空间向量解决立体几何问题--未来花园总结版(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上空间向量解决立体几何知识总结1、定义在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量。2、空间直角坐标系中向量的坐标表示在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3 空间向量的直角坐标运算律（重难点所在，应重视记忆）若，则， ，即若，则“一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标”应用举例例在正方体中，分别是的中点，求证

2、平面证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，设，分别以为坐标向量建立空间直角坐标系，则， ，又，所以，平面4、模长公式若，则，5 夹角公式6 两点间的距离公式7 若，则，或 7、空间向量的相关定理平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使.要注意其中对向量的非零要求 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线共线向

3、量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 其中向量叫做直线的方向向量.空间直线的向量参数表示式：或，中点公式 向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有或 上面式叫做平面的向量表达式空间向量基本定理

4、：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度10空

5、间向量数量积的性质： （1）（2）（3）11空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律）应用举例例 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0） （1）=0，SCBC（2）设SC与AB所成的角为，=（0，0），=4，| |=4，cos=，即为所求例 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 （1）证

6、明ADD1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED面A1D1F解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）（1） =（2，0，0）（0，1，2）=0，ADD1F（2）=（0，2，1）（0，1，2）=0，AED1F，即AE与D1F成90角（3）=（2，2，1）（0，1，2）=0，DED1FAED1F，D1F面AEDD1F面A1D1F，面AED面A1D1F小结：1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等专心-专注-专业