数学史概论(共27页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学史概论不了解数学史就不可能全面了解数学科学一、数学史的意义数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。英国科学史家丹皮尔说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。数学是历史员悠久的人类认识领域之一。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。当然，仅仅具有魅力并不能成为开设一门课程的充分理由。数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。

2、 与其他知识学科相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的。它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广；溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例，。 可以说，在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。如果我们对比天文学的“地心说” 、物理学的“以太说” 、化学的“燃素说” 的命运，就可以看清数学发展不 同于其他学科的这种特点。因此有的数学史家认为“在

3、大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。” 这种说法虽然有些绝对，但却形象地说明了数学这幢大厦的累积特性。当我们为这幢大厦添砖加瓦时，有必要了解它的历史。 按美国数学评论杂志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。面对着如此庞大的知识系统，职业数学家越来越被限制于一、二个专门领域。庞加莱(1854一1912)曾经被称为“最后一位数学通才”。对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说，数学史是必读的篇章。数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位，是由数学作为一种文化的特点决定的

4、。它具有：1、数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。2、与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙世界和人类社会的探索中追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。3、 最后，数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。英国数学家和哲学家罗素(18721970)说过：数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美 一种冷峻严肃的美。二、数学的定义数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下个一劳永逸的定义是不可能的。我们在这里就从历史的角度来谈谈“什么是数学”。 1、公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为“数学是量的科学”。 2、16世纪英国哲学

5、家培根(15611626)将数学分为“纯粹数学” 与“混合数学”。这里“混合数学”相当于应用数学，而培根所谓的“纯粹数学”则定义为：“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学”。3、在17世纪，笛卡儿(15961650) 认为：“凡是以研究顺序(order)和度量(measure)为目的的科学都与数学有关”。4、19世纪恩格斯这样来论述数学：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关”。根据恩格斯的论述，数学可以定义为：“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。” 5、19世纪晚期，集合论的创始人康托尔(18451918)曾经提出： “数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维，就

6、是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”。6、20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。这里的“量”，被赋予了丰富的现代涵义：它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切可能的空间形式与数量关系(如几何学中的高维空间、无穷维空间；代数学中的群、域；分析中的泛函、算子；等等)。7、从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者，将数学简单地定义为关

7、于“模式” 的科学：“【数学】这个领域己被称作模式的科学，其目的最要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性” 。这一定义实际上是用“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式，。这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。三、数学史的划分一般可以按照如下线索： (1)按时代顺序； (2)按数学对象、方法等本身的质变过程； (3)按数学发展的社会背景。 一般数学通史著作往往采取以某一线索为主，同时兼顾其他因素的做法。分期问题的深入讨论属于数学史专门研究的范围，而且存在

8、许多争议。我们一般以数学思想为主，综合参考了各方面的论述，作出如下的分期：1、数学的起源与早期发展(公元前6世纪前) 2、初等数学时期(公元前6世纪一16世纪) (1)古代希腊数学(公元前6世纪6世纪) (2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪) (3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪) 3、近代数学时期(变量数学，17世纪18世纪) 4、现代数学时期(1820年一现在) (1)现代数学酝酿时期(1820一1870) (2)现代数学形成时期(18701940) (3)现代数学繁荣时期(当代数学时期,1950现在)我们重点讲解： 1、古希腊数学史；2、中国古代数学发展史；3、微积分的创立和兴起

9、；4、20世纪纯粹数学的趋势；5、20世纪应用数学的趋势。 有时间我们还讲讲 6、中国现代数学的开拓。古希腊数学史（论证数学的发端）希腊数学一股指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非州北部的数学家们创造的数学。 大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。一、论证数学的发端现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯(约公元前625一前547)。泰勒斯出生于小亚细亚(今土耳其)西部爱奥尼亚地方的米利都城

10、，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。 关于泰勒斯并没有确凿的传记资科留传下来。但是以下命题记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。普洛克鲁斯在评注其他地方再次根据欧多谟斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理： 1。圆的直径将圆分为两个相等的部分； 2。等腰三角形两底角相等； 3。两相交直线形成的对顶角相等； 4。如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(约公元前580一前500)。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷

11、离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面的著作。今人对毕拉哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普洛克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注。今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数学的研究，相传“哲学”(意为“智力爱好”)和“数学”(意为“可学到的知识”)这两个词正是毕达哥拉斯本人所创。毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，在希腊民主力量向涨时期受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉期本人也逃离克洛托内，不久被杀。希腊波斯战争(公元前492一前449)以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立，主要有：1、伊利亚学派； 2、诡辩学派

12、；3、雅典学院(柏拉图学派)；4、亚里士多德学派；上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下三个方面。1、三大几何问题 古希腊三大著名几何问题是： (1)化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 (2)倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。(3)三等分角，即分任意角为三等分。希腊人对三大作因问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。希腊人虽然没有能解决三大作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。 2、无限性概念的早期

13、探索 希腊人在理性数学活动的早期，已经接触到了无限性、连续性等深刻的概念，对这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数学的特征之一。3、逻辑演绎结构的倡导 雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。 柏拉图出身贵族名门，以万贯家财开设雅典学院。学院虽以哲学研究为主，但柏拉图认为数学是一切学问的基础。柏拉图本人虽末得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。普洛克鲁斯将分析法与归谬法归功于柏拉图。柏拉图给出了许多几何定义，并坚持数学知识作演绎整理。二、黄金时代亚历山大学派从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化

14、国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。这一时期希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城。公元前300年左右，亚历山大兴建艺术宫(博物馆)和图书馆，提倡学术，罗致人才，使亚历山大成为希腊文化的首府，那里学者云集，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。1、欧几里得与几何原本 “原本” 原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。 第1卷作为全书之首，给出了一些最基

15、本的定义，如“点是没有部分的”；“线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度的”；等等。接下来我们一起来看看他的公理和公设。公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不断延长；（3）以任意中心和直径可以画圆；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等； （3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是全等的；（5）整体大于部分。欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。欧几里得原本可以说是数学史上的第

16、一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。2、阿基米德的数学成就阿基米德(公元前287一前212)出生于西西里岛的叙拉古，早年曾在亚历山大城跟过欧几里得的门生学习，后来虽然离开了亚历山大，但仍与那里的师友保持着密切联系。他的许多成果都是通过与亚历山大学者的信而保存下来。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。阿基米德著述极为丰富，内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有： (1)圆的

17、度量；(2)抛物线求积； (3)论螺线； (4)论球和圆柱；(5)论劈锥曲面和旋转椭球；(6)引理集；(7)处理力学问题的方法；(8)论平面图形的平衡或其重心； (9)论浮体；(10)砂粒计数； (11)牛群问题。阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。（1）在圆的度量中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。他从圆内接正三角形出发，边数逐次加倍，计算到正96边形而得到圆周率的近似于22/7； （2）在论球和圆柱中，阿基米德运用穷竭法证明了与球的面积和体积有关的公式；（3）发现了浮力定律并用它来解决了皇冠难题；（4）与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数学家。“给我一个支

18、点，我就可以移动地球!”这就是著名的杠杆原理的生动体现。3、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学。但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。圆锥曲线论就是这方面的系统总结。这部以欧几里得严谨风格写成的巨著对圆锥曲线研究所达到的高度，直至17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。 阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶(直圆或斜圆)锥得到所有的圆锥曲线，并给以正式的命名，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成就。 阿波罗尼奥斯用纯几何的手段得到了今日解析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。但另一方面，

19、这种纯几何的形式，不仅使这部著作本身晦涩难懂，同时也使其后数千年间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到17世纪，笛卡儿等人起来打破希腊式的演绎传统后才得以来临。三、亚历山大后期和希腊数学的衰落崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪完全征服希腊各国而夺得了地中海地区的霸权，并建立了强大的罗马帝国。唯理的希腊文明从此被务实的罗马文明所取代。 罗马统治下的亚历山大城，由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对那里的自由研究的宽松态度，在相当长段时间内仍然维持着学术中心的地位，并产生了一批杰出的数学家和数学著作通常把从公元前30年到公元6世纪的这段时期，称为希腊数学的“亚历山大后期”。第三讲

20、微积分的发展史微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。 微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追潮到古代。我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古代希措、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。前面已经介绍过阿基米德、刘微和祖冲之父子等人的方法，他们的工作，确实是人们建立一般积分学的漫长努力的先驱。与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线

21、的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。 古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德论螺线中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯圆锥曲线论中讨论过圆锥曲线的切线，等等。但所有这些都是基于静态的观点。古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬按时历中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题，但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”，即有限差分计算)来处理，从而回避了连续变化率。 总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见

22、的。一、微积分的酝酿 近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪。为了理解这一酝酿的背景，我们首先来赂微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。 首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是： 1.行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；2.由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；3.行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道

23、的半长轴的立方成正比。开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。1638年，伽利略的关于两门新科学的对话出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。 凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点。当时，人们主

24、要集中的焦点有：非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。 与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内，取得了迅速的进展。 代表性的工作有： 1、开普勒与旋转体

25、体积；开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是天数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。2、卡瓦列里不可分量原理 他在用新方法促进的连续不可分量的几何学中发展了系统的不可分量方法。认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。 卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在于在1639利用平

26、固下的不可分量原理建立了等价于下列积分式子：3、笛卡儿的“圆法” 笛卡儿的这种代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“朗德法则”。朗德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算。4、费马求极大值和极小值方法 按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使f(a+e)与f(a)逼近,即： f(a+e)f(a) 这里所提到的“e”就是后

27、来微积分学当中的“ x ”5、巴罗的“微分三角形” 巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批 会员。当巴罗发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去了卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤，已成为科学史上的佳话二、牛顿的“流数术” 牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利赂、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。 1665年8月，剑桥大学因

28、瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。1、流数术的初建 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿几何学，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。 就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。 1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”(微分法)，次年5月又建立了”反流数术”(积分法)。1666年 10月，牛顿将前两年的

29、研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论著称，流数简论是历史上第一篇系统的微积分文献。2、流数术的发展 流数简论标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的员献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，它们分别是：(1)1669年的运用无限多项方程的分析 ；(2) 1671年的流数法与无穷级数；(3) 1691年的曲线求积术。牛顿微积分学说

30、最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著自然哲学的数学原理之中。因此原理也成为数学史上的划时代著作。 原理在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬，这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。2、流数术的发展原理被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定

31、律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力。 原理中的微积分命题虽然都采用了几何形式来叙述、证明，但正如牛顿本人后来解释的那样：发现原理中的绝大多救命题是依靠使用了“新分析法”，然后再“综合地证明”。事 实上，1664年参加巴罗主考的三一学院津贴生考试时，因欧氏几何成绩不佳差一点未能通过。三、莱布尼茨的微积分在微积分的创立上，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。 莱布尼茨(16461716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思。1667年获阿尔持多夫大学

32、法学博士学位，次年开始为缅因茨选帝侯服务，不久被派往巴黎任大使。莱布尼茨在巴黎居留了四年16721676)，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础。1、特征三角形 莱布尼茨在巴黎与荷兰效学家、物理学家惠更斯的结识、交往，激发了他对数学的兴趣他通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题 与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究特征三角形，也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现帕斯卡在特殊情形下也

33、使用过这种三角形莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形帕斯卡的“例子”是下述的命题： “圆的一个象限的任何孤的正弦之和，等于界于两端的两个正弦之间的底线段乘以半径”这里“正弦”是指纵坐标，而在所说的相中，每个纵坐标都要乘以相应的圆的无限小弧而不是乘以底的无限小段。从而得到一下结果：即有：2、分析微积分的建立 早在1666年，莱布尼茨在组合艺术一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论。1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文一种求极大与极小值和求切线的新方法，刊登在教师学报上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛

34、采用了微分记号dx，dy。莱布尼茨假设横坐标x的微分dx是任意的量，纵坐标y的微分dy就定义为它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。 新方法中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式：20世纪纯粹数学的发展趋势更高的抽象性；更强的统一性；更深入的基础探讨。科学知识的增长是非线性的过程。在19世纪变革与积累的基础上，20世纪数学呈现出指数式的飞速发展。现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系，并且仍在继续急剧地变化发展之中。大体说来，数学核心领域(即核心数学，也称纯粹数学)的扩张，数学的空前广泛的应用，以及计

35、算机与数学的相互影响，形成了现代数学研究活动的三大方面。下面我们将按这三大方面来概括介绍20世纪数学的发展。本章叙说纯粹数学的主要趋势。纯粹数学是19世纪的遗产，在20世纪得到了巨大的发展。20世纪纯粹数学的前沿不断挺进，产生出令人惊异的成就。与19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势：1.更高的抽象性；2.更强的统一性； 3.更深入的基础探讨。 这一部分对20世纪纯粹数学的论述，将以这三项特征为线索。一、新世纪的序幕1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为数学问题的著名讲演。 希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发

36、表了许多精辟的见解，而整个演说的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。我们来看看他的23个问题：1.连续统假设。自然数(可数)集基数与实数集(连续统)基数之间不存在中间基数。1963年，美国数学家科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛弗兰克尔公理系统内判别。 2.算术公理的相容性。1931年，哥德尔证明了希尔伯特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能实现。相容性问题至今未决。 3.两等底等高四面体体积之相等。1900年德恩证明了确实存在。第三问题成为最先获解的希尔

37、伯特问题。4.直线为两点问的展短距离。问题提得过于一般。 5.不要定义群的函数的可微性假设的李群概念。格利森、蒙哥马利、席平等于1952年对此问题给出了肯定解答。 6.物理公理的数学处理。在量子力学、热力学等部门，公理化巳取得很大成功。至于概率论公理化已由科尔莫戈罗夫等建立(1933)。 7.某些数的无理性与超越性。1934年，盖尔丰德和施奈德各自独立地解决了问题的后半部分。 8.素数问题。包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，均未解决。9.任意数域中最一般的互反律之征明。已由高木贞治(t921)和阿廷(1927)解决。 10.丢番图方程可解性判别。t970年，马蒂雅舍维奇证明了，不存在判

38、定任一给定丢番图方程有无整数解的一般算法。 11.系数为任意代数数的二次型。哈塞(1929)和西格尔(1936，1951)在此问题上获得重要结果。 12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。尚未解决。 13.不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程。连续函数情形1957年已由阿诺解决。14.证明某类完全函数系的有限性。1958年被水田雅宜否定解决。 15.舒伯特计数演算的严格基础。代数几何的严格基础已由范德瓦尔登(1938-1940)和魏依(1950)建立，但舒伯特演算的合理性尚待解决。 16.代数曲线与曲面的拓扑。有很多重要结果。 17.正定形式的平方表示。已由阿廷于1926

39、年解决。 18.由全等多面体构造空间。部分解决。 19.正则变分问题的解是否一定解析。1904年伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆型方程其解必定解析。该结果后又被推广到多变元椭圆组。20.一般边值问题。成果丰富。 21.具有给定单值群的微分方程的存在性。长期以来人们一直认为普菜相依1908年已对此问题作出肯定解答。但八十年后发现晋莱相依的证明有漏洞。1989年前苏联数学家A.A.鲍里布鲁克关于此问题举出了反例，使第二十一问题最终被否定解决。 22.解析关系的单值化。一个变数情形已由寇贝解决。 23.变分问题的进一步发展。我们看到，希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决。有些问题虽末最后解决

40、，但也取得了重要进展。希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率沦、数论、函数沦、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学分支的发展，有些问题的研究(如第二问题和第十问题)还促进了现代计算机理论的成长。重要的向题历来是推动科学前进的杠杆，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响了一门科学的发展，这在科学史上是不多见的。当然任何科学家都会受到当时科学发展的水平及其个人的科学素养、研究兴趣和思想方法等限制。希尔伯特问题未能包括拓扑学、微分几何等在20世纪成为前沿学科的领域中的数学问题，除数学物理外很少涉及应用数学，

41、等等。20世纪数学的发展，远远超出了希尔伯特问题所预示的范围。20世纪纯粹数学发展的主要趋势更高的抽象性；更强的统一性；更深入的基础探讨。二、更高的抽象更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一。这种趋势，最初主要是受到了两大因素的推动，即集合论观点的渗透和公理他方法的运用。 (1)集合论观点。19世纪末由G.康托尔所创立的集合论，最初遭到许多数学家(包括克罗内克、克莱因和庞加莱等)的反对，但到20世纪初，这一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了。并且集合论能够作为一种普遍的语言而进入数学的不同领域，同时引起了数学中基本概念的深刻变革。(2)公理化方法。H.weyl

42、曾说过：“20世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，公理比方法不仅仅用来阐明我们所建立的理论的基础，而现在它却成为具体数学研究的工具。” 现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特，我们已经知道，虽然欧几里得己用公理化方法总结了古代的几何知识，但他的公理系统是不完备的。希尔伯持在1899年发表的几何基础中则提出第一个完备的公理系统。与以往相比，希尔伯特公理化方法具有两个本质的飞跃。首先是希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象。赋予了公理系统的最大的一般性，当赋予这些抽象对象以具体内容时，就形成了特殊的理论。 其次，希尔伯持考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑

43、要求，即：相容性，独立性，完备性。这不仅使几何学具备了严密的逻辑基础，而且逐步渗透到数学的其他领域，成为组织、综合数学知识并推动具体数学研究的强有力的工具。公理化方法极大促进了积分理论、实变函数论、泛函分析、抽象代数、拓扑学、概率论的发展！三、数学的统一化20世纪以来，数学的发展也像其他科学一样，一方面不可避免地越来越分化成许多分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不同学科相互渗透、结合的趋势。20世纪下半叶，数学科学的这种统一化趋势空前加强。不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。至少从使用的数学方法而论，数学中不同分支的界限正在变

44、得模糊。(1)微分流形：以微分流形为基本对象的拓扑学叫微分拓扑学。微分拓扑学的创始人是美国数学家惠特尼(19071989)，他1936年发表微分流形一文，给出了微分流形的一般定义。托姆在1972形成了一门新的分支突变理论。突变理论提供了研究自然界中不连续变化现象的数学工具。(2) 微分几何以微分为主要研究工具，因此古典微分几何多是局部性，即小范围的。 整体微 分几何以研究微分几何(小范围)性质与大范围性质之间的联系为目标。由于纤维丛的概念反映了流形的固有的拓扑性质。它提供了从局部研究向整体研究过渡的合适机制。因此整体微分几何的研究与微分拓扑学便有不解之缘，纤维丛与示性类的引入，使整体微分几何的

45、研究出现了突破，陈省身在这方面有奠基性的贡献。 此外，还在代数几何、多复变函数论、动力系统、偏微分方程与泛函分析、随机分析等等领域，数学的统一性趋势将保持下去。四、对基础的深入探讨 数学的严格基础，自古希腊以来就是数学家们追求的目标。这样的追求，在20世纪以前曾经历过两次巨大的考验，即古希腊不可公度量的发现和17、18世纪关于微积分基础的争论，而19世纪末分析严格化的最高成就集合论，似乎给数学家们带来了一劳永浊摆脱基础危机的希望。英国数学家罗索却以个简单明了的集合论“悖论”，打破了人们的上述希望，引起了 关于数学基础的新的争论。1、集台论悖论罗素的悖论是：以M表示是其自身成员的集合(如一切概念

46、的集合仍是一个概念)的集合，N表示不是其自身成员的集合(如所有人的集合不是一个人)的集合。然后问：集合N是否为它自身的成员?如果N是它自身的成员，则N属于M而不同于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况，都将导出矛盾的结论。1919年罗素又给上述悖论以通俗的形式。即所谓“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条原则，他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸。试问：理发师是否自己给自己刮脸?如果他给自己刮脸，他就不符合他提出的原则，因此他不应该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么根据他的原则，

47、他就应该给自己刮脸。 为了消除悖论，数学家们首先求助于将康托尔以相当随意的方式叙述的“朴素集合论”加以公理化。第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的，后又经弗兰克尔改进，形成了今天常用的策梅洛弗兰克尔公理系统。2、数学基础三大学派解决集合论悖论的进一步尝试，是从逻辑上去寻找问题的症结。集合论公理化运动是假定了数学运用的逻辑本身不成问题，但数学家们对于这一前提陆续提出了不同的观点，并形成了关于数学基础的三大学派，即：以罗素为代表的逻辑主义；以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。(1)逻辑主义 逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的数学的原理中已有大概的轮廓，罗素后来与

48、怀特黑德(18611947)合著的三大卷数学原理(1910一1913)，是逻辑主义的权威性论述。按照罗素的观点，“数学就是逻辑”，全部数学 可以由逻辑推导出来数学概念可以借逻辑概念来定义，数学定理可以由逻辑公理按逻辑规则推出。 在集合论悖论问题上，他们认为类相对于其自身成员是高一级类型的对象。这样，集合本身就不能是它自己的成员。(2)直觉主义 直觉主义对数学基础采取了完全不同的观点。直觉主义的先驱是克罗内克和庞加莱，但作为一个学派则是荷兰数学家布劳威尔开创的。布劳威尔1907年在他的博士论文论数学基础中搭建了直觉主义数学的框架，1912年以后又大大发展了这方面的理论。 直觉主义的基本思想是：数学独立于逻辑，数学的基础是一种能使人认识“知觉单位”1以及自然数列的原始直觉。坚持数学对象的“构造性”定义，是直觉主义哲学的精粹。按照这种观点