2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析(共16页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013重庆）已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，3，则U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D4考点：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合解答：解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集U=1，2，3，4，U（AB）=4故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定

2、义是解本题的关键2（5分）（2013重庆）命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x020考点：命题的否定；全称命题菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意xR，都有x20”的否定为存在x0R，使得x020故选D点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查3（5分）（2013重庆）（6a3）的最大值为（）A9BC3D考点：二次函数在闭区间上的最值菁优网版权所有专题：函数的

3、性质及应用分析：令f（a）=（3a）（a+6）=+，而且6a3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值解答：解：令f（a）=（3a）（a+6）=+，而且6a3，由此可得函数f（a）的最大值为 ，故（6a3）的最大值为 =，故选B点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题4（5分）（2013重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A2，5B5，5C5，8D8，8考点：茎叶图菁优网版权所有专题：概率与统计分析：求乙组数据的平

4、均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可解答：解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）5=16.8；y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27所以中位数为：10+x=15，x=5故选：C点评：本题考查了中位数和平均数的计算平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数5（5分）（2013重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC200D240考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专

5、题：空间位置关系与距离分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积解答：解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V=200故选C点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6（5分）（2013重庆）若abc，则函数f（x）=（xa）（xb）+（xb）（xc）+（xc）（xa）的两个零点分别位于区间（）A（a，b）和（b，c）内B（，a）和（a，b）内C（b，c）和（c，+）内D（，a）和（c，+）内考点：函数零点的判定定理菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：由函数零点存在判定定

6、理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出解答：解：abc，f（a）=（ab）（ac）0，f（b）=（bc）（ba）0，f（c）=（ca）（cb）0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内故选A点评：熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键7（5分）（2013重庆）已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，

7、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A54B1C62D考点：圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式菁优网版权所有专题：直线与圆分析：求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值解答：解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=54故选A点评：本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力8（5分）（

8、2013重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）Ak6Bk7Ck8Dk9考点：程序框图菁优网版权所有专题：图表型分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件解答：解：根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3第二次循环 log23log34 4第三次循环 log23log34log45 5第四次循环 log23log34log45log56 6第五次循环 log23log34log45log56log67 7第六次循环 log23log34log45log56log67log78=log28=3

9、 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k7故选B点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律本题属于基础题9（5分）（2013重庆）4cos50tan40=（）ABCD21考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果解答：解：4c

10、os50tan40=4sin40tan40=故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键10（5分）（2013重庆）在平面上，|=|=1，=+若|，则|的取值范围是（）A（0，B（，C（，D（，考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题：压轴题；平面向量及应用分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论解答：解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点

11、O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则|，（xa）2+y2=1，y2=1（xa）21，y21同理x21x2+y22由知，|=，|故选D点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）（2013重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=考点：复数求模菁优网版权所有专题：计算题分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果解答：解：|z|=故答案为：点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力12（5分）（2013重庆）已知an是等差

12、数列，a1=1，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64考点：等差数列的前n项和；等比数列的前n项和菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列分析：依题意，a1=1，=a1（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案解答：解：an是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，=a1（a1+4d），又a1=1，d22d=0，公差d0，d=2其前8项和S8=8a1+d=8+56=64故答案为：64点评：本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题13（5分）（2013重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组

13、成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有专题：压轴题；概率与统计分析：不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，在每一类中都用分步计数原理解答解答：解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120

14、种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种故答案为：590点评：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14（5分）（2013重庆）如图，在ABC中，C=90，A=60，AB=20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5考点：与圆

15、有关的比例线段菁优网版权所有专题：直线与圆分析：利用直角ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得BCD=A=60利用直角BCD的边角关系即可得出CD，BD再利用切割线定理可得CD2=DEDB，即可得出DE解答：解：在ABC中，C=90，A=60，AB=20，BC=ABsin60=CD是此圆的切线，BCD=A=60在RtBCD中，CD=BCcos60=，BD=BCsin60=15由切割线定理可得CD2=DEDB，解得DE=5故答案为5点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键15（5分）（2013重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建

16、立极坐标系若极坐标方程为cos=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题：压轴题；直线与圆分析：先将直线极坐标方程cos=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|解答：解：将直线极坐标方程cos=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，8），则|AB|=16故答案为：16点评：本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力16

17、（2013重庆）若关于实数x的不等式|x5|+|x+3|a无解，则实数a的取值范围是（，8考点：绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：压轴题；不等式的解法及应用分析：利用绝对值的意义求得|x5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围解答：解：由于|x5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x5|+|x+3|a无解，可得a8，故答案为：（，8点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1

18、7（13分）（2013重庆）设f（x）=a（x5）2+6lnx，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数f（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从

19、而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值解答：解：（1）因f（x）=a（x5）2+6lnx，故f（x）=2a（x5）+，（x0），令x=1，得f（1）=16a，f（1）=68a，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y16a=（68a）（x1），由切线与y轴相交于点（0，6）616a=8a6，a=（2）由（I）得f（x）=（x5）2+6lnx，（x0），f（x）=（x5）+=，令f（x）=0，得x=2或x=3，当0x2或x3时，f（x）0，故f（x）在（0，2），（3，+）上为增函数，当2x3时，f（x）0，故f（x）在（

20、2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想属于中档题18（13分）（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三

21、等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计分析：（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则A

22、i与Bi相互独立（i=0，1，2，3）P（A1）=（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）=P（X=10）=P（A2）P（B1）=P（X=0）=1=X的分布列为x01050200PEX=4元点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力19（13分）（2013重庆）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F为PC的中点，AFPB（1）求PA的长；（2）求二面角BAFD的正弦

23、值考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出ACBD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，3，z），根据F为PC边的中点且AFPB，算出z=2，从而得到=（0，0，2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，）利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，2）和=（3，2）分别为平面FAD、平面FAB

24、的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角BAFD的正弦值解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点OBC=CD，AC平分角BCD，ACBD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=ACOC=3又OD=CDsin=，可得A（0，3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0）由于PA底面ABCD，可设P（0，3，z）F为PC边的中点，F（0，1，），由此可得=（0，2，），=（，3，z），且AFPB，=6=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，2），可

25、得PA的长为2；（II）由（I）知=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），=0且=0，取y1=得=（3，2），同理，由=0且=0，解出=（3，2），向量、的夹角余弦值为cos，=因此，二面角BAFD的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题20（12分）（2013重庆）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2（1）求C；（2）设cosA

26、cosB=，=，求tan的值考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tan的方程，求出方程的解

27、即可得到tan的值解答：解：（1）a2+b2+ab=c2，即a2+b2c2=ab，由余弦定理得：cosC=，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意=，（cosAtansinA）（cosBtansinB）=，即tan2sinAsinBtan（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2sinAsinBtansin（A+B）+cosAcosB=，C=，A+B=，cosAcosB=，sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB=sinAsinB=，即sinAsinB=，tan2tan+=，即tan25tan+4=0，解得：tan=1或tan=4点评：此

28、题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键21（12分）（2013重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A两点，|AA|=4（）求该椭圆的标准方程；（）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P，过P、P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外若PQPQ，求圆Q的标准方程考点：圆锥曲线的综合菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）利用点A（c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQPQ得到P

29、的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程解答：解：（）由题意知点A（c，2）在椭圆上，则，即离心率，联立得：，所以b2=8把b2=8代入得，a2=16椭圆的标准方程为；（）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（xt）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQPQ，则P（）（t0）联立，得x24tx+2t2+162r2=0由=（4t）24（2t2+162r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭

30、圆上，所以整理得，代入t2+r2=8，得解得：所以，此时满足椭圆上的其余点均在圆Q外由对称性可知，当t0时，t=，故所求圆Q的标准方程为点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题22（12分）（2013重庆）对正整数n，记In=1，2，3，n，Pn=|mIn，kIn（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集考点：集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换菁优网版权所有专题：集合分析：（1）对于集合P7 ，有n=7当k=4时，

31、根据Pn中有3个数与In=1，2，3，n中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数（2）先用反证法证明证当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值解答：解：（1）对于集合P7 ，有n=7当k=1时，m=1，2，3，7，Pn=1，2，3，7，7个数，当k=2时，m=1，2，3，7，Pn对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3，7，Pn对应有7个数，当k=4时，Pn=|mIn，kIn=Pn=，1，2，3，中有3个数（1，2，3）与k=1时Pn中的数重复，当k=5时，m=1，2，3，7，Pn对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3，7，Pn对应有7个数，当

32、k=7时，m=1，2，3，7，Pn对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为 773=46（2）先证当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集假设当n15时，Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使AB=PnIn 不妨设1A，则由于1+3=22，3A，即3B同理可得，6A，10B又推出15A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾再证P14满足要求当k=1时，P14=|mI14，kI14=I14，可以分成2个稀疏集的并集事实上，只要取A1=1，2，4，6，9，11，13，B1=3，5，7，8，10，12，14，则A1和B1都是稀疏集，且A1B1=I14当k=4时，集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列3个稀疏集的并：A2=，B2=，当k=9时，集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列3个稀疏集的并：A3=，B3=，最后，集合C|mI14，kI14，且k1，4，9 中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1A2A3C，B=B1B2B3，则A和B是不相交的稀疏集，且AB=P14综上可得，n的最大值为14点评：本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题专心-专注-专业