综合高中数学学业水平测试知识点总结(很详细很齐全)(共43页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上综合高中（文）学业水平测试(必修1-5)知识点【第一章 集合】【复习内容】必修1第一章第一节1.1集合 【知识点】一、集合的含义和表示1.集合和元素的含义元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写英文字母a,b,c表示。集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写的英文字母A,B,C表示。常用的数集：自然数集N，正整数集，整数集，有理数集，实数集.2.元素与集合的关系属于：如果a是集合A的元素，我们就说a属于集合A，记作.不属于：如果a不是集合A的元素，我们就说a不属于集合A，记作.集合中的元素的三大特征：确定性、互异性和无序性。3.集合的表示方法（列举法

2、，描述法，自然语言叙述法）（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来。例如集合注意事项：元素间用分隔号“，”；元素不重复；元素无顺序；对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号。（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内来表示集合的方法。它的一般形式是，其中p叫做代表元素。例如集合.注意事项：对于竖号“|”左边“p”应引起足够的重视，看下面几个例子：例1.集合中的元素是方程的解集，A即是方程的解集。例2.集合中的元素可以看做是不等式 所表示的平面区域，即直线的右下方的坐标平面所有的点构成的集合。不能出现未被说明

3、的字母；多层描述时，应该准备使用“且”、“或”； 所有描述的内容都要写在集合符号内；（3）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法。例如集合2,4,6,8用自然语言叙述为：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。4.集合的分类: 有限集和无限集.二、集合间的基本关系1.子集：若对于任意的，都有，则称A是B的子集，记作2.真子集：若，且至少有，则称A是B的真子集，记作.3.集合相等：对于两个集合A、B，如果，同时，那么集合A和集合B叫做相等集合，记作A=B。4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，通常记为。特别注意：0，的关系。规定：是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。三、集合的基本运算1

4、.交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集，记为。性质：2.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的并集，记为。性质：3.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作。全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此全集因研究问题而异。4.补集：一般地，设是一个全集，A是的一个子集，由中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集中的补集（或余集）。记为。性质：四、集合的运算律1.交换律2.结合律3.分配律【第二章 函数】【复习内容】必修1

5、第一章 函数概念；1.1集合与函数概念12 函数及其表示 13 函数的基本性质 必修1 第二章 基本初等函数；21 指数函数 22 对数函数 23 幂函数 必修1 第三章 函数模型及应用31 函数与方程 32 函数模型及其应用 【知识点】【第三章 三角函数】【复习内容】必修4第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式 1.4三角函数的图象与性质1.5正弦型函数1.6三角函数模型的简单应用 必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换 必修5第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例【知识点

6、】【第四章 平面向量】【复习内容】必修4第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例【知识点】（分四个教学单元节完成复习）第一节 平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。表示方法：（几何表示）用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（符号表示）用字母或用表示。（坐标表示法）向量的模：向量的长度叫做向量的模，即向量的大小。记作.2.几种特殊向量零向量单位向量为单位向量相等的向量：大小相等

7、，方向相同。相反向量：大小相等，方向相反。平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作.规定：零向量和任何一个向量都共线。3.向量的线性运算线性运算几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则（同一起点，同起点）2.三角形法则（首尾相连，首尾连）向量的减法三角形法则（同一起点，尾尾连）,数乘向量1.是一个向量,满足:2.0时, 同向;0时, 异向;=0时, .4.共线向量定理向量空间任意两个向量、（），/存在实数，使.第二节 平面向量基本定理及向量的坐标运算1.平面向量基本定理是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1，2，使.

8、其中不共线向量称为表示这一平面内所有向量的一组基底。2.向量的夹角已知两个非零向量与，作，则AOB=叫做向量与的夹角。当时，两向量共线；当时，两向量垂直。3.向量的正交分解与坐标表示（向量的单位正交分解）在直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量与作为基底，由平面向量基本定理可知，平面内的任何一个向量都可以唯一地表示成，把实数对叫做向量的坐标。记作。4.向量的坐标运算（1）若，则；（2）若点，点,则（3）第三节 平面向量的数量积1.向量的投影设为与的夹角，则叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影.2.数量积的定义是一个数，（为与的夹角）规定：时，.3.数量积的运算律 4.

9、数量积的坐标运算设向量，坐标运算：，坐标运算： ，坐标运算：（对比记忆 ）第四节 平面向量应用举例【第五章 数列】【复习内容】必修5 第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和【知识点】（分五个教学单元节完成复习）第一节 数列的概念与表示1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。2.通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个

10、公式就叫这个数列的通项公式。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，3.数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立的点4.数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列

11、（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列5.递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6.通项公式与前n项和公式的关系与的关系： （检验是否满足）第二节 等差数列1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2等差数列通项公式：， 首项:，公差:d，末项:推广： 从而；3等差中项 （1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或. （2）数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的

12、中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数)是等差数列 （2） 等差中项：数列是等差数列 （3） 数列是等差数列（其中是常数）。（4） 数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若或(常数) 是等差数列7.等差数列的性质：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。当时,则有，特别地，当时，则有.若、为等差数列，则都为等差数列 若是等差数列，则 ，也成等差数列 数列为等差数列,每隔k(

13、k)项取出一项()仍为等差数列。设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和.（1）当项数为偶数时，（2）当项数为奇数时，（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性。法二：（1）“首项正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值（2） “首项负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称

14、轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若则其对称轴为第三节 等比数列1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式：，首项：；公比：推广：， 从而得3. 等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4. 等比数列的前n项和公式：(1) 当时， (2) 当时，5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列（3） 通项公式：为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7. 等比数列的性质(1) 当时，等比数列通项公式是

15、关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：(4) 数列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, , 成等比数列(9) 当时， 当时， 当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数

16、列）; 当q 有且只有一个平面，使A、B、C。CBAPL公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面和相交，交线是a，记作a。符号语言：公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。2.空间中直线与直线之间的位置关系两条直线的位置关系有三种空间两条直线平行的判定公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为：设a、b、c是三条直线，等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。异面直线判定：过平面外一点与平面

17、内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，90。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂

18、直。记作：3.空间直线与平面之间的位置关系空间直线与平面之间的位置关系有三种：4.平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：第四节 直线、平面平行的判定及性质1.直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为： 线线平行线面平行 符号表示：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。简记为：线面平行线线平行符号表示：2.平面与平面平行的判定及其性质（1）面面平行的判定面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

19、简记为：（线面平行面面平行），符号表示：如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），垂直于同一条直线的两个平面平行。（线面垂直面面平行）（2）面面平行的性质面面平行的性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（简记为：面面平行线线平行）符号表示：如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）第五节 直线、平面垂直的判定及性质1.线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和

20、这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。2.垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。（线面垂直线线平行）面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 （面面垂直，线线垂直线

21、面垂直）相关概念直线和平面所成的角：平面上的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。垂线和平面所成的角是直角；平行或在面内的直线所成的角是的角。直线和平面所成的角的范围二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线构成的角叫做二面角的平面角。第六节 空间直角坐标系【知识点】1.空间直角坐标系及其有关概念右手直角坐标系：右手拇指指向轴正方向，食指指向轴正方向，中指指向轴正方向。空间点的坐标的确定（横坐标，纵坐标，竖坐标）2.空间两点间的距离公式设则【第八章 平面解析几何】【复习内容】必修2第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程

22、3.3 直线的交点坐标与距离公式 必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程 4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系 【知识点】（分四个教学单元节完成复习）第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角,斜率不存在.（2）直线的斜率：（、）.2直线方程的五种形式：（1）点斜式： (直线过点，且斜率为)注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为（2）斜截式： (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式： (，).注：

23、不能表示与轴和轴垂直的直线； 方程形式为：时，方程可以表示任意直线（4）截距式： （分别为轴轴上的截距，且）注：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线（5）一般式： (其中A、B不同时为0)一般式化为斜截式：，即，直线的斜率：注：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或已知直线过点，常设其方程为或（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合3直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点（2）直线两截距

24、互为相反数直线的斜率为1或直线过原点（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点4两条直线的平行和垂直：（1）斜截式下，若，有 ； ；（2）一般式下，若，有 第二节 直线的交点坐标与距离公式5平面两点距离公式：设、则轴上两点A,B间距离：线段的中点是，则 6点到直线的距离公式：点到直线的距离：7两平行直线间的距离：两条平行直线距离：8直线系方程：（1）平行直线系方程： 直线中当斜率一定而变动时，表示平行直线系方程 与直线平行的直线，可表示为 过点与直线平行的直线，可表示为（2）垂直直线系方程： 与直线垂直的直线，可表示为 过点与直线垂直的直线，可表示为（3）定点直线系方程： 经过定点的直

25、线系方程为(除直线),其中是待定的系数 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数（4）共点直线系方程：经过两直线交点的直线系方程，为 (除)，其中是待定的系数9曲线与的交点坐标方程组的解第三节 圆的方程10圆的方程：（1）圆的标准方程：（）（2）圆的一般方程：（3）圆的直径式方程：若，以线段为直径的圆的方程是：注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是，（2）一般方程的特点： 和的系数相同且不为零； 没有项； （3）二元二次方程表示圆的等价条件是： ； ； （4）掌握用待定系数法求圆的方程。11圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，则：“半弦长+弦心

26、距=半径”即：；（2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则（弦长公式）（其中的求法是：将直线和圆的方程联立消去或，再利用根与系数的关系求解）第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系12点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：（到圆心距离）在在圆外；在在圆内； 在在圆上 13直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种: (圆心到直线的距离)（由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次方程的判别式为）；14两圆位置关系:设两圆圆心分别为，半径分别为，；15圆系方程：（1）过点,的圆系方程：,其中是直线的方程（2）过直线与圆:的交点的圆系方程：,是待定的系数（3）过圆:与圆:的交点的圆系方程：,

27、是待定的系数特别地，当时，就是，表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线16圆的切线方程：（1）过圆上的点的切线方程为:（2）过圆上的点的切线方程为: （3）过圆上的点的切线方程为:(4) 若P(,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为(5) 若P(,)是圆外一点, 由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为（6）当点在圆外时，可设切方程为，利用圆心到直线距离等于半径，即，求出；或利用，求出若求得只有一值，则还有一条斜率不存在的直线17把两圆与方程相减即得相交弦所在直线方程: 【第九章 算法】【复习内容】必修3第一章 算法初步

28、 1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句 1.3 算法案例 【知识点】（分三个单元节完成复习）第一节 算法与程序框图1.算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步

29、才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.2.程序框图（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息

30、，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。3.算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。（1） 顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而

31、下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执AB行B框所指定的操作。（2）条件结构：条件结构是指在算法中，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。（3）循环结构：循环结构是指在一些算法中，从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，反复执行的处理步骤为循环体。显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：当型循环结构如下左

32、图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。直到型循环结构如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。A成立不成立P不成立P成立A当型循环结构 直到型循环结构注意：循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。第二节 基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。1.输入语句图形计算器格式INPU