微分几何测试题集锦(共16页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上微分几何测试题（一）一填空题：（每小题2分，共20分） 向量具有固定方向，则=_t_。 非零向量满足的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线 设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面是曲线在P点的_密切平面_。 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是_。 曲线在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率=_ -2_。 主法线与固定方向垂直的曲线是_ 一般螺线_ _ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是_常数_。 曲面在点的法线方程是_。二选择填空题：（每小题3分，共30分） 11、若曲线的所有密切平面经

2、过一定点，则此曲线是_C_。A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线 12、曲线在P(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子_A_不正确。A、 B、 C、 D、 13、对于曲面的第一基本形式_D_。A、 B、 C、 D、 三计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线，试求 在点的切线和法平面。 曲率和挠率。22、对于圆柱面，试求 的第一、第二基本形式； 在任意点处沿任意方向的法曲率； 在任意点的高斯曲率和平均曲率； 试证的坐标曲线是曲率线。微分几何测试题（二）一单项选择题（210=20分）1若向量函数的终点在通过原点的一条直线上，则( )A 是定长的； B. 是

3、定向的；C ； D. .2对于向量函数，若，则( )A是定长向量； B.定长向量；C是定向向量； D.是定向向量.3设均为非零向量，且，则（ ）.线性相关；.线性无关；.可以由线性表示； D.可以由线性表示.4挠率曲率的曲线是( )A 半径为4的圆； B.半径为的圆；C半径为2的圆； D.半径为的圆.5空间曲线的形状由( )决定A 由曲率和挠率； B. 仅由曲率；C 仅由挠率； D. 由参数的选取.6曲率是常数的曲线( )A 一定是直线； B. 一定是圆；C 一定是球面上的曲线； .答案A,B,C都不对.7设S 是球面， 则( )A S上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点；C S上的圆

4、的指向球心； D. S上的测地线的指向球心.8若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为( )的球面贴合A ； B. 2； C. ； D. 4.9圆柱螺线 在任一点的切线与轴的夹角( )A 为； B. ； C. 与有关； D. 与有关.10设非直线的曲线C是曲面S: 上的测地线，则有( )A. C在每一点; B. C在每一点;C. C在每一点; D. C在每一点.一 判断题（210=20分）1向量函数满足，则必有一常向量，满足. 2如果曲线 C: 的所有向径共面，则必与某一固定向量垂直. 3曲线的形状只由曲率和挠率决定. ( )4直纹面上的直母线一定是曲率线. （ ）5若曲面S与一个半径为

5、R的球面沿一个半径为的圆C相切，则C是S上的测地线. 6如果两个曲面S与S之间的一个对应关系， 使得它们在对应点有相同的高斯曲率，则S与S 等距等价. 7设曲面S：=, 如果,则线是曲率线. （ ）8设曲面S：=，如果，则曲面上的所有曲线都是曲率线. 9 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短. （ ）10球面上的曲率线是大圆. （ ）二 计算题（104=40分）1求曲线C：=上在处的密切面方程.2已知曲线C：=（是弧长参数）的曲率和挠率分别是和,且是不为零的常数，求曲线：=的曲率和挠率.3求曲面 上的渐近线.4求圆环面 S：= (b+acos)cos , (b+acos)sin , a sin

6、 上的椭圆点，双曲点和抛物点.三 证明题（102=20分）1证明：如果曲线的所有都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.2 设C是半径为的球面上半径为的圆，是曲率.证明： .B一 单项选择题（210=20分）1设， 若 则 ( )A ； B. ； C. ； D. 为任意实数.2设曲线C:满足 则 ( )A. C是单位球面上的曲线； B. 是C的弧长参数；C. 变向量具有固定方向； D. 变向量具有固定长度.3若向量函数对于任意 都有. 则 ( )A. 是定向的向量； B. 是定长的向量；C. ； D. . 4可展曲面上每一点都是 ( )A. 椭圆点； B. 抛物点；C. 圆点； D. 平

7、点.5若曲线C的曲率 则( )A. C是半径为2的圆; B. C是半径为的圆;C. C是半径为的圆; D. C是半径为的圆.6曲面上与线正交的曲线满足 ( )A. ; B. ;C. ; D. .7设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则 ( )A C在每一点，； B. C在每一点,；C C在每一点，； D. C在每一点， .8在曲面S: 上，线的微分方程是( )A ； B. ；C ； D. .9若两个曲面等距等价，则( )A.它们有相同的第一基本形式； B.它们有相同的第二基本形式；C它们有相同的第三基本形式； D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.10若曲面S:上任一点，

8、都有，则( )A参数曲线网是渐近线网； B.参数曲线网是曲率线网；C参数曲线网是测地线网； D.答案A,B,C都不对.二 判断题（210=20分）1.向量函数满足 则必有一常向量，满足.（ )2如果曲线 C: 的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（ ）3. 曲线 C： =与曲线：=在处有相同的曲率. （ ）4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆. （ ） 5. 设S是平面， 则S上每一点，都有=0. ( ) 6. 球面上的圆的指向球心. ( ) 7. 可展曲面上没有双曲点. ( ) 8. 高斯曲率K0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. ( )9. 若曲面S与一个半径为R的球面沿一个

9、半径为的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方向，都有， =. ( )10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （ ）三 计算题（104=40分）1. 求曲线C：= , 的曲率和挠率.2. 设曲线C： =是平面曲线， 求.3. 求圆柱面 =在处的切平面方程，并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.4. 求曲面S：=的高斯曲率.四 证明题（102=20分）1证明：如果一条曲线：=(s) (s是弧长参数)的所有从切面都经过一个固定点，则 的挠率和曲率之比是s的一次函数.2证明：可展曲面上的直母线是曲率线.证明：如果可展曲面上有两族直母线，则是平面.微分几何测试题（三）一填空题：（每小题2分，共2

10、0分） 具有固定方向的充要条件是_。 挠率_的曲线其副法向量是常矢。 曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切面方程是 。 如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向 。 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。 6曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为_。7半径为R的球面的高斯曲率K= .8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。9. 曲面上 坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。10在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。二选择填空题：（每小题3分，共30分） 1、圆柱螺线在点的切线为_。A、 B、 C、 D、 2、曲面的三个基本形

11、式之间的关系为_。A、+2H+K=0 B、-2H+K=0C、-2K+H=0 D、-2H-K=0 3、在直纹面（为单位向量）中，导线是腰曲线的充要条件是_。A、 B、 C、 D、 4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_。A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 5、下列曲面中_不是可展曲面。A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺面 6、曲面上， 不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长C、曲面域的面积 D、在一点沿一方向的法曲率 7、曲面，是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中， 是不正确的。A、N = B、N = C、N = D、

12、N = 9、球面的坐标曲线构不成 。A、正交的渐近网 B、共轭网 C、曲率线网 D、半测地坐标网 10、曲线在P点的基本向量是曲率为k(s) ,挠率为，则= 。A、 B、 C、 D、三计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）1、求螺线上点的曲率和挠率。2、确定螺旋面上的曲率线和在任一点的高斯曲率。四证明题：（每小题8分，共24分）1证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。微分几何测试题（四）一、填空题（每小题2分，共20分）1、变矢满足的充要条件是_。2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为、，则过P点由和确定的平面叫曲线（C）在P点的_。3、若曲线在各点的曲

13、率_，则曲线是直线。4、曲线穿过_和密切平面，但从不穿过_。5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向_。6、两个曲面间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的_。9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg ，G是单连通曲面域，G的边界是一条光滑闭曲线，则。二、选择题（每小题3分，共30分）11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_恒等于零。A、法曲率k n B、挠率 C、测地曲率k g D、曲率k12、在圆柱面上，圆柱螺线是_。A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线13在

14、椭圆抛物面上，高斯曲率K_。A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定14、设、是曲线（C）在一点的三个基本向量，则=_（k,分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。A、k B、 C、 D、15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_。A、F= 0 B、M = 0 C、F = M = 0 D、L = N = 016、曲面上的直线不一定是_。A、渐近线 B、曲率线 C、测地线 D、法截线19、下列直纹曲面中，_是可展曲面。A、锥面 B、单叶双曲面 C、双曲抛物面 D、挠曲线的主法线曲面三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)21、求曲线(t) = t , t 2 , e t 在t

15、= 0点的密切平面和主法线。22、求曲线(t) = a (1sint) , a (1cost) ，b t 的曲率和挠率。23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这条曲线是直线或平面曲线。24、求抛物面z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。微分几何试题（五）一填空题：（每小题2分，共20分） 变矢具有固定方向的充要条件是_。 设曲线（C）的参数表示是，s是弧长，则叫作曲线(C)的_。 如果曲线在各点的曲率_，则曲线是直线。 曲线在P点有挠率=3，则曲线在P点附近的形状是_。 一般螺线的切线和一

16、固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向_。 两个曲面之间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第基本形式。 曲面的第一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。则曲面上曲率线的微分方程是 。 在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的_重合于曲面的法线。 曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的_。 曲面上连接两点P、Q的_是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。二选择填空题：(每小题3分，共30分) 11、若曲面S上曲线(C)恒有法曲率=0，则曲线一定是曲面上的_。 A、渐近曲线 B、平面曲线 C、曲率线 D、测地线 12、在圆柱面上

17、，圆柱螺线是_。 A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线 13、在曲面上的双曲点，_。 A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定 14、设是曲线(C)在一点的三个基本向量，则=_。（分别表示曲线在该点的曲率和挠率）A、 B、 C、 D、 15、正螺面的第二基本形式是_。A、 B、C、 D、 16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。A、M=0 B、F=M=0 C、F=0 D、L=N=0 17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，则这点是曲面的_。A、椭圆点 B、双曲点 C、抛物点 D、脐点 18、曲面在一点的单位法向量是，则在同一点的方向是主方向的充要条件是_。A、 B

18、、存在方向使 C、存在方向使 D、 19、在下列直纹曲面中，_是可展曲面。A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面 C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面 20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是_。A、椭圆点 B、抛物点 C、双曲点 D、A或B或C三解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分）21、求圆柱螺线在点(a,0,0)处的密切平面和主法线。22、求曲线的曲率和挠率。23、证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。24、求抛物面在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲线。26、求证旋转曲面的径线是测地线。（其中）。专心-专注-专业