本题满分8分） 从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有是质量问题；有是数量短缺问题；有是产品包装问题又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占；在数量短缺

13、问题的争议中，经过协商解决的占；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解： 设“事件属于质量问题”，“事件属于数量短缺问题”， “事件属于产品包装问题” “事件经过协商解决”所求概率为2分 由Bayes公式，得 2分 2分所以，2分三（本题满分8分） 设随机事件满足：证明：对任意随机事件，有 解： 因为，所以，2分 所以，对任意的随机事件，由，以及概率的单调性及非负性，有 ，因此有2分 所以，对任意的随机事件，由，以及与的互不相容性，得 4分四（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 ，并且已知，试求方差 解：

14、由及，得 ，2分 2分由此得线性方程组 解此线性方程组，得2分 所以， 所以，2分五（本题满分8分） 经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为某餐厅有个座位，但预定给了位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解： 设表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则1分 则所求概率为2分 2分 3分六（本题满分10分） 将一颗均匀的骰子独立地掷次，令表示这次出现的点数之和，求（5分）与（5分） 解： 设表示第次出现的点数， 则相互独立，而且 而的分布列为 ，2分所以， ， 2分所以，由数学期望的性质，得 2分 ， 2分所以，由的相互独立性，及数学期望的性质，得 2分七（本题满分1

15、0分） 设随机变量，求随机变量的密度函数 解： 由题意，随机变量的密度函数为，1分 设随机变量的分布函数为，则有 ，2分 所以，当时，；1分 当时， 2分 因此有 ，2分 所以，随机变量的密度函数为 2分八（本题满分10分） 设二维随机变量的联合密度函数为 ，求与的相关系数 解： ， ，2分 ， ，2分 ，所以有 ，2分 ， ，2分因此，有 2分九（本题满分10分） 一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重，标准差为若用最大载重量为的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于（设，其中是标准正态分布的分布函数） 解： 若记表示第箱的重量，则独立同分布，且

16、， 2分再设表示一辆汽车最多可装箱货物时的重量，则有 由题意，得 4分查正态分布表，得 ，2分当时，；时，故取，即每辆汽车最多装箱货物2分十（本题满分8分） 设总体，是取自该总体中的一个样本令，试确定常数，使得随机变量服从分布 解： 因为，而且相互独立，所以，2分因此，2分而且与相互独立因此由分布的定义，知，2分即取，则有2分十一（本题满分12分） 设总体的密度函数为 ，其中为参数，是从总体中抽取的一个简单随机样本 求参数的矩估计量（6分）； 求参数的最大似然估计量（6分） 证明： ，3分因此，得方程 ，解方程，得 ， 将替换成，得参数的矩估计量为3分 似然函数为 ，2分取对数，得 ，对求导，

17、得 ，所以，得似然方程 ，2分解似然方程，得，因此，参数的最大似然估计量为 2分一（本题满分8分） 某城市有汽车辆，牌照编号从00000到99999一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率 解： 设事件，所求概率为.2分 .6分二（本题满分8分） 设随机事件，满足：，求随机事件，都不发生的概率 解： 由于，所以由概率的非负性以及题设，得，因此有.2分 所求概率为注意到，因此有.2分 .2分 .2分三（本题满分8分） 某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率 解： .2分 .2分 .4分四（本题满分8分） 某种型号的

18、电子元件的使用寿命（单位：小时）具有以下的密度函数： 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）； 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分） 解： 设，则 .4分 设，则所求概率为 .2分而 ，所以， .2分五（本题满分8分） 设随机变量服从区间上的均匀分布，而随机变量求数学期望 解： .2分 .2分 .4分六（本题满分8分） 设在时间（分钟）内，通过某路口的汽车数服从参数为的Poisson（泊松）分布，其中为常数已知在1分钟内没有汽车通过的概率为，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率 解： 的分布列为，.2分因此在分钟内，通过的

19、汽车数为 ，由题设，所以.3分因此，.3分七（本题满分8分） 设二维随机变量的联合密度函数为求： 随机变量边缘密度函数（4分）； 方差（4分） 解： 因此，当或者时，.1分 当时， 所以， .3分 .2分所以， .2分八（本题满分8分） 现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益 解： 设：购买一张奖券所得的奖金则的分布律为1000200102所以，.2分 .4分再令表示购买一张奖券的收益，则，因此 （元）.2分九（本题满分8分） 两家电影院竞

20、争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？ 附：标准正态分布的分布函数的某些数值表1.962.062.172.332.380.9750.980.9850.990.995 解： 设甲电影院应设个座位才符合要求 设1000名观众中有名选择甲电影院，则.1分由题意，而 ，.2分所以， .3分查表得 ，所以有 所以，应至少设537个座位，才符合要求.2分十（本题满分8分） 设总体的密度函数为 ，是从总体中抽取的一个简单随机样本令，试求的密度函数 解： 总体的分布函数为

21、.3分因此的密度函数为 .4分 .1分十一（本题满分12分） 设总体的密度函数为 ，其中为参数，是从总体中抽取的一个简单随机样本 当时，求未知参数的矩估计量（6分）； 当时，求未知参数的最大似然估计量（6分） 解： 当时，密度函数为 ，所以， .2分 解方程：，得解：.2分 将替换成，得未知参数的矩估计量为.2分 当时，密度函数为 ，所以，似然函数为 ，.2分所以， 对求导，得 .2分令 ，得方程解得 因此，的最大似然估计量为 .2分十二（本题满分8分） 设总体，是从总体中抽取的一个简单随机样本与分别表示样本均值与样本方差令，求，并指出统计量是否为的无偏估计量 解： ，.2分由 ，得 .2分又 ，所以有.1分 .2分这表明是的无偏估计量.1分专心-专注-专业