苏科版九年级上册数学《圆》章节知识点(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2.1圆【知识点总结】一、 圆的定义在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O位圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”0圆可以看成是定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形。例1：下列说法：经过点P的圆又无数个；以点P为圆心的圆有无数个；半径为2cm且经过点P的圆有无数个；以点P为圆心，2cm长为半径的圆又无数个，其中错误的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、 点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆内dr点P在圆上d=r点P在圆外dr例2：在数轴上，点A

2、所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，A的半径为2，则下列说法中，不正确的是（ ）A. 当a5时，点B在A内 B.当1a5时，点B在A内C.当a1时，点B在A外 D.当a5时，点B在A外三、 圆中的相关概念（1） 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.（2） 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（3） 顶点在圆心的角叫做圆心角（4） 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.（5） 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧例3

3、：下列说法中不正确的是： 直径是圆中最长的弦，弦是直径；优弧大于劣弧，半圆是弧；长度相等的两条弧是等弧；圆心不同的圆不可能是等圆.【典例展示】题型一 性质的简单应用例1：如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）Aabc Ba=b=c Ccab Dbca题型二 简单的证明题例2：如图，在ABCD中，BAD为钝角，且AEBC，AFCD（1） 试说明A、E、C、F四点共圆（2） 设线段BD与（1）中的圆相交于点M、N，说明BM=ND题型三 分类讨论题例3：某点到圆周上的最长距离为8cm，最短距离为6cm。求

4、圆的半径题型四 探索性试题例4：如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm（1） 若以点A位圆心，4cm为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何?（2） 若以点A位圆心作A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么？题型五 计算题例5：如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB=2DE，E=18，求AOC的度数.题型六 生活中的应用例6：某部队在灯塔的周围进行爆破作业，灯塔A周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？题型七 运动变化

5、题例7：如图，AB是O的直径，它把O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CDAB，OCD的平分线交O于点P，当C点在上半圆（不包括A、B两点）上运动时，试探求点P的位置.【误区警示】误点1 审题不清，画错图形例1：设AB=2cm，画图说明：点A、B的距离都小于1.5cm的点的集合误点2 忽视分类讨论，产生漏洞例2：如图，已知半径为5的O，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.2圆的对称性【知识点总结】一、 圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心圆是由旋转不变性，即圆围绕圆心旋转任何角度后，仍然与原来的圆重合圆是轴对称

6、图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴例1：如图是由一个圆和一个平行四边形组成的图形，要求画出一条直线，把圆与平行四边形的面积平分，应如何分割？请保留作图痕迹.二、圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等.可简称为“等对等定理”或“三个概念的相等关系”例2：如图，AB、DE是O的直径，C是O上的一点，=弧CE，请探求并至少写出图中三对具有相等关系的量（除对顶角和半圆相等外）二、 圆心角的度数与它所对的弧的度数关系1的圆心角所对的弧叫做1的弧.一般地，n的圆心角对着的n的弧，n的弧对着n的圆心角.圆心角的度数与它所

7、对的弧的度数相等.例3：如图，在O中，半径OCAB，OAB=50，求弧BC的度数.四、 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平方弦所对的弧.推广：一条直线：过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧，只要具备其中两个条件，就能推出其他三个.例4：如图，O的弦AB垂直平分半径OC，若,则O的半径为 【典例展示】题型一 概念辨析题例1：下列说法：圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴；垂直于弦的直线平分这条弦；平分弦的直径垂直于这条弦；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的两条弧也相等，其中，不正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个题型二 简单

8、计算题例2：如图，DE是O的直径，弦ABCD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC= ，CD= 题型三 几何说理题例3：如图，AOB=90，C、D为的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，那么AE、CD、BF之间有什么数量关系？请说明你的理由.例4：如图，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明.题型四 作图题例5：某居民小区一处圆柱形输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，

9、水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径题型五 运动变化题例6：如图，O的半径为5cm，C是O内的一点，过点C的最短弦AB为8cm，（1） 若P是弦AB上一动点，且点P与圆心O的距离为整数，这样的点P有几个？（2） 如果最短弦AB的两端点在圆上滑动（AB弦长不变），那么弦AB的中点形成怎样的图形？题型六 实际应用题例7：某地有一圆弧拱桥，桥下水面的宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m.现有一艘宽3m，船舱船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？【误区警示】误点1 平行弦间的位置不清而导致错误例1：已知O的半径为13cm，弦ABCD，AB=24cm，CD

10、=10cm，则AB、CD之间的距离为（ ）A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm或7cm误点2 不能正确理解圆心角、弧与弦之间的关系例2：如图，在O中，AB=2CD，那么（ ）A. 2 B. 2 C.= 2 D.与2 大小关系不确定 2.3圆周角【知识点总结】一、 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都相交的角的叫做圆周角例1：下列图形中，表示圆周角的是 （填写序号） 二、 圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半例2：如图，OB是O的半径，点C、D在O上，DCB=27，则OBD= .三、圆周角与直径的关系（1）直径或半圆所对的圆周角是直角（2）90的圆周角

11、所对的弦是直径例3：如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD=58，则BCD的度数为（ ） A.116 B.32 C.58 D.64【典例展示】题型一 网格题例1：如图所示，O的半径为，圆心与坐标原点重合，在平面直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点.（1） 写出O上所有格点的坐标： （2） 设为经过O上任意两个格点的直线.满足条件的直线l共有多少条？求直线l同时经过第一、二、四象限的概率题型二 计算题例2：（1）如图，D为AC上一点，O为边AB上一点，AD=DO，以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于点F、G，连接EF.若BAC=32，则EFG= （2）如图，ABC内接于O，

12、若B=30，AC=，则O半径为 .CAB 题型三 探究题例3：如图，点A、B、D、E在圆上，弦AE的延长线于弦BD的延长线交于点C.给出下列三个条件：（1）AB是圆的直径；（2）D是BC的中点；（3）AB=AC请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明 例4：如图，A、B、C三点都在O上，BE是O的直径，AD是ABC的高.（1）现在不添加任何线或角的情况下，图中除直角外，还有相等的角吗？如果有，请写出来并加以说明；没有请说明理由（2）如果O的半径R=4cm，AD=6cm，求ABAC的值 题型四 操作探索题例5：如图APC的顶点在圆外，两边与圆相交，

13、称它为圆外角.（1） 请你按以下步骤操作：在图内，连接OA、OD； 用量角器测出下列各角的度数.APC= ，AOC= ,DOE= .(精确到1) （2） 根据上面的数据猜想：APC与AOC、DOE之间有什么数量关系？（3） 证明你的猜想；（4） 如图、，若点O不在PC上，则（2）的结论成立吗？请说明理由.（5） 用语言描述你的发现.题型五 学科内综合题例6：如图，在锐角ABC中，AC是最短边，以AC中点C为圆心，长为半径作O，交BC于点E，过O作ODBC交O于点D，连接AE、AD、DC.【误区警示】误点1 忽视圆心角，圆周角2倍关系的前提例1：如图，在O中，AB、AC是弦，O在BAC的内部，A

14、OB=，AOC=，BOC=，下列关系式中正确的是（ ）A.=+ B.=2+2 C.+=180 D.+=360 误点2 忽视圆中不是直径的弦所对的圆周角有两种类型例2：如果圆的弦等于半径，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 2.4确定圆的条件【知识点总结】一、 确定圆的条件不在同一条直线上的三点确定一个圆例1：平面上有A、B、C三点，若经过这三点画圆，则可以画（ ）A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.无数个二、 三角形的外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，这个圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点

15、的距离相等例2：如图，正方形ABCD是O的内接正方形，P是劣弧AB上不同于点B的任意一点，则BPC的度数为 【典例展示厅】题型一 网格题例1：小英家的圆形桌子被打碎了，她拿了如图所示（网格中的每个小正方形的边长为1）的一块碎片到玻璃片到玻璃店。配成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A.2 B. C. D.3题型二 辨析题例2：下列说法中不正确的是（ ）A. 三点确定一个圆B. 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形C. 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点D. 三角形的外心道三个顶点的距离相等题型三 开放题例3：如图，O是ABC的外接圆，BAC=50，点P在

16、AO上（点P不与A、O重合），则BPC可能为 （写出一个即可）题型四 探索题例4：在O的内接四边形ABCD中，ADBC，试探索四边形ABCD的形状，并说明理由.题型五 证明题例5：如图，ABC内接于O，高BE、AD相交于点P，延长BE、AD，分别交O于点M、N，求证：（1）PE=ME，PD=ND;(2)点C是PMN的外心题型六 操作探索题例6:我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆. （1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到

17、的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由【误区警示】误点1 不能准确根据圆的半径确定符合条件的圆的个数例1：已知M、N，若经过点M、N画圆，则半径为3cm的圆有 个误点2 忽视三角形外心的不同位置而产生漏解例2：如果点O是ABC的的外心，BOC=70，那么BAC的度数为（ ）A.35 B.110 C.145 D.35或1452.5直线与圆的位置关系【知识点总结】一、 直线与圆的位置关系（1） 直线与圆有两个

18、公共点时，叫做直线与圆相交（2） 直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.（3） 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离例1：下列命题中，正确的是（ ）A. 直线与圆不相交就是相离B. 如果一条直线与圆有公共点，那么这条直线与圆必须有公共点C. 如果一条直线是圆的切线，那么这条直线与圆必有公共点D. 直线与圆相切时，“唯一公共点”是指有一个公共点二、 直线与圆的位置之间的数量关系的确定如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：方法一：根据公共点的个数确定方法二：（1）直线与O相交 dr（2） 直线与O相切 d=r（3）直线与O相离 dr例2：已

19、知O的半径为r，在直线上有一点P，OP=r，则直线与O的位置关系是（ ）A. 相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交三、 切线的判定圆的切线垂直于经过切点的半径例3：如图，PA与O相切，切点为A，PO交O于点C，B是优弧CDA上一点， 若ABC=32，则P的度数为 四、 切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线.例4：如图，O经过点B、D、E，BD是O的直径，C=90，BE平分ABC.求证：直线AC是O的切线例5：如图，ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切与点D求证：AC与O相切 五、三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆只有一个，这个圆叫做三角

20、形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边距离相等.例6：如图，O是ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知A=100，C=30，则DEF的度数是（ ）A.55 B.60 C.65 D.70六、 切线长定理（1） 经过圆外一点引圆的切线，这点与切点之间线段的长，称为这点到这个圆的切线长.（2） 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角（3） 切线长定理体现了圆的轴对称性例7：如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，若BAC=25，则P= 【典例展示】题型一 网格型试题例1：已知O1经过

21、A（-4,2）、B（-3,3）、C（0,2）、O（0,0）四点，一次函数y=-x-2的图像是直线，直线与y轴交于点D.（1）在右边的平面直角坐标系中画出O1，直线l与O1的交点坐标为 ；（2）若O1上存在整点P（横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得APD为等腰三角形，所有满足条件的点P坐标为 ；（3）将O1沿x轴向右平移 个单位时，O1与y相切；（4）将O1沿x轴向右平移 个单位时，O1与相切题型二 几何计算题例2：如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，DC且O于点C，若A=25，则D的度数为（ ）A.20 B.30 C.40 D.50题型三 几何说理题例3：如图，AB是O的直径，

22、PB为O的切线，B为切点，OPBC于点D，且交O于点E.（1）求证：OPB=AEC（2）若C为半圆弧ABC的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由 题型四 作图题例4：如图，要在一块形状为直角三角形（C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）题型五 探索条件题例5：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，CD为斜边AB上的高.以点C为圆心作圆，圆的半径为r.（1）当r取何值时，C与直线AB相离（2）当r取何值时，C与直

23、线AB只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？（3）若r=1，C随着其圆心从点C沿直线CA方向移动，设移动后的圆心为P.则当点C移动的距离为距离为多少时，P与直线AB相切？题型六 探索谈论题例6：如图1，线段PB过圆心O。交O于点A、B两点，PC切O于点点C，过点A作ADPC，垂足为D，连接AC、BC.（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，ADPE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；（3）在图2中，证明：ADAB=ACAE题型七 学科内综合题例7：如图、，O在平面直

24、角坐标系xOy中，点A的坐标为（4,0），以点A位圆心，4为半径的圆与x轴交于O、B两点，OC为弦，AOC=60，P是x轴上的一动点，连接CP.（1）求OAC的度数；（2）如图，当CP与A相切时，求PO的长；（3）如图，当点P在直径OB上时，CP的延长线与A相交于点Q，问PO为何值时，OCQ是等腰三角形？题型八 阅读理解题例8：阅读材料：如图，ABC的周长为，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，ABC被划分为三个小三角形，用SABC表示ABC的面积.（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图

25、（二）且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由） 【误区警示】误点1 考虑问题不周全，导致漏解例1：已知O的直径为6，P为直线上一点，OP=3，那么直线与O的位置关系为 误点2 误用切线的判定方法例2：如图，P是BAC的平分线上一点，PDAC，垂足为D，AB与以P为圆心，PD为半径的圆相切吗？为什么？误点3 对切线长性质的理解不透彻而致错例3：如图，P是O外一点，PA、PB分别和O切于A、B两点，C是上任意一点，过C

26、作O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PDE的周长为12，则PA的长为（ ）A.12B.6C.8D.无法确定2.6圆与圆的位置关系【知识点总结】一、 两圆的位置关系 例1：如图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是有一种位置关系没有反映出来，它是 二、 圆与圆位置关系的确定方法一：根据公共点的个数确定方法二：根据两圆半径R、r与圆心的距离的关系确定.两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 dR+r （Rr） 两圆内切 R-rdR+r 两圆内含 dR-r （Rr）例2：已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论中，正确的是（ ）A.0d1

27、B.d5 C.0d1或d5 D.d1或d5【典例展示】题型一 确定两圆的位置例1：（1）已知O1与O2的半径r1、r2分别是方程辆实根，若O1与O2的圆心距d=5，则O1与O2的位置关系是 （2）如图，O1与O2的半径分别为1和3，连接O1O2，交O2于点P，O1O2=8,若将O1绕点P按顺时针方向旋转360，则O1与O2共相切 次题型二 分类讨论题例2：（1）已知O1与O2的半径分别是r1=3、r2=5，若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（ ）A.2或4 B.6或8 C.2或8 D.4或6（2） 如图，O1与O2内切于点A，其半径分别是8和4，将O2沿直线O1O2平移至两圆外切时，则点O2移

28、动的长度是（ ）A.4 B.8 C.16 D.8或16题型三 多圆相切题例3：已知O1与O2外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与O1、O2都相切的圆可以作出 个.题型四 类比与创新题例4：设边长为2a的正方形的中心A在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为r的O的圆心O在直线上运动，点A、O之间的距离为d.（1） 如图1，当ra时，根据d与a，r之间关系，请你将O与正方形的公共点个数填入下表：当ra时，O与正方形的公共点可能有 个（2） 如图2，当r=a时，根据d与a，r之间关系，请你将O与正方形的公共点个数填入上表.当r=a时，O与正方形的公共点可能有 个【误区警示】误点 考

29、虑问题不全面，导致错误例1：已知O1、O2相切，若O1的半径为1，两圆的圆心距为5，则O2的半径为（ ） A.4 B.6 C.3或6 D.4或6例2：若两圆下面那个切，圆心距为7，其中一圆的半径是9，则另一个圆的半径是 例3：若半径分别为6和8的两圆相离，则圆心距d的取值范围是 2.7正方形与圆【知识点总结】一、 正方形的概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.例1：下列说法中，正确的是（ ）A. 平行四边形是正四边形 B.矩形是正四边形 C.菱形是正四边形 D正方形是正四边形二、 正多边形的画法利用量角器可以画出任意正多边形；利用直尺和圆规可以作出一些特殊的正多边形.例2：画出边长为1

30、cm的圆的内接正六边形.【典例展示】题型一 对称性问题例1：一个正多边形中心旋转60后，才与原正方形第一次重合，那么这个正多边形（ ）A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B.是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.既是对称图形，也是中心对称图形 D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 题型二 新定义问题例2：一个平面封闭图形内（含边界）任意两点间距离的最大值称为图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为“周率” ，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（） Aa4a2a1 Ba4a3a2 Ca1a2a3

31、Da2a3a4 题型三 正多边形的有关计算例3：如图，PQR是O的内接正三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BCQR，则AOQ=（ ）A.60 B.65 C.72 D.75题型四 探索规律题例4：如图1、2、3、n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON（1）求图1中MON的度数；（2）图2中MON的度数是 ，图3中MON的度数是 ；（3）试探究MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）【误区警示】误点1 对正多边形的概念理解不透彻例1：判断下列说法是否正确.（1） 各边相等的多边

32、形是正方形（2） 圆内接菱形是正方形（3） 各角相等的圆内接多边形是正方形误点2 不理解正多边形与圆的关系致错例2：如图，在O中，OA=AB，OCAB，则下列结论中结论错误的是（ ）A. 弦AB的长等于园内接正六边形的边长B. 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C. 弧AC=弧BC D.BAC=302.8弧长及扇形的面积【知识点总结】一、 弧长公式 圆的周长公式：.其中是圆的周长与直径的比值，称之为圆周率.弧长公式：.其中n表示1的圆心角的倍数，它不带单位，R为圆的半径，为n的圆心角所对的弧长.例1：如图，AB是O的切线，半径OA=2，OB交O于点C，B=30，则劣弧AC的长是 （结果保留）

33、.二、 扇形的面积公式一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.扇形的面积公式.其中n与弧长公式中的n一样，理解为1的圆心角的倍数，不带单位，要注意与弧长公式进行比较，避免混淆.与三角形的面积公式相似，可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作是底，R看成是高，这样易于记忆.例2：如图，在66的方格中（共有36个小正方形），每个小方格都是边长为1的正方形，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转得到OB（顶点均在格点上），则阴影部分面积等于 【典例展示】题型一 列方程求解题例1：（1）一个扇形的圆心角是120，面积为，那么这个扇形的弧长为 cm（2） 已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的倍

34、，且面积相等，则这个扇形的圆心角是 度.题型二 求路径长的问题例2：已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直接平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，现将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是 米题型三 求阴影部分的面积例3：（1）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 （结果保留）例4图（1）如图，一次以三角形、四边形、.、n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两部相交.把三角形与各圆不重叠部分的面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部

35、分面积之和记为S4，n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn则S90值为 （结果保留）题型四 情景应用题例4：某校编排的一个舞蹈需要五把和图形状完全相同的绸扇.学校现在有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图2所示的一朵圆形的花请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布？（单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含的式子表示）题型五 设计图案题例5：如图，M、N分别表示边长为a的等边三角形和正方形，P表示直径为a的圆，如图是选择基本图形M、P用尺规作出的图案，（1）请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积

36、；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）（2）请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话题型六 探索规律性例6：如图（1）是一个扇形AOB，将其作如下划分：第一次划分：如图（2），以OA的一半OA1为半径画弧，再作AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为扇形AOB、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1.第二次划分：如图（3）所示，在扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图（4）所示；依次划分下去（1）根据题意，完成下表：（2）根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2014个？为什

37、么？ 题型七 研究性问题例7：在学习扇形的面积公式时，同学们推得，并通过比较扇形的面积公式与弧长，得出扇形面积的另一种计算公式：.接着老师让同学们解决两个问题：问题：求弧长为4，为120的扇形面积问题：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为，弧CD的长为，AC=BD=d，求花坛的面积（1）请你解答问题；（2）在解完问题后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由 【误区警示】误点1 错将扇形的弧长当周长而致错例1：已知扇形的圆心角为60，

38、半径为15cm，则扇形的周长为 cm（结果保留）.误点2 混淆弧长计算公式与扇形面积的计算公式例2：已知扇形的圆心角为120，所在圆的半径R为20cm，求扇形的面积图5.9.15.9圆锥的侧面积和全面积【知识点总结】一、 圆锥的概念如图5.9.1，经过圆锥顶点和地面圆心的直线称为圆锥的轴，圆锥底面圆上的任意一点与圆锥顶点的连线叫作圆锥的母线；连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，圆锥的轴截面是等腰三角形，它的顶角是圆锥的锥角.例1：如图，在矩形ABCD中，AB=1，若RtABC绕AB旋转所得呀U你追的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得圆柱的侧面积相等，求BC的长.二、圆锥的侧面展开图如图5.9

39、.2，沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，易知圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即.所以圆锥的侧面积，圆锥的全面积.其中扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的圆心角【典例展示】题型一 圆锥中的计算例1：如图，在O中，AB=，AC是O的直径，ACBD于F，A=30.（1） 求图中阴影部分的面积例1图（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径题型二 旋转体问题例2：如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ABC旋转一周，则所得几何体的全面积为（ ）A. B.24 C. D.12题型三 空间最短问题例3：如图，圆锥的地面半径为5，母线长为20，已知蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（ ）A.8 B. C. D.题型四 应用题例4：如图，从一直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.（1） 求这个扇形的面积（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（3）当O的半径R（R0）为任意值时，（2）