圆锥曲线中的定点和定值问题(毛玉峰)(共7页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上校际交流材料圆锥曲线中的定点和定值问题泰兴市第二高级中学 毛玉峰圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.这部分知识综合性较强,对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高,特别是圆锥曲线中的定点与定值问题,此类问题主要涉及到直线、圆、圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合等思想，是高考的热点题型之一.【要点梳理】1.解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。2

2、.椭圆中常见的定值结论：结论1：经过原点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上的动点，直线的斜率都存在，则为定值.结论2：已知是椭圆两点，是的中点，直线的斜率都存在，则为定值.结论3：设是椭圆上的三个不同点，关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则为定值.结论4：过椭圆上一点上任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于两点，则直线的斜率为定值.结论5：分别过椭圆上两点，作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于两点，则直线的斜率为定值.3. 定点问题：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点或者也可以对参变量取特殊值确

3、定出定点，再进行一般性证明.4. 定值问题：求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的值，说明或证明其为定值（与参变量无关）.下面结合具体例子加以说明.例1.已知圆和圆（1）过圆心作倾斜角为的直线交圆于两点，且为的中点，求；（2）过点引圆的两条割线和，直线和被圆截得的弦的中点分别为.试问过点的圆是否过定点（异于点）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由；【解析】（1）（解略）（2）依题意，过点的圆即为以为直径的圆，所以，即整理成关于实数的等式恒成立则，所以或 即存在定点. 小结：本题列出了圆系方程，再整理成关于参变量的方程，列出方程组，得出定点。（第18题）

4、例2.（2016年南京三模18）已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x2的距离为d1，到点F(1，0)的距离为d2，且（1）求椭圆C的方程； （2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且OFAOFB180（）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（）是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；【解析】（1）（2）（解略）（2）（）由于OFAOFB180，所以kAFkBF0 设直线AB方程为：ykxb，代入y21得：(k2)x22kbxb210，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x2

5、，x1x2所以，kAFkBF0所以，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)2kx1x2(kb)(x1x2)2b2k(kb)2b0 b2k0， 所以直线AB方程为：yk(x2)， 所以直线l总经过定点M(2，0) .小结：本题中列出了直线系方程，有两个参数，根据题意，求出两个参数之间的关系，再整理成关于一个参数的方程，得出定点。例题3.已知椭圆方程，过点分别作直线交椭圆于两点,设直线斜率分别是，且,求证：直线过定点.证明一：显然直线的斜率不为零，设的直线方程是由方程，消去得，则，而直线的斜率为，以代替，得，所以直线的方程为 (*)由取，得直线的方程: 取，得直线的方程: 由得交点代入(*)

6、，得即，又因为，所以，即(*)恒成立，所以直线必过.证明二：当直线不垂直轴，故设的直线方程是，由方程组，消去得设，即代入，得直线方程：即直线过定点另外，当直线垂直轴，设，代入，易得，即直线方程为，也过定点，综上：直线直线过定点.证明三：显然直线不平行轴，故设的直线方程是，由方程组，消去得设，即代入，那么即直线过定点.小结：本题中方法1中，用了特殊到一般的解题思路。方法2和3中，注重了直线方程的两种设法。例题4.在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，求证：直线过定点； 解：（）由题意:设直线

7、,由消y得:,，设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,所以中点E的坐标为,因为三点在同一直线上，所以，即， 解得（解略）（）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为, 又因为,且，所,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).小结：（1）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。例题5.已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA

8、、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；解：（1）（略解）点的坐标为（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为： 由 得 设则同理可得，则所以直线AB的斜率为定值.例题6.（2016年扬州三模检测）如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：y2 1的两个焦点，椭圆C2：y2 经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D设AB、CD的斜率分别为 （1）试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由（2）求|AB|CD|的最大值解. （1）因为点是椭

9、圆的两个焦点，故的坐标是；而点是椭圆上的点，将的坐标带入的方程得， 设点，直线和分别是. （1）， 又点是椭圆上的点，故 （2） 联合（1）（2）两式得 ，故为定值例题7、（2016年三模17）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (ab0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上OxyFPQ（第17题图）（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点 若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：解、（1）（解略）（2）（解略）(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0因为直线与圆相切，所以，即m22k22将直线PQ方

10、程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m2将m22k22代入上式可得0小结：定值问题求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.总之，定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，通过计算（证明）解决的问题与参数无关。在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点和定值，再证明。尤其是掌握利用特殊情况解决此类问题的填空题。专心-专注-专业