专题22：二次函数的应用(几何问题)(共92页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上全国181套中考数学试题分类解析汇编专题22：二次函数的应用（几何问题）一、 选择题1.（四川绵阳3分）若是方程（xa）（xb）= 1（ab）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2【答案】 C。【考点】方程的图象解法。【分析】根据方程的图象解法，方程（xa）（xb）= 1（ab）的两个根x1，x2（x1x2）可以看成函数y =（xa）（xb）和y =1交点的横坐标，a，b是函数y =（xa）（xb）与x轴交点的横坐标。根据题意，作出图象，可以看出x1，x2，a，b的大小关系为x1abx2 。故选C。

2、2.（广东台山3分）如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AEBFCGDH,设小正方形EFGH的面积为Y，AE为X，则Y关于X的函数图象大致是 【答案】B。【考点】二次函数的应用和图象，勾股定理。【分析】根据已知可得二次函数关系式：YX2（1X）22X22X1，它是开口向上的抛物线,且经过点（1，1）。故选B。3, （甘肃兰州4分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 A、B、C、D、【答案】B。【考点】二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾

3、股定理。【分析】根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，可证AEHBFECGFDHG。设AE为x，则AH=1x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1x）2，即s=x2+（1x）2=2x22x+1。所求函数是一个开口向上，对称轴是x=的抛物线在0x 1部分。故选B。5.（贵州安顺3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形EFGH的面积为y，AE=则y关于的函数图象大致是A B C D【答案】C。【考点】二次函数综合题。【分析】依题意，得y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDG

4、H=14（1）=222+1，即y=222+1（01），抛物线开口向上，对称轴为=。故选C。二、填空题1.（四川泸州2分）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是 【答案】10。【考点】二次函数的最值，等腰梯形的性质，勾股定理。【分析】圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P，则x2（2b）2=22b2=CP2整理得b=2。梯形周长=4+2x+2b=4+2x+4=+2x+8=该梯形周长的最大值是：10。三、解答题1.（内蒙古巴彦淖、赤峰尔12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分

5、别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）求证：四边形ABCD是直角梯形【答案】解：（1）y=x+3与坐标轴分别交与A、B两点，A点坐标（3，0）、B点坐标（0，3）。抛物线y=ax2+bx3a经过A、B两点，解得。抛物线解析式为：y=x22x+3。y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点C的坐标为（1，4）。（2）B、D关于MN对称，C（1，4），B（0，3），D（2，3）。B（3，0），A（3，0），OA=OB。又AOB=90，ABO=BAO=45。B、D关

6、于MN对称，BDMN。又MNX轴，BDX轴。DBA=BAO=45。DBO=DBA+ABO=45+45=90。ABC=180DBO=90。CBD=ABCABD=45。CMBD，MCB=45。B，D关于MN对称，CDM=CBD=45，CDAB。又AD与BC不平行，四边形ABCD是梯形。ABC=90，四边形ABCD是直角梯形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的顶点和对称轴，轴对称的性质，平行的判定和性质，直角梯形的判定。【分析】（1）先根据直线y=x+3求得点A与点B的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可。（2）根据B、D关于MN对称，C（1，

7、4），B（0，3）求得点D的坐标，然后得到AD与BC不平行，四边形ABCD是梯形，再根据ABC=90得到四边形ABCD是直角梯形。2.（吉林长春7分）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于点AP为抛物线上一点，且与点A不重合连结AP，以AO、AP为邻边作OAPQ，PQ所在直线与轴交于点B设点P的横坐标为（1）点Q落在x轴上时m的值（3）若点Q在轴下方，则为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值【参考公式：二次函数的顶点坐标为（）】【答案】解：（1）令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3。在= 223中，令=3可求得点P横坐标m=4。（2）QB=OA-PB=3-PB

8、，当PB取最小值时，QB最大。当=2时，二次函数= 223有最小值y=1。当m=2时，QB的最大值为2。【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）可以令=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3时m的值。（2）根据当PB取最小值时，QB最大，当=2时，二次函数= 223有最小值即可得出答案。3. （山东济南9分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)抛物线经过点A、C，与AB交于点D(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，

9、AQCP，连接PQ，设CPm，CPQ的面积为S求S关于m的函数表达式；当S最大时，在抛物线的对称轴l上，若存在点F，使DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)由点A、C在抛物线上，得 ，解之，得 。 抛物线的函数解析式为。(2) 作QEX轴于E，QFY轴于F。OC6，OA8，AC10。由AFQAOE，有。ECOCOEOCFQ6。存在。坐标为（）,（），（）或（）。【考点】二次函数的性质和应用，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理。【分析】(1)根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，可求出抛物线

10、的函数解析式。 （2）把CPQ的高表示成m的函数即可求出S关于m的函数表达式。 当m5时，S最大。此时点Q的坐标为（3，4）。（这一点同用相似三角形可证） 又点D在抛物线上，有，解之可得点D横坐标3。当S最大时，点D和点Q在直线3上。又，抛物线对称轴l为。如果DQ是直角边，则当点F的纵坐标与点D或点Q在同一水平线，即时，DFQ为直角三角形。此时点F的坐标为（）或（）。如果DQ是斜边，则当点F的坐标满足时，DFQ为直角三角形。设点F的坐标为（）则DQ216，。 ，即，解之，得。 此时点F的坐标为（）或（）。综上所述，对称轴l上，使DFQ为直角三角形的点F的坐标为：（）,（），（）或（）。4.（广

11、东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当01时，求证：S1S2为常数，并求出该常数【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函数得：100，解得：1。 的值是1。 （2）由（1）二次函数为，把A（1，0）代入得：01， 1。 二次函数为与轴有两个交点， 一元一次方程根的判别式0，即 0， 1且0。 的取值范围是1且0。 （3）证明：01， B在A的右边，设

12、A（1，0），B（，0）， 由根与系数的关系得：1，。 AB。 把1代入二次函数得：解得：10，2， CD。 过P作MNCD于M，交轴于N，则MN轴， CDAB，CPDBPA。 。 。 即不论为何值，S1S2的值都是常数。这个常数是1。【考点】二次函数综合题，解一元一次方程，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出。 （2）把A（1，0）代入得到01，推出1，求出方程的的值即可。 （3）设A（1，0），B（，0），由根与系数的关系求出AB，把1代入抛物线得到方程，

13、求出方程的解，进一步求出CD过P作MNCD于M，交轴于N，根据CPDBPA，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1S2的值即可。5. （江西省B卷10分）已知：抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）.(1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且ABC为直角三角形，求，的值；（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出，满足的关系式；若不能，说明理由.【答案】解：（1）抛物线对称轴方程：。（2）设直线与轴交于点E，则E（2，0）。抛物线经过原点，B(0，0)，C(4，0)。ABC为直角三角形，根据抛物

14、线的对称性可知AB=AC，AE=BE=EC。A(2，2)或(2，2)。当抛物线的顶点为A(2，2)时，把(0，0)代入，得：，此时， 。当抛物线的顶点为A(2，2)时，把(0，0)代入，得：，此时，。OxyABCE，或，。（3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A,D也关于点E对称，且BE=AE时， 四边形ABDC是正方形。 ， 。把代入，得，。【考点】抛物线的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质。【分析】（1）根据直接得出答案。（2）根据直线与轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出B（0，0），C（4，0），从而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为A（2，2）或A

15、（2，2）时求出即可。（3）根据B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形，即可求出。6.（湖北武汉10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米.（1）若平行于墙的一边的长为米，直接写出与之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出的取值范围. 【答案】解：（1）=302 (615)。（2）设

16、矩形苗圃园的面积为S，则S= (302)=2230，S=2(7.5)2112.5。由（1）知，615，当=7.5时,S最大值112.5。即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5。（3）611。【考点】二次函数的应用（几何问题）。【分析】（1）根据题意即可求得与的函数关系式为=302与自变量的取值范围为615。（2）设矩形苗圃园的面积为S，由S=，即可求得S与的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值。（3）根据题意得2（7.5）2112.588，根据图象，即可求得的取值范围。7. （四川成都8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的

17、中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习当（l）中S取得最值时，请问这个设计是否可

18、行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由【答案】解：（1）AB=x，BC=1202x。S=x（1202x）=2x2+120x。当x=时，S有最大值为。（2）设圆的半径为r，路面宽为a，根据题意得：，解得：。路面宽至少要留够0.5米宽，这个设计不可行。【考点】二次函数的应用，相切两圆的性质。【分析】（1）表示出BC的长1202x，由矩形的面积公式得出答案。（2）设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求得半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方案可行，否则不行。8.（辽宁盘锦12分） 如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点

19、M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上若AB6m，AD4m，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为S平方米(1)求S与x的函数关系式；(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值【答案】解：(1)四边形AMPQ是矩形，PQAMx。PQAB，PQDBAD。 AB6，AD4，DQx。AQ4x。SAQAMxx24x(0x6)(2)Sx24x(x3)26，又0，S有最大值。当x3时，S的最大值为6。答：当AM的长为3米时，矩形AMPQ的面积最大；最大面积为6平方米。【考点】二次函数的应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】(1)由PQDBAD得，把AQ用x不表示，即可求

20、出S与x的函数关系式。 （2）把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的最值原理即可求出答案。9.（福建三明12分）如图，抛物线y=ax24ax+c（a0）经过A（0，1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQx轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m（1）求a，c的值；（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围（不必写过程）【答案】解：（1）抛物线yax24axc过A（0，1），B（5，0）， ，解得：。（2）直线AB经过A（0，1），B（

21、5，0），直线AB的解析式为yx 1。由（1）知抛物线的解析式为：yx2x1。点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQx轴，P（m，m 2m1），Q（m，m 1）。SPQ（m 1）（m 2m1）。即Sm 2m（0m5）。（3）抛物线的对称轴l为：x2。以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：相离、相切、相交三种关系。相离时：0m或 m5；相切时：m m；相交时：m。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆的位置关系。【分析】（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可。（2）先求出直线AB的解

22、析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可。（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可。10.（湖南湘潭10分）如图，直线=3+3交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）当=0时，=3；当=0时，=1，A（1，0），B（0，3），由A（1，0），C（3，0）在抛物线上，设抛物线的解析

23、式为=（+1）（3），将B（0，3）代入，得3=1（3），=1。此抛物线的解析式为=（+1）（3）=2+2+3。（2）存在。抛物线的对称轴为：，设Q点坐标为（1，），则， 。当AB=AQ时， ，解得：，Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，1）。综上所述，抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，等腰三角形的判定，勾股定理，解方程。【分析】（1）由直线=3+3交轴

24、于A点，交轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式。（2）分别从AB=AQ，AB=BQ，AQ=BQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案。11.（天津10分）已知抛物线：点F(1，1) () 求抛物线的顶点坐标； () 若抛物线与轴的交点为A连接AF，并延长交抛物线于点B，求证： 抛物线上任意一点P（）)（）连接PF并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由； () 将抛物线作适当的平移得抛物线：，若时恒成立，求m的最大值【答案】解： (I)，抛物线的顶点坐标为()(II)根据题

25、意，可得点A(0，1)，F(1，1)AB轴得AF=BF=1，成立理由如下：如图，过点P（）作PMAB于点M，则 FM=，PM=（）。RtPMF中，有勾股定理，得又点P（）在抛物线上，得，即，即。过点Q（）作QNAB，与AB的延长线交于点N， 同理可得PMF=QNF=90，MFP=NFQ，PMFQNF。 ，这里，。 ，即。 () 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，且， 抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象随着抛物线向右不断平移，的值不断增大， 当满足，恒成立时，m的最大值在处取得。 当时所对应的即为m的最大值。 将带入，得。解得或（舍去）。此时，得。解得，。m的最大值为8。【考点】

26、二次函数综合题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。【分析】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。 (II) 求出AF和BF即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。() 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。12（重庆潼南12分）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求，的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以

27、点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数的图象经过点A（1，0），B（4，5），解得：。（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：。又二次函数，点E在上，点F在上，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t）2+，当t=时，EF的最大值为。点E的坐标为（，）。（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，4

28、），S四边形EBFD=SBEF+SDEF=。如图：）过点E作PEEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3），则有：m22m2=，解得：m=，P1（，），P2（，）。）过点F作P3FEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3），则有：n22n2=，解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），P3（，）。综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程和一元二次方程，二次函数的最值。【分析】（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（1，0）B（4，5）

29、，然后利用待定系数法即可求得，的值。（2）由直线AB经过点A（1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，设点E（t，t+1），点F（t，t22t3）则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标。（3）顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，4）由S四边形EBFD=SBEF+SDEF即可求得。分EP和FP为另一直角边的两种情况，求出点P的坐标即可。13.（浙江绍兴14分）抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C（1）如图1求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQBC交x轴于点Q，连接BQ若含45角的直角三

30、角板如图2所示放置其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上求直线BQ的函数解析式；若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标【答案】解：（1）把=0代入抛物线得：，点A（0， ）。又抛物线的对称轴为=1，OC=1。（2）如图，B（1，3）分别过点D作DM轴于M，DNPQ于点N，PQBC，DMQ=DNQ=MQN=90。DMQN是矩形。CDE是等腰直角三角形，DC=DE，CDM=EDN。CDMEDN（AAS）。DM=DN。DMQN是正方形。BQC=45。CQ=CB=3。Q（4，0）。设BQ的解析式为：，把B（1，3

31、），Q（4，0）代入解析式，得，解得。直线BQ的解析式为。当点P在对称轴右侧，如图：过点D作DM轴于M，DNPQ于N，CDE=90，CDM=EDN。CDMEDN。当DCE=30，又DN=MQ，。，BC=3，CQ=。Q（1+ ，0）。P1（）。当DCE=60，点P2（）。当点P在对称轴的左边时，由对称性知：P3（），P4（）。综上所述，所求点P的坐标为P1（），P2（），P3（），P4（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上的点与方程的关系，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，对称的性质。【分析】（1）把=0代入抛物线求出y的值确定点

32、A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长。（2）由CDE是等腰直角三角形，分别过点D作轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到DQO=45，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式。分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标。14.（浙江省14分）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交与点A（1,0）、B（3,0）两点，抛物线交轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点直线交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作轴的平行线交抛物线于点Q(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？(3)设E为线段OC上的三

33、等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标【答案】解：（1）由题意，抛物线交轴于点C（0,3），故设抛物线的解析式为，把A（1,0）、B（3,0）代入，得： ，解得。抛物线的解析式为。抛物线的顶点坐标为（1，4）。 （2）由题意，得 P(, 1) ，Q (, )， 线段PQ=。 当=时，线段PQ最长为。 （3）E为线段OC上的三等分点，OC=3, E(0，1)，或E(0，2)。 EP=EQ，PQ与y轴平行， 2OE= 当OE=1时，1=0，2=3，点P坐标为（0，1）或（3，2）。 当OE=2时，1=1，2=2， 点P坐标为（1，0）或（2，1）。 综上所述，点P的坐标为（0，1）或（

34、3，2）或（1，0）或（2，1）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点式 ，二次函数的最值。【分析】（1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。 （2）把线段PQ用含P(, 1) ，Q (, )来表示，用二次函数的最值原理可求。 （3）依条件，列出等式即可求得。15.（辽宁大连12分）如图，抛物线经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB求该抛物线的解析式；抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；在第一象限、对称轴右侧

35、的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线经过A（1，0）、B（3，0），可设抛物线的解析式。 又抛物线经过C（0，3），把（0，3）代入得， 解得，。 物线的解析式为，即。（2）存在。，点P的坐标为（1，4）。设直线BC的解析式为，则，解得。直线BC的解析式为。点M的坐标为（1，2）。设抛物线的对称轴与X轴相交于点N，则MN=PNNMB与PMB的面积相等。QMB与PMB的面积相等，点Q在过点P且平行于BC的直线上或点N且平行于BC的直线上。 设直线的解析式为，则。直线的解析式为。设与抛物线相交于点Q（），则，解

36、得。点Q1的坐标为（2，3）。设直线的解析式为，则。直线的解析式为。设与抛物线相交于点Q（），则，解得。点Q2的坐标为（），点Q3的坐标为（）。综合，满足条件的点Q共有三个，其坐标分别为（2，3），（），（）。（3）存在点R的坐标为（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，三角形面积相等的条件。【分析】（1）用待定系数法，由点在抛物线上，点的坐标满足方程，即求出解析式。（2）根据同底等高的三角形面积相等的条件即可求解。（3）根据同底等高的三角形面积相等的条件，要使RPM与RMB的面积相等，只要求过点M平行于x轴的直线与抛物线在第一象限的交点。由于M（1，2），所以把代入求

37、解即能得到直线与抛物线在第一象限的交点R的坐标（）。16.（辽宁阜新14分）如图，抛物线yx2x与x轴相交于A、B两点，顶点为P（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使ABP的面积等于ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标【答案】解：（1）令x2x0，解得。 点A在点B的左边，点A、B的坐标分别为（3，0），（1，0）。 （2）yx2x（x1）22，顶点P的坐标为（1，2）。 要使ABP的面积等于ABE的面积，即要它们同底等高，抛物线存在点

38、E，它在x轴上方且与x轴的距离为2。 即它是抛物线yx2x与直线y2的交点。 解x2x2得，x12。 抛物线存在点E（12）和（12）使ABP的面积等于ABE的面积。 （3）使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形的点F的坐标为： （1，2），（5，2），（3，2）。【考点】点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，三角形面积相等的条件，平行四边形的判定，轴对称的性质，平移的性质。【分析】（1）要求点A、B的坐标，只要根据点的坐标与方程的关系，解x2x0即可。 （2）要使ABP的面积等于ABE的面积，即要它们同底等高，由此即可求出符合条件的点E的坐标。 （3）分AB是对角线或

39、边两种情况讨论。当AB是对角线时，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定可得点P关于AB的对称点（1，2）符合条件。当AB是边时，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，由AB4，只要把点P向左或向右平移4个单位得到的点（5，2），（3，2）符合条件。综上所述，符合条件的点F的坐标为（1，2），（5，2），（3，2）。17.（黑龙江大庆8分）已知二次函数)图象顶点的纵坐标不大于(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；(2)若该二次函数图象与轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值【答案】解：（1）图象顶点坐标为（），由已知得 ，解得。该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围是不小

40、于3。（2）设，则、是方程的两个根。 由（1）可知。由于当时，随着的增大，也随着增大当时，线段AB的长度的最小值为。【考点】二次函数的性质，二次函数和轴的交点与一元二次方程的关系，一元二次方程求根公式。【分析】（1）先求出的顶点的纵坐标，根据题意得出 ，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围。（2）设，则、是方程的两个根，由求根公式得出、，根据求出线段AB长度的最小值。18.（广西贺州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（A在B的左侧），与轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使C

41、DP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EFAC交线段BC于点F，连接CE，记CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线的顶点为（1，）设抛物线的函数关系式为 ， 抛物线与轴交于点C (0，4)，解得。所求抛物线的函数关系式为 。 （2）P1 (1，)，P2 (1，)， P3 (1，8)，P4 (1，)。 （3）令，解得12，24抛物线与轴的交点为A (2，0) C (4，0) 。过点F作FMOB于点M，FMCO，BFDBCO，。又EFAC，BEFBAC，。又OC4， BA6，。设E点坐标为 (，0)，则EB4，MF (4)SSBCESBEF EBOC EBMF EB(OCMF) (4)4