函数导数微积分公式(共45页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数y=sin(x)，x-/2，/2的叫做函数，记作x=arsin(y)，习惯上用x表示自变量，用y表示，所以反正弦函数写成y=arsin(x)=arsin(x)=asin(x)的形式。sh= sinh,ch=cosh,th=tanh，cth=coth，sch=sech，xh=csch。e2.9045.= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!.+ 1/n! +.=3.ex=x0/0! + x1/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5!.+ xn/n! +.双曲函数 反双曲函数双曲函数与三角函数的关系

2、(i 为虚数单位，即 ii = -1)sinh(x)=-isin(ix)cosh(x)=cos(ix)tanh(x)=-itan(ix)coth(x)=icot(ix)sech(x)=sec(ix)csch(x)=icsc(ix)与双曲函数有关的恒等式cosh2(x)-sinh2(x)=1coth2(x)-csch2(x)=1tanh2(x)+sech2(x)=1加法公式sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)tanh(x+y)=tanh(x)+tanh(y)/1+tanh(x)

3、tanh(y)coth(x+y)=(1+coth(x)coth(y)/(coth(x)+coth(y)减法公式sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)tanh(x-y)=tanh(x)-tanh(y)/1-tanh(x)tanh(y)coth(x-y)=(1-coth(x)coth(y)/(coth(x)-coth(y)二倍角公式sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)=2cosh2(x)-1=2sinh2(x)+1ta

4、nh(2x)=2tanh(x)/(1+tanh2(x)coth(2x)=(1+coth2(x)/2coth(x)三倍角公式sin(3x)=3sin(x)4sin3(x)sinh(3x)=3sinh(x)+4sinh3(x)cosh(3x)=4cosh3(x)-3cosh(x)半角公式cosh2(x/2)=(cosh(x)+1)/2sinh2(x/2)=(cosh(x)-1)/2tanh(x/2)=(cosh(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1)coth(x/2)=sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x)德莫佛公式(cosh(x

5、)sinh(x)n=cosh(nx)sinh(nx)指数定律对数公式常用导数公式1、y=c(c为常数)y=02、y=xny=nx (n-1) x=1， (1/x )=-1/x2，3、y=axy=axln(a)y=exy=ex4、y=loga(x) y=logax=1/x(ln(a) y=ln(x) y=1/x y=xloga(x) y=loga(x)+1/ln(a)5、y=sin(x) y=cos(x)6、y=cos(x) y=-sin(x)7、y=tan(x) y=1/cos2(x)=(sec(x)28、y=cot(x) y=-1/sin2(x)=(csc(x)2(sec(x) =sec(x

6、)tan(x) (cscx) =-csc(x)cot(x)9、y=arcsin(x) y=arcsinh(x) 10、y=arccos(x) y=arccosh(x) 11、y=arctan(x) y=1/(1+x2) y=arctanh(x) y=1/(1-x2) (|x|1)12、y=arccot(x) y=-1/(1+x2) y=arccoth(x) y=1/(1-x2) (|x|1)13、(sinh(x) =cosh(x)(cosh(x) =sinh(x)(tanh (x) =1/cosh2(x)(coth(x) =1/sinh2(x)求导法则1、 复合函数求导：y=f(u)=fg(x

7、)，y=f(u)g(x)= fg(x)g(x)fg(x)中u=g(x)看作整个变量，而g(x)中把x看作变量2、求导四则运算法则：(1) (2)(3)3、反函数求导：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y=1/x证明1、显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，y=c-c=0，limx0y/x=0。2、这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=ex y=ex和y=ln(x)y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3、y=axy=a (x+x)-ax=

8、ax(ax-1)y/x=ax(ax-1)/x如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+)。所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+) 1/显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0 (1+) 1/=e，所以lim01/loga(1+) 1/=1/logae=ln(a)。把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后得到limx0y/x=axln(a)。可以知道，当a=e时有y=ex y=ex。4、y=loga(x) y=loga(x+x)-loga(x)=loga(x+x)/x

9、=loga(1+x/x) x/x y/x=loga(1+x/x) (x/x)/x因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以limx0loga(1+x/x) (x/x)logae，所以有limx0y/xlogae/x。可以知道，当a=e时有y=ln(x) y=1/x。这时可以进行y=xn y=nx (n-1)的推导了。因为y=xn，所以y=enln(x)，所以y=enln(x)(nln(x)=xnn/x=nx (n-1)。5、y=sin(x) y=sin(x+x)-sin(x)=2cos(x+x/2)sin(x/2) y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)

10、sin(x/2)/(x/2)所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cos(x)6、类似地，可以导出y=cos(x) y=-sin(x)。7、y=tan(x)=sin(x)/cos(x)y=(sin(x)cos(x)-sin(x)(cos(x)/cos2(x)=(cos2(x)+sin2(x)/cos2(x)=1/cos2(x) y=1/cos2(x)8、y=cot(x)=cos(x)/sin(x) y=(cos(x)sin(x)-cos(x)(sin(x)/sin2(x)=-1/sin2(x)9、y=arcsin(x) x=sin(y) x

11、=cos(y) y=1/x=1/cos(y)= =10、y=arccos(x) x=cos(y) x=-sin(y) y=1/x=-1/sin(y)=11、y=arctan(x) x=tan(y) x=1/cos2(y) y=1/x= cos2(y)=1/sec2(y)=1/(1+tan2(y)=1/(1+x2)12、y=arccot(x) x=cot(y) x=-1/sin2(y) y=1/x=-sin2(y)=-1/csc2(y)=-1/(1+cot2(y)=-1/(1+x2)微分函数y=f(x)在x处的微分，dy=ydx=f(x)dxy=f(u(x)dy= ydx= f(u(x)du=

12、f(u(x) u(x)dx运算法则积分换元积分法分部积分法设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数，则移项得到 两边积分定积分用分部积分法时选择哪个函数为u 哪个为dv 很要紧，ILATE约法给出一个简单的选择u 的方法:I: : arctan x, arcsec x, etc.L: : ln x, , etc.A: : , , etc.T: : sin x, tan x, etc.E: : , , etc.u 确定后，另一个函数自然是dv. ILATE这个代表优先选择的顺序。积分型换元公式分部积分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。定积分计算公式和性质一、变

13、上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图 5-10从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5-10)定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度作

14、直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图 5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图5-11)即 由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的

15、方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1 计算因为是的一个原函数所以例2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解 这个图形的面积为图 5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即 这个性质对有限个函数代数和也成立。性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。性质4 如果将区间分成两个子区间及那么有这个于区间分成有限个的情形也成立。下面用

16、定积分的几何意义，对性质4加以说明。当acb时，从图5-13a可知，由y=f与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积:图 5-13a图 5-13b因为所以即性质4成立。当abc时，即点c在外，由图5-13b可知，显然，性质4也成立。总之，不论c点在内还是外，性质4总是成立的常 用 积 分 公 式(一)含有的积分()1 2()3456789(二)含有的积分101112131415161718(三)含有的积分19=20=21=(四)含有的积分22232425262728(五)含有的积分2930(六)含有的积分3132333435363738394041424344(七)含有的积分45=46474

17、849505152535455565758(八)含有的积分5960616263646566676869707172(九)含有的积分737475767778(十)含有或的积分79808182(十一)含有三角函数的积分8384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112(十二)含有反三角函数的积分(其中)113114115116117118119120121(十三)含有指数函数的积分122123124125126127128129130131(十四)含有对数函数的积分132133134135136(十五)

18、含有双曲函数的积分137138139140141(十六)定积分14201430144145146147 (为大于1的正奇数)，1(为正偶数)，一元三次方程求根公式(盛金公式)一元三次方程 ， ；重根判别式 ；，总判别式 。当时，盛金公式： 。 当时，盛金公式：；, 其中， 。当时，盛金公式：；， 其中， 。当时，盛金公式：；， 其中， (，)专心-专注-专业超越方程（非线性方程）类似lg x + x = 0的方程，叫超越方程。f(x)=lg x + x叫超越函数。1 对分法设函数f (x)在区间a,b上连续，严格单调且 f (a ) f (b)eps x=(x+1)*exp(-x)/(1+ex

19、p(-x); n=n+1;endx,n结果为x=0.5671,n=2,说明迭代2次后达到精度要求。杨辉三角形（(a+b)n的展开式）1次方1111212133131464141510105151615201561617213535217171828567056288181936841261268436919第n行：1，nC1，nC2，nC（r-1），nCr，nC（r-1），1前提：端点的数为1.1、每个数等于它上方两数之和。2、每行左右对称，由1开始逐渐变大。3、第n行的数字有n项。4、第n行数字和为2n-1。5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-

20、m)（性质之一）6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即。7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。组合数计算方法：C(n,m)=n!/m!(n-m)!8、(a+b)n的展开式中的各项依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。1 9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数连成一线，这些数的和是第4n+1个；将第2n行第2个数(n1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数这些数之和是第4n-2个。