考研数学一真题解析2010(共26页).docx

《考研数学一真题解析2010(共26页).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学一真题解析2010(共26页).docx（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限=(A)1(B)(C)(D) 【考点分析】：考察1型不定性极限。【求解过程】：n 方法一：利用求幂指型极限的一般方法：I=limxx2x-ax+bx =limxexlnx2x-a(x+b)归结为求因此，I=ea-b，选C【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有：n 方法二：利用第二个重要极限求解【基础回顾】：一般地，对于1型极限，均可利用第二个重要极限求解：设，则 (2)设函数由方程

2、确定,其中为可微函数,且则=(A)(B)(C)(D) 【考点分析】：隐函数求导【求解过程】：n 方法一：全微分法方程两边求全微分得：，即整理得所以，。代入即可求得。选B.n 方法二：隐函数求导公式法记，对于隐函数,利用隐函数求导公式得：，代入即可求得。选B。n 方法三：复合函数求导法由方程可确定。方程两边分别对x,y求偏导，注意。由复合函数求导法则：对x求偏导: 对y求偏导：解得： 代入即可求得。选B。【方法总结】：上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。要熟悉隐函数求导公式和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。(3)设为正整数,则反常积分的收敛性(A)仅与取值有关(B)

3、仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关【考点分析】：反常积分的判敛法则，超纲题【基础回顾】：利用反常积分的判敛法则对瑕点为的瑕积分，设在上连续，且，有如下判敛准则： 若则收敛； 若则发散。【求解过程】：因为，所以x=1为瑕点。而，所以x=0是否为瑕点取决于是否为负数。仅当与都收敛，I收敛，否则I发散。的敛散性时，与 敛散性相同，因为m,n均为正整数，所以-1,若n则，与矛盾故必是m X=0,即BX=0有唯一零解，故同理设方程组，两边左乘，得 ，即有唯一零解，故，选A(6)设为4阶实对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B) (C)(D) 【考点分析】：矩阵特征值的求解，对称矩阵必相

4、似于对角阵，相似矩阵的秩相等【求解过程】：n 方法一：矩阵多项式方程与矩阵特征值的关系 由得矩阵的特征值满足方程，所以 由于为实对称矩阵，故可相似对角化，即，对角阵对角线上的元素为的特征值 由于的秩为，所以的秩也为，所以对角线上的元素一个为，其他为。综上，选D【基础回顾】：若给定矩阵的多项式方程，则的特征值满足，由此求得的值为矩阵的全部特征值n 方法二：用分块矩阵设按列分块为，由知的列向量组的极大无关组含个向量，不妨设为的列向量组的极大无关组，由于，即即得由此可知是的特征值，且是对应的个线性无关的特征向量，故是的至少3重特征值。而r(A)=34,所以0也是A的一个特征值，于是A的全部特征值为-

5、1，-1，-1,0；且每个特征值的重数等于其对应的线性无关的特征向量的个数。因此A相似于对角阵D=diag(-1,-1,-1,0),选D(7)设随机变量的分布函数 ，则=(A)0(B)1 (C)(D)【考点分析】：由分布函数求概率【基础回顾】：利用分布函数的性质：【求解过程】：,由分布函数F(x)得，所以，选C(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度, 为概率密度,则应满足(A)(B) (C)(D)【考点分析】：概率密度的性质和正态分布和均匀分布的性质【求解过程】：由标准正态分布的性质得由均匀分布的性质得，所以。所以，即2a+3b=4,选A二、填空题(9-14小题,每小题4分,共

6、24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设求= .【考点分析】：参数方程求导、变上限积分求导【求解过程】：方法一：利用参数方程求导公式求解把t=0代入上式即可得，填0；方法二：消去参数再求导数。由得，且t=0时，x=1，则把x=1代入上式得，填0【自我总结】：方法一较常用，方法二仅作为参考。(10) = .【考点分析】：定积分的变量替换和分部积分【求解过程】：令，则填。(11)已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分= .【考点分析】：第二类曲线积分、格林公式【求解过程】：n 方法一：用参数法求解第二类曲线积分，填0。n 方法二：加减弧线，利用格林公式求解。添加直线段如上图：，记。则为闭曲

7、线且所围区域记为D,此时，由于积分域D关于y轴对称，且被积函数是x的奇函数，所以。填0n 方法三：凑全微分法被积表达式分为两部分，一部分易求出原函数，另一部分直接化为定积分，填0(12)设则的形心的竖坐标= .【考点分析】：三重积分的物理应用，形心坐标公式【求解过程】：如图所示：形心公式：三重积分的计算：n 方法一：截面法用先二后一的公式分别求解这两个三重积分。与Z轴垂直的截面区域的面积为。又所以，填n 方法二：柱坐标用柱面坐标计算三重积分所以，填(13)设若由形成的向量空间的维数是2,则= .【考点分析】：向量空间维数的概念【求解过程】：n 方法一：矩阵初等变换因为，由形成的向量空间的维数是

8、2，所以，。对矩阵进行初等行变换得：所以，a=6.填6n 方法二：向量空间与基底形成的向量空间的维数是2，其中不成比例，线性无关，是该向量空间的一组基，所以可由线性表出，即方程组有解。由有解，填6(14)设随机变量概率分布为则= .【考点分析】：概率分布基本性质，泊松分布及其性质【求解过程】：n 方法一：识记泊松分布的期望和方差根据概率分布的基本性质，可知，所以，。即随机变量X服从参数为1的泊松分布。则，所以，填2。n 方法二：推导泊松分布的期望和方差同方法一求出，若不记得泊松分布的期望与方差的性质，可直接计算，填2【方法小结】：方法一：X 服从参数为的泊松分布，则其方法二：推导过程用到了的幂

9、级数的展开式，但对于填空题来讲，方法一较为快速准确。三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程的通解.【考点】：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解【题解】：对应齐次方程的特征方程为：，特征根为：。故，对应齐次方程的通解为。非齐次项是单特征根，故设原方程的特解：。则，代入原方程得：即 。故，原方程的通解为：。【基础】：设二阶线性非齐次方程：若，则特解，其中是与同次的多项式 0, 不是特征方程的根K= 1, 是特征方程的单根 2, 是特征方程的二重根若，则设特解为，其中，是m次多项式， 0,不是

10、特征方程的根K=1,是特征方程的根 (16)(本题满分10分) 求函数的单调区间与极值.【考点】：函数的单调性和极值，变上限积分的求导【题解】：n 方法一：利用极值的第一充分条件判断极值。的定义域为，令得，的驻点为。为讨论的单调区间及驻点，列表如下：x-101-0+0-0+极小极大极小因此，的单调增加区间为及；单调减少区间为及，极小值为，极大值为。n 方法二：利用极值的第二充分条件判断极值。同方法一求出的导函数和驻点和单调区间。利用极值的第二个充分条件，判断函数的极大值和极小值。，所以，是极大值，是极小值。(17)(本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由.(2)记求极限【考点】：定积分的

11、不等式性质，分部积分，夹逼准则求极限【思路】：根据定积分的不等式性质求解(1)，再用(1)的结论结合夹逼准则求解(2)【题解】：(1) 当时，因为，所以，且不等号两侧不恒相等。因此(2) 由(1)知而：所以，而，故由夹逼定理知(18)(本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.【考点】：幂级数的收敛域及其和函数【思路】：利用幂级数和函数的性质和常见函数的幂级数展开式求和函数，利用比值法或公式法求收敛区间，再用莱布尼茨法则判断端点处的敛散性。【题解】：利用比值法求收敛区间：记，所以，当，即时，绝对收敛，当时，发散，因此幂级数的收敛半径R=1，收敛区间为利用公式法求收敛区间：原级数只有偶数项不能直

12、接用公式法求收敛区间令，则，故的收敛半径：，收敛区间为的收敛区间为即当时，是交错级数，由莱布尼茨法则知级数收敛，故幂级数的收敛域为。求和函数记为级数的和函数，则其中由幂级数和函数的性质得：所以。故，即就是左端幂级数的收敛域。由于与有相同的收敛域，又逐项求导保持收敛半径不变，所以的收敛区间为，当时，*式左端级数收敛，右端函数连续，故*式在处也成立。(19)(本题满分10分)设为椭球面上的动点,若在点的切平面与面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分.【考点】：第一类曲面积分，曲面的切平面【思路】：先解出轨迹C的方程，把题目中的曲面积分化为二重积分求解【题解】：记，则椭球面S

13、上P(x,y,z)处的法向量是，若S在P点处的切平面垂直于xOy平面，则P点处S的法向量垂直于，因而。因为P点在椭球面上，故所求P点应满足，即（它是椭圆柱面与平面的交线）故所求轨迹C的方程为。曲面积分的积分曲面在xOy平面上的投影即为的底面（曲线C围成的平面）在xOy面上的投影。投影区域为，即。注意：设曲面F(x,y,z)=0。直接将F(x,y,z)=0与z=0联立求其在xoy面上的投影有两个条件：1.F(x,y,z)=0可表示成z=G(x,y)的形式；2.曲面与xoy平面相交，而且相交得到的曲线为曲面的边界曲线。本题中不满足第二个条件，故若直接将曲面方程与z=0联立得到的曲线方程所围的区域并

14、不是曲面在xoy面的投影区域。记的方程为，由隐函数求导法则得：从而 故，其中（因为D关于y轴对称，且被积函数是关于x 的奇函数） (20)(本题满分11分)设已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求(2)求方程组的通解.【考点】：线性方程组解的性质、有解条件及求通解【思路】：由有两个不同的解，得到，再求和方程组的通解。【题解】：n 方法一：利用线性方程组的解与方程组秩的关系。(1)有两个不同的解。当时，方程组无解；当时，即时，存在两个不同的解。故；当时，；当，即时，方程组无解。综上有：(2)当时，所以方程组的通解为，其中是任意常数。n 方法二：用行列式。(1) 有两个不同的解，有故或。当时有，

15、方程组无解。当时，若，则，方程组有无穷多解；否则方程组无解。故(2)同方法一。(21)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为(1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.【考点】：正交矩阵、特征值、特征向量、正定矩阵等【思路】：(1)中运用矩阵A与标准型及变换矩阵Q直接的关系求解；利用正定矩阵的充要条件证明(2)【题解】：n 方法一：利用可逆矩阵二次型在正交变换下的标准型为，说明二次型矩阵A的特征值是1,1,0。又因的第三列是，说明是矩阵A关于特征值的特征向量。因为A是实对称矩阵，特征值不同的特征向量正交。设A关于的特征向量为，则，即。取，那么是的特征向量。由有n 方

16、法二：利用正定矩阵二次型在正交变换下的标准型为，说明二次型矩阵A的特征值是1,1,0。又因的第三列是，说明是矩阵A关于特征值的特征向量。因为A是实对称矩阵，特征值不同的特征向量正交。设A关于的特征向量为，则，即。可取，那么是的特征向量。又相互正交，只需单位化得：取，则故矩阵（2）n 方法一：正定矩阵与特征值的关系因为矩阵A的特征值为1,1,0，所以矩阵A+E的特征值为2,2,1。因其所有特征值均大于零，故A+E是正定矩阵n 方法二：利用正定的定义，则故，则（，故）。故A+E是正定矩阵。n 方法三：利用顺序主子式由于，故A+E的顺序主子式：，故A+E是正定矩阵。 (22)(本题满分11分)设二维

17、随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度【考点】：二维正态分布、边缘概率密度和条件概率密度。【思路】：根据概率密度的积分为1，可求得常数A，积分中用到正态分布概率密度的积分为1或泊松积分的值。另外符合二维正态分布概率密度函数的形式也可利用二维正态分布求解。【题解】：n 方法一利用泊松积分所以，又，于是。【补充】：泊松积分的计算：，其中另外，该积分也可由标准正态分布概率密度函数积分为1，求得n 方法二：凑成正态分布的分布密度函数于是得：又于是n 方法三：利用二元正态分布的联合概率密度。依题意是以e为底的二元指数函数且其指数为x,y的二次三项式，因此它是二元正态分布的联合概率密度，即易见参数，且解

18、得于是。根据二维正态分布的边缘分布为一维正态分布，于是有，即因此，【小结】：方法二较为常见，凑成正态分布为典型的方法方法一和方法三均需要识记一些超纲的内容。(23)(本题满分11 分)设总体的概率分布为123其中未知,以来表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数试求常数使为的无偏估计量,并求的方差.【考点】：无偏估计、数学期望和方差的性质、二项分布【思路】：由题意可判断出服从二项分布，利用二项分布的性质易知，若T为的无偏估计，则。即可解出的值。再由方差的性质，计算T的方差。【题解】：根据简单随即样本的性质，样本相互独立且与总体同分布，因此。在n次独立观测中取1的个数是一个随机变量，且。同理。于是若T为的无偏估计，则，即解出。从而可知，又由于。于是，注意到，。所以，。【小结】：，将T由转化成是关键，不然因为不独立，将导致计算比较复杂甚至无法计算。专心-专注-专业