数学中常用不等式及其应用(共17页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上目录45数学中常用不等式及其应用1.前言正所谓“问渠那得清如许。为有源头活水来”。回顾我国建国近70年的发展历程，我国坚持把国民教育在经济和社会发展中优先发展的战略地位，并制定了优先发展教育和“科教兴国”的重大战略决策，促进教育的改革和发展。我国教育改革始终坚持党对教育的领导和政府对教育的统筹，切实保证“科教兴国”战略和教育优先发展地位的落实。在教育改革中义务教育是提高国民素质和发展教育事业的基础，是社会主义现代化建设的奠基工程，涉及广大人民群众的根本利益。没有一个好的底子，就不能决定以后的参天大树枝叶是否会繁密。中央确定把基础教育作为整个教育工作的重点，把“两基”作

2、为当代教育发展的“重中之重”，这是我国教育发展的一个重要指导思想，是贯彻科教兴国战略的重大措施。自2008年秋季起国家在全国范围实施了义务教育，使许多贫困家庭的孩子都能够享受接受教育的权利。回顾历史我们可以看到，从提出“两基”，到逐步明确“两基”目标和具体规划，是党和国家根据社会主义经济、政治和社会发展的客观需要，多年酝酿，逐步成熟，并适时做出的慎重决策。作为大学生的我们有责任也有义务为国家教育事业的发展做出自己的贡献，将我们学习到的知识应用到教育中去，而中学教育就是一个很好的切入点。随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，国家开始注重创新教育，指出教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新

3、意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力，为国家培养出适应新世纪发展的一代新人。不等式是数学基础理论的重要部分。不等式是刻画现实世界和日常生活、生产和科学研究中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量关系和进一步学习数学的必备知识。此外，不等式在高中数学中占有举足轻重的地位，是学习数学及其他学科的基础知识。2.研究背景及研究意义2.1 不等式研究背景继义务教育阶段课程改革的全面推进，我国高校规定了高校数学教学的课程目标设置大纲。目前，高校数学课程改革己经得到了普遍实施和开展，我们知道，新课程改革的核心环节是

4、课程实施，而课程实施的基本方式是教学，那么如何将新课程的理念和构想落实到实处，这是需要通过实际的课堂教学来完成的。高校数学课程改革对教学提出了以下新的要求：数学教学要以学生为本，以学生的发展为本，应当指导学生根据自己的实际情况和兴趣爱好来合理地选择课程和制定学习计划；高校数学教学要打好学生的知识基础，注重发展能力；高校数学教学要注重联系，提高数学整体的认识；高校数学教学中要关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成；数学教学应改善教与学的方式，使高校学生主动地学习。不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，体现出了“工具”的作用。如研究函数的定义域时常用到分式的分母不为零、偶次根式的被

5、开方数非负、对数的真数大于0等不等关系；求函数定义域、值域（最值）、单调性；讨论方程根与系数的关系；数列的项的最值与前n项和的最值；讨论方程与方程组的解的情况，在一元二次求根公式的教学中，用判别式的符号判断方程的根的存在情况；求空间线线、线面、面面间的距离及夹角的范围；概率的范围等等。可以看出，不等式与集合、充要条件、函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何、实际问题都有知识交汇处，在相关的数学领域中有着广泛的应用。在不等式学习过程中，可以体现出数学思想及素养的培养。数学思想不仅在学生形成良好认知结构的过程中起着桥梁作用，在将基础知识转化为能力和技能的过程中也发挥着重要作用，它是培养学生

6、的数学思维意识和形成好的数学思维素质的关键所在。不等式的相关教学内容涉及到数形结合、分类转化、函数与方程、转化等数学思想。例如：通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，能够培养学生的动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养简约直观的思维方法和良好的思维品质，进而渗透抽象与具体、联系与转化等辩证唯物主义的观点和方法；二元一次不等式（组）与平面区域，揭示出了不等式的几何意义，使学生对不等式的认识有了质的飞跃，同时，极有利于发展学生对集合思想，数形结合思想在思维层面上的提升，进一步促使学习者在思维的深层面上主动完成对函数、方程、不等式形成有机的数学知识网络的构建

7、；线性规划问题开拓了不等式的实际运用的领域。本文希望通过对高中数学不等式的教学进行研究，结合相关数学教育理论，针对不等式各部分教学内容和知识点提出有效的教学策略，改进不等式课堂教学，提高学生的学习效率和教师的教学效果，对进行高中不等式教学的教师提供一定的参考作用。使得通过不等式基础知识的学习和基本技能的训练，学生的逻辑推理等思维能力能力以及分析解决问题的综合能力能够得以培养和提升。2.2 研究意义教学策略是当前教学研究的一个重要问题，它无论是对教学理论研究的深化，还是对教学实践的变革都有重要价值。教学策略可以帮助我们从整体上综合地认识和探讨教学过程中各种因素间的相互作用，有利于从动态上把握教学

8、过程的本质和规律。不等式教学策略的研究，有助于促进不等式教学法的丰富与发展，有助于教师理论与实践相结合，使教师形成自己的教学风格。教学策略既是教学过程理论体系的具体化，又是建立在教学经验的基础上的，既具体、明了、可操作性强，又具有概括、完整和系统性，便于理解和掌握，有利于提高教学质量。以期改进不等式课堂教学，提高学生的学习效率和教师的教学效果，对进行高中不等式教学的教师提供一定的参考作用，减少不等式教学中的困惑。使得通过不等式基础知识的学习和基本技能的训练，学生的逻辑推理等思维能力能力以及分析解决问题的综合能力能够得以培养和提升。3.高等数学常用不等式举例介绍3.1柯西不等式柯西不等式是由法国

9、大数学家柯西在研究数学分流中的“流数”时得到的但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy -Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，比如在证明不等式、求函数最值及变量取值范围、方程与等式、几何等方面然而，目前柯西不等式的研究主要集中于高等数学及其解法应用研究作为其中著名不等式之一，理应跟中学数学教学紧密联系在一起，为培养学生的数学能力提供教育素材可喜地是随着新课程改革的不断推进，2003 年 4 月教育部制定了普通高中数学课程标

10、准（实验），到 2008 年全国各省区全面使用标准教材进行教学选修 4-5 专题不等式选讲将柯西不等式纳入了选修课程系统，柯西不等式由此进入了新教材，进入了学生的课堂作为选修内容之一，为拓展学生的知识面，开阔学生的视野，拓展学生的思维空间具有很大的作用，同时也为教育工作者提出了新的挑战。柯西不等式的表现形式如下:(1)(n维形式)对于任意实数与满足当且仅当等式成立。3.2拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足（1） 在闭区间a,b上连续；（2） 在开区间（a,b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点（），使得等式成立。2.3.1拉格朗日中值定理的证明以及推广设在区间a,b内k阶可微，则使其中h=

11、 证明定理：我们这里就用辅助的思想来看待这个问题。(1)当k=l时，即是拉格朗日中值定理。(2)当k=2 时， 在区域作辅助函数：，则。固定让在(O，h上变化，则，关于满足拉格朗日中值定理，所以，其中关于变量又满足拉格朗日中值定理，所以可有，记。则有成立。（3）当k=n时，访k=2构造定义在上的函数：同理有 第一步：固定让在(0，h)上变化，则关于变量满足拉格朗日中值定理，所以使得第二步：固定让在(0，h)上变化，则关于变量满足拉格朗日中值定理，所以使得依次类推第3步，.，第n步关于变量满足拉格朗日中值定理，所以使得 因为所以我们令 则即定理2：设I是有界闭区间构造一个多项式函数，使得对全体都

12、有 在证明该定理时，如果我们试图用证明不等式的一般方法直接去证明它，那难度是相当大，甚至不能把该命题证明出来，但是如果我们此时换一种思维方式，通过构造条件不等式，问题就迎刃而解。那么我们怎样去构造条件不等式呢?这是问题的关键所在，我们可以通过定理的条件和结论以及对有关问题的性质的分析，来达到构造条件不等式的目的。在这个定理证明时，如果认真分析一下定理的结论我们可以知道，任意一个多项式函数与的差要小于任意给定的正数，那么我们在构造条件不等式时目的就很明确。定理证明：先构造条件不等式，n0；显然是无常数项的多项式函数列，要证在区问(一1，1)上多项式函数列单调递增，且一致收敛。为此，若能证明有则可

13、得到，即单调递增且一致有界，又，即一致收敛。下面我们用数学归纳法来证明当nO时不等式成立(1)当n=0时，命题显然成立。(2)假设n时，上式成立，我们来证明为n+l是命题也成立。因为由假设有，所以，因此由假设有，同时也可推出，所以即证毕3.3均值不等式己知正数a和b，古希腊数学家己经研究过十种不同的中项，包括算术中项、几何中项、调和中项、反调和中项等。这些中项之间的大小关系叫均值不等式。本文所说的均值不等式只限于算术中项和几何中项之间的大小关系，即均值不等式有着悠久的历史，证明方法很多，用不同的视角，都能得到同样的结果。由即可得均值不等式。“均值不等式”是一类比较主要的不等式，是一类应用比较广

14、泛的不等式，该不等式的直观表述只是其内容的外显形式，如果学生既能知其外显，又能知其内在，就是说，如果学生既能知其然，又能知其所以然，对该知识点的灵活运用就容易更上一层楼。任何知识点的学习都是为了更好的应用，而应用的好与坏直接取决于学生对通过学习得到的知识点的理解和掌握程度，还有一些特殊的技巧是否学生己经了然于心。本论文希望通过调查学生对“均值不等式”的应用意识及应用技巧的程度来了解学生对“均值不等式”本质的理解程度。“均值不等式”在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最为广泛的不等式之一。巧妙地应用此不等式在求最值，比较大小，证明不等式等各方面都可得到较为理想的解法。均值不等式的推广

15、过程中涉及到的均值不等式的延伸内容，也是解题的重要依据之一。4.数学中不等式的中的应用不等式的证明一直是数学里面的一个难点，但是如果利用高等数学中的导数知识来处理，问题就要显得简单的多，不过要利用导数知识来证明不等式，关键的是如何构造条件不等式，下面举例说明不等式证明中条件不等式的构造。所谓的条件不等式是指具有某些条件的辅助不等式（或者是辅助等式），这些条件必须要符合题意，不能随意的制造。4.1 构造条件不等式对命题进行证明。已知二阶可导，当xO时，且，求证当x0时，。这个问题如果要利用初等数学知识来证明，难度相当大，但是利用导数知识来证明问题就比较简单，考虑到条件x0且当x=0时，因此如果能

16、够证明函数，是单调递增，问题就得到解决。证明：作条件不等式，则，即单调递升：因为，于是当xO时，从而当x0时，单调递升，且，于是当x0时，即例：证明有要证明该不等式显然用初等数学方法不容易，但是如果利用条件不等式来证明就比较容易，只是必须构造一个恰当的条件不等式，那么怎样来构造条件不等式呢?这是解决问题的关键，我们注意到这是一个关于多项式的不等式，因此作条件不等式时应考虑到多项式函数。证明：作条件不等式，其中表示的整数部分，则，由的定义可知是n次多项式，且最高次项的系数为l。易证，还有另一个表达式。(后证)，所以；，设，假设 ，则可以推出矛盾。 在构造条件不等式令，k=0,1,2,.,n 则

17、即中任意相邻两项都异号，且，因为，所以在处与同号，即有中任意两次都异号，多项式显然是连续函数。由介值定理可以得到：使得即有n个根，但这是不可能的，因与最高次项的系数都为1，所以顶多是n一1次多项式，由代数基本定理知道顶多有n1个根。下面证明；设Q=arccosx， 则x=cosQ2cosnQ= (cosnQ+isinnQ) + (cosnQisinnx)=比较实部系数得：证毕。4.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明分析逆推法： 利用微分中值定理时，常常会用到逆推的方法从欲证结论入手，借助于逻辑关系制造出某个函数的改变量，再观察其对应的区间，即可有效的构造出所需的条件不等式。例设函数在0，

18、1上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得。分析：结论可变形为即为，因此可构造条件不等式，对与g（x）在0，1上应用柯西中值定理即可证明结论。证明：令，由题设知f（x）与g（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，由柯西中值定理得，整理即得。 在一些问题中，单使用逆推法还不够，往往还要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的条件不等式。具体方法是把欲证结论中的换成x，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C，由此可构造出相应的条件不等式。例设函数f（x）在0，1上二阶可导，且f（0）f（1）=0，证明存在（0，1），使得。分析：在结论中用x 替换，

19、有，将其变形为易于积分的形式 ，两边积分，即，解得。证明：设辅助函。因为在0，1上二阶可导，所以在0，1上连续，在（0，1）内可导，且，故满足罗尔定理条件，所以存在（0，1）使。又在（，1）内，F（x）满足罗尔定理条件，所以存在 （ ，1），使，即。在构造条件不等式时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，可以用常数k 值法来构造条件不等式。具体方法是将结论变形，使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a 与f（a）构成的代数式，另一端为b 与f（b）构成的代数式，再将端点值改为变量x，所得表达式即为条件不等式。例 设a0，b0,试证存在介于a,b之间，使得分析：将结论变形为左边卫常

20、数因此可令，即，则有 即 可令b=x可得条件不等式证明：设则由罗尔定理，存在介于a,b之间，使得即 从而得到 对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明，直接构造条件不等式比较困难，将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数，证明结论往往不受影响，（为常数）是常用的乘积因子。例 若函数f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0，证明存在一点（a，b），使得f（）=f（）。分析：是个恒为正的因子，所证明等式或不等式的两端都乘以或除以这样一个因子，等式或不等式仍然成立，于是想到是个理想的乘积因子。证明：构造条件不等式，可验证F（x）在a，b上满足罗

21、尔定理条件，故存在（a，b），使得，即对于一些只涉及一阶导数和几何意义比较明确的证题，可以通过几何图形来建立恰当的条件不等式。例 设函数f（x）在0，1上可导，且0f（x）1，对于任何x（0，1），都有，试证在（0，1）内有且仅有一点，使得。分析：由图1 可看出，此题的几何意义是，连续函数y=f（x）的图形曲线必跨越y=x 这条直线，而两者交点的横坐标恰满足。进而，由图还可知道，对0，1上的同一自变量x，这两条曲线纵坐标之差f（x）-x 可构成一个新的函数F（x），它满足F（0）0，F（1）0，因而符合零点定理的条件。证明：令，则由题设知，F（x）在0，1上连续，且F（0）=f（0）0，F（1

22、）=f（1）-10。由零点定理知，至少存在一点（0，1），使得F（）=f（）-=0，即。用反证法证明唯一性。设有两个点均有，在与所构成的区间上运用拉格朗日中值定理有，这与矛盾，故结论成立5.总结通过本次论文的书写以及在论文书写研究过程中的一些经验，以及笔者通过对一手资料的参考，基于笔者调查显示的丰富教学实践，笔者主要对数学中常用的不等式有了一下几种新的认识： （1）若要熟练掌握不等式的形式，记忆的成分是必不可少的，但不要死记硬背。 认知心理学强调学习是大脑理解的运动过程，行为教学并不能单纯的归为一个简单的操作，还要关注学生的情感发展。教师面对任何新出现的知识，都应该尝试找到相关的背景知识对于一

23、些学生已经掌握的知识，教学可以通过大脑皮层的深度加工来加强学生的认知，理解和认识，从而使的学生产生新的知识，在在学生的头脑运动的过程中新的知识形成就可以变的水到渠成。基于学生的智力发展理论观点，所谓元认知就是认知意识。近年来，元认知心理学教给学生如何学习并取得了一些成果。教学也应该是认知心理学和元认知理论主张适当补充内存，使学生掌握学生理解不等式的指导下，所以在学生心目中的不平等不只会在形式上，它会和学生原有的知识形成一个新的反应，使得学生更加容易的接受新知识。 （2）为了更好地理解不等式，证明应注意的细节。正如前面提到的，教师在知识的教学过程不应该让学生死记硬背，则一个新的不等式的证明提出了

24、将能更好地帮助学生理解和记忆的不平等和内容。证明一个命题，在本质上，其心理过程是找到的条件和结论，包括这种心理过程知识之间的逻辑蕴涵关系，当这种内在的逻辑性被激活时，这些条件和结论之间的关系的概念就会被证明。在证明的一个或几个命题之间的知识认知结构间的联系首先被激活，这些被激活每一个知识点，互相联络，向外扩展，以获得一个完整并附有逻辑的证明。这种证明不仅锻炼他们的思维，加深对知识的记忆和的理解，学生学习的知识点，并且为其后来灵活应用打下了良好的基础。实质性的知识和理解的数学教学，建立与现有的数学知识，数学知识体系，通过各种渠道建立联系，在证明命题的过程中是非常重要的。(3)不等式的应用要符合一

25、定的条件，当老师传授的知识，必须找到一种方法，让学生明确这些条件，以便使学生了解实际不平等。利用“不等式”求最值要符合“正、定、等”三个条件，如果不符合这三个条件的任何一个，而盲目的从表面形式上应用该不等式解题，并结果无疑是错误的。如果老师不这样做的新知识的透彻分析在上述三个条件的教学，使学生不具备上述三个条件有一个全面的了解学生的将是知识形成的头脑思维障碍。事实上，数学思维障碍，有的来自学生本身，毫无疑问，也是教学目标的一部分也是我们往往容易疏忽的一部分。对于教师教学来讲，如果这三个条件有遗漏或强调不够，使学生形成的知识体系结构不完善或者是数学的逻辑思维能力的欠佳多会对学生今后的生活起到不可

26、低估负面作用。 （4）不等式的各种推广形式不容忽视。我们怎样才能更好地发展，培养学生的数学技能，这是心理学和数学教育工作者共同关注的问题。高校数学教学是实现高等教育高素质人才培养课程目标的主要渠道，对于高校学生更加不能学好数学等同于解决数学问题。初高中数学知识较少，思维能力要求相对较低，和高校的课堂能力，思维能力是往往不成正比，初中和高中的内容侧重于强调对发展和研究的基本内容，而高校的教学旨在提高学生实践能力与创新能力。新课程标准还强调教学方法和探索性研究性学习的实施，对教学这一教学理念的逐步渗透。不等式作为高校数学教学的一项重要内容，就应该让新课程标准很好的指引我们的教学，在培养学生的创新能

27、力和实践能力上下些功夫。促进学生思维水平的更快发展，让学生更高、更快发展的思维水平反过来更好的服务于高中数学的教与学。有效的数学教学，应起始于精细的数学认知分析，配之以灵活的设计，充分关注数学及其本质。另外，“教会学生学会学习”、“培养学生终身学习的能力”等观念已经成为我国新一轮课程改革的重点。21世纪需要新一代去创造，这就要求教师在教学中努力培养学生的创造才干，培养他们从小学会思维，力求遇到问题有周密、准确的思维能力，鼓励学生勇于创新。参考文献1 刘国平.高中数学不等式必修课程教学的实践与探索D.苏州大学 2012 2 任爽.中学数学中化归思想的研究D.天津师范大学 2011 3 张志明.高校学生不同思维类型对学习数学影响的研究D.湖南师范大学 2010 4 钟宜福.新课程理念下问题解决在中学数学教学中的实施D.福建师范大学 2011 5 刘东辉.交流与合作活动在高中数学教学中的实施策略研究D.首都师范大学 2012 6 解少娟.基于实践层面的有效数学教学策略研究D.宁波大学 2011 7 许鸣峰.数学思想方法及其教学研究D.南京师范大学 2008 8 尹德霞.中学数学教育实践中的数学文化案例探究D.首都师范大学 20059 杨贵玉.数学思想方法的教学研究D.东北师范大学 2012 10 马艳.数学教学中化归思想方法的应用研究D.西北师范大学 2011专心-专注-专业