立体几何中的向量问题空间角与距离高考数学总复习高中数学课时训(共10页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何中的向量问题空间角与距离基础自测1.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为 .答案 45或1352.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则该二面角的大小为 .答案 603.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .答案 4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与

2、AB的中点F的距离为 .答案 5.（2008福建理，6）如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 .答案 例1 （2008海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60.(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小.解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则=（1，0，0），=(0,0,1).连接BD,BD.在平面BBDD中,延长DP交BD于H.设=(m,m,1) (m0),由已知,=60,由=|cos, ,可得2m=.解得m=

3、,所以=（,1）.(1)因为cos,=,所以,=45,即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是=(0,1,0).因为cos,=,所以,=60,可得DP与平面AADD所成的角为30.例2 在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离.解 取AC的中点O，连接OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC，SO平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0

4、，0，2），M（1，0），N（0，）.=（3，0），=（-1，0，），=（-1，0）.设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，则，取z=1，则x=,y=-,n=（，-，1）.点B到平面CMN的距离d=.例3 （16分）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45.（1）解 当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.在PBC中，

5、E、F分别为BC、PB的中点，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.4分（2）证明 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，），D（，0，0）.设BE=x，则E（x，1，0），=（x，1，-1）（0，）=0，PEAF.10分（3）解 设平面PDE的法向量为m=(p,q,1),由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）由，得m=.12分而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45,sin45=，=,14分得BE=x=-或BE=x=+（舍去）.故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45.16分1.如图所示，AF、

6、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是O的直径，AB=AC=6，OEAD.（1）求二面角B-AD-F的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.解 （1）AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角.依题意可知，ABFC是正方形，BAF=45.即二面角BADF的大小为45;（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），E（0，0，8），F（0，3，0），=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.cos,= =

7、-.设异面直线BD与EF所成角为，则cos=|cos,|=.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.2.已知：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.（1）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离.（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），E（2，0），F（，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4）.=（-，0），=（2，2，0），=（0，0，4），=0，=0.EFDB，EFDD1，DD1BD=D，EF平面BDD1B1.又EF平面B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.

8、（2）解 由（1）知=（2，2，0），=（-，0），=（0，-，-4）.设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)则n,n即n=（x，y，z）（-，0）=-x+y=0，n=（x，y，z）（0，-，-4）=-y-4z=0，令x=1,则y=1,z=-,n=(1,1,- )D1到平面B1EF的距离d=.3.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点.（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解 方法一 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B

9、、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，1)，从而=（，1，0），=（，0，-2）.设与的夹角为，则cos=，AC与PB所成角的余弦值为.（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则=（-x，1-z），由NE平面PAC可得，即,化简得,即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，.方法二 （1）设ACBD=O，连接OE，AE，BD，则OEPB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，由余弦定理得cosEOA=,即AC与PB所成角的

10、余弦值为.(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则ADF=.连接PF,则在RtADF中,DF=,AF=ADtanADF=.设N为PF的中点，连接NE，则NEDF.DFAC，DFPA，DF平面PAC，从而NE平面PAC.N点到AB的距离为AP=1，N点到AP的距离为AF=.一、填空题1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin,的值等于 .答案 2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为 .答案 3.（2008全国理，11）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的

11、中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 .答案 4.P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角AB的大小为 .答案 905.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为 .答案 6.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AB=BC=AA1，ABC=90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 .答案 607.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正

12、弦值为 .答案 8.正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 .答案 30二、解答题9.如图所示，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC=90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.解 以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.=（0，2，1），=（1，-2，0）.设平面BDF的一个

13、法向量为n=（2，a，b），n，n，即解得a=1，b=-2.n=（2，1，-2）.设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，cos（-）=,即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.10.在五棱锥PABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，EAB=ABC=DEA=90.（1）求证：PA平面ABCDE；（2）求二面角APDE的余弦值.（1）证明 以A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则由已知得A（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0

14、，2a，0）.=（0，0，2a），=（2a，0，0），=（0，2a，0），=02a+00+2a0=0，.同理.又ABAE=A，PA平面ABCDE.（2）解 设平面PAD的法向量为m=(1,y,z),则m=0，得a+2ay=0，y=-.又m=0，得2az=0，z=0.m=（1，-，0）.再设平面PDE的法向量为n=(x,1,z),而=（a，0，0），=（a，2a，-2a），则n=0，得ax=0，x=0.又n=0，得ax+2a-2az=0，z=1.n=（0，1，1）.令二面角APDE的平面角为，则cos=-=，故二面角APDE的余弦值是.11.如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC，AB=BC=k

15、PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC.（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；（2）当k取何值时，二面角OPCB的大小为？解 OP平面ABC，又OA=OC，AB=BC，从而OAOB，OBOP，OAOP，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.（1）设AB=a，则PA=a，PO=a，A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，0，a），则D（-a，0，a）.=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，cos,=-,则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.（2）设AB=a，OP=h，OB平面POC，=(0，a，0)为平面POC的一个

16、法向量.不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，=(-a,- a,0),=(- a,0,-h),由不妨令x=1，则y=-1，z=-，即n=(1,-1,- ),则cos=2+=4h=a,PA=a,而AB=kPA,k=.故当k=时,二面角OPCB的大小为.12.(2008湛江模拟)如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BEB1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.（1）解 如图所示，以D为原点，DA、

17、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz. D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.BEB1C，=4+0-4t=0.t=1，故CE=1.（2）证明 由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），又=（-2，2，-4），=（2，2，0），=4+0-4=0，且=-4+4+0=0.且，即A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面BDE.即A1C平面BED.（3）解 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,cos,=.A1B与平面BDE所成角的正弦值为.专心-专注-专业