《量子力学导论》习题答案（曾谨言版北京大学）(共37页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， 试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有 （1）又据de Broglie关系 （2）而能量 （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有即 （：一来一回为一个周期）,同理可得， , ,粒子能量 1.3设

2、质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 提示：利用 解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 （1）其中由下式决定：。 0 由此得 ， （2）即为粒子运动的转折点。有量子化条件得 （3）代入（2），解出 （4）积分公式： 1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量。解：平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件 ，因而平面转子的能量，第二章 波函数与Schrdinger方程2.1设质量为的粒子在势场中运动。（a）证明粒子的能量平均值为 ， （能量密度）（b）证明能量守恒公式

3、（能流密度） 证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化） （1） （势能平均值） （2）其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此 （3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4） 且能量平均值 。（b）由（4）式，得 （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度不随时间改变）所以 。2.2考虑单粒子的Schrdinger方程 （1）与为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为证：（a）式（1）取复共轭， 得 （2） （1）-（2）,得 （3）即 ，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积积分，得上式右边

4、第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（ ） ，而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3 设和是Schrdinger方程的两个解，证明。证： （1） （2）取（1）之复共轭： （3）（3）（2）,得 对全空间积分：，（无穷远边界面上，）即 。2.4）设一维自由粒子的初态， 求。解： 2.5 设一维自由粒子的初态，求。提示：利用积分公式 或 。解：作Fourier变换： ， （） （指数配方）令 ，则 。2.6 设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，式中 是的Fourier变换。提示：利用 。证：根据平面波的时间变化规律 ， ，任意时刻的波函数为

5、（1）当时间足够长后（所谓） ，上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取 ， ， （2）参照本题的解题提示，即得 （3） （4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。2.7 写出动量表象中的不含时Schrdinger方程。解：经典能量方程 。在动量表象中，只要作变换，所以在动量表象中，Schrdinger为： 。第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值

6、和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为若，则 这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如 3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数. （1） （2）在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为

7、弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 ， （3）， （4）当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。解：基态波函数为 , （参P57，（12）动量的几率分布3.5）设粒子处于半壁高的势场中 （1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出: （2）其中 （3）方程的解为 （4）根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则当时，则于是 （5）在处，波函数及其一级导数连续，得 （6）上两方程相比，得 （7）即 （7） 若令 （8）则由（7）和（3），

8、我们将得到两个方程：（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即 （11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。36）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即，当时，故有由在、处的连续条件，得 （1）由（1a）可得 （2）由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。因而 （3）又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式， (4)由(3)，得 (5)结合(4),(5)，得 或 （6）一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级： （

9、7）当时，仅当 才有束缚态 ，故给定时，仅当 （8）时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:其中 37）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。解：势阱为 在区域上有入射波与反射波，在区域上仅有透射波。故由，得 。由，得 。从上二式消去c, 得 。反射系数 将代入运算，可得38）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11），证明谐振子波函数满足下列关系并由此证明，在态下， 证：谐振子波函数 （1）其中，归一化常数 （2）的递推关系为 （3） 39）利用Hermite多项式的求导

10、公式。证明（参A3.式（12）证：A3.式（12）：310）谐振子处于态下，计算，解：由题36）， 由题37），对于基态，刚好是测不准关系所规定的下限。311）荷电q的谐振子，受到外电场的作用， （1）求能量本征值和本征函数。解： （2）的本征函数为 ， 本征值 现将的本征值记为，本症函数记为。式（1）的势能项可以写成 其中 （3）如作坐标平移，令 （4）由于 （5）可表成 （6）（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知 （7） （8）即 （9） (10)其中 (11)312）设粒子在下列势阱中运动，求粒子能级。解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的

11、S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以313）设粒子在下列势阱中运动， (1)是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq: (2)对于束缚态（），令 (3)则 (4)积分,得跃变的条件 (5) 在处，方程(4)化为 (6)边条件为 因此 (7)再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得 (8) (9)由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式） (

12、10)此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，所以,利用 ,（10）式化为 ,因此至少存在一条束缚态能级的条件为 （11）纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度 。条件（11）可改写为 （12）即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出即 （13）与势阱的结论完全相同。令， 则式（10）化为 （14）由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即

13、可求出能级 （15）第四章 力学量用算符表达与表象变换4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且证：）为厄米算符。）也为厄米算符。）令，则，且定义 （1）由），）得，即和皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得 4.2）设是的整函数，证明整函数是指可以展开成。证： （1）先证。同理，现在，而 。又 而 4.3）定义反对易式，证明证：4.4）设，为矢量算符，和的标积和矢积定义为，为Levi-civita符号，试验证 （1） （2） （3）证：（1）式左端（1）式右端也可以化成 。 （1）式得证。（2）式左端 （）（2）式右端 故（2）式成立。（3）

14、式验证可仿（2）式。4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明 （1） （2）证：（1）式右端（1）式左端（2）式右端 （2）式左端4.6）设是由，构成的标量算符，证明 （1）证： （2） （3）同理可证， （4） （5）将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。4.7）证明 。证：利用基本对易式 即得 。因此 其次，由于和对易，所以因此，4.8）证明 （1） （2） （3） （4）证: （1）利用公式 ，有其中 因此 （2）利用公式， （）可得 由，则（2）得证。（3）（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2）， ，其中（即）类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得

15、证。4.9）定义径向动量算符 证明：， ，证：，即为厄米算符。据4.8）（1），。其中 ，因而 以左乘上式各项，即得4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量 。又奇，（由(3.8)、(3.9)题可知），由测不准关系，得 。，得 同理有，。谐振子（三维）基态能量。4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为。类氢原子基态波函数，仅是的函数。而，故只考虑径向测不准关系， 类氢原子径向能量为：。而，如果

16、只考虑基态，它可写为，与共轭，于是， （1）求极值 由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得基态能量，运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证：设定态波函数的空间部分为，则有为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系：。这里已用到最基本的对易关系，由此这里用到了的厄米性。 这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。4.13）证明在的本征态下，。（提示：利用，求平均。）证：设是的本征态，本征值为，即，同理有：。4.14) 设粒子处于状态

17、下，求和解：记本征态为，满足本征方程，利用基本对易式 ，可得算符关系 将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 又上题已证 。同理 。4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求（a）的可能测值及平均值;（b）的可能测值及相应的几率；（c）的可能测值及相应的几率。解：，；，。（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。（b）的可能测值为，相应的几率为，。（c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，0，。1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是求本征矢并令，则，得，。）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。）取，得，本征矢为，归一化后可

18、得本征矢为。）取，得，归一化后可得本征矢为。在态下， 取的振幅为，取的几率为；取的振幅为，相应的几率为；取的振幅为，相应的几率为。总几率为。2）在的空间，对角化表象中的矩阵利用 ，。，本征方程，。），本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；），本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。），本征矢为，在态下，测得几率为。），本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为；），本征矢为，在态下，测得的几率为。在态中，测（和）的可能值及几率分别为：4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。解： ，。是归一化的。，。它们是正交归一的，但仍然是简并的（可

19、验证：它们仍对应于同一能级）。4.17）设有矩阵等，证明，表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。证：（1）由定义，故上式可写成：，其中是的任意一个置换。（2）（3）（4）（5） 第五章 力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。在束缚定态，有。其复共轭为。5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为证：,证毕。5.4）设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。证：算符相当于将

20、体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参 钱. .剖析. P327）5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则。是的一个分量， 是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值，。证： （）又，。不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1）证：式（1）左端 （2）计算中用到了公式 。由于是厄米算符，有下列算符关

21、系： （3）式（2）取共轭，得到 （4）结合式（2）和（4），得证毕。5.7）证明schrdinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：。 （1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2）证明schrdinger方程在参照系中表为 在参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。， 是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6）从（1）式有 （6）由此可以得出， 和

22、两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7）由（1）式， , , （3）式变为： （8）将（7）代入（8）式，可得 （9）选择适当的，使得（9）（4）， 。 （10） （10）从（10）可得 。 （11）是的任意函数，将（11）代入（10），可得积分，得 。为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到 （12）代入（7）式，最后得到波函数的变换规律： （13）逆变换为 （13）相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。讨论：的函数形式也可用下法求出：因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定.沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 （14）据此，系和系中相应的平面波波函数为， （15）（1）、（14）代入（15），即得此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。专心-专注-专业