格点与勾股定理(共2页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上格点与勾股定理杨玲燕勾股定理是初中数学里面比较精典的一部分内容。在勾股定理的验证与运用都过程中都与“格点”分不开，具体体现在：一、利用格点，推出勾股定理。QPACBR 如图，每个小方格的边长为1，则正方形P的面积为1，Q的面积也为1。正方形R的面积不好直接判断。但通过“格点”，我们会发现正方形R的面积被分成了4个直角边均为1的等腰直角三角形，所以正方形的面积为：4。这样正方形R的面积转化到直角三角形的面积为：AC=1，BC=1，AB=2，三个正方形的面积之间的关系为：Sp+Sq=SR，即AC+BC=AB，勾股定理便可推出。用表格呈现即为：各正方形的面积P的面积Q的面积

2、R的面积关系SP+SQ+SR相应直角三角形边长的平方AC2BC2AB2AC2+BC2=AB2数据1121+1=2当正方形不能够被分成等腰直角三角形时，又该如何呢？如图1中正方形C的面积可以通过外围的边长为7的正方形面积，减去四个直角三角形的面积来得到，其中这4个直角三角形的直角边分别为4,3；3,3；3,4；3，3（如图3）。还可以通过把C分割成四个直角三角形的面积中间还有一个小正方形的面积，（如图4）。C图3 图4 图1图2如图通过分别求四个小直角三角形的面积，再加上一个正方形的面积，便可以得出通过不同的渠道得到正方形C的面积。可得A的面积+B的面积=C的面积，即中间直角三角形两直角边的平方

3、和等于斜边的平方，直角三角形这一特殊的三边关系便可以得出。ABC图5 在这一探究过程中，同学们会涌现出好多种不同的想法。但无论用哪种方法都是借用格点提供的直角三角形，利用面积拼凑法或者分割法来得到各正方形面积之间的关系，近一步转化到中间直角三角形的面积上，进而推出勾股定理。2、在格中求三角形的各边的长。如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的ABC的各边长。“格点”提供最多的就是，直角三角形。所以，我们完全可以通过求各边所在的直角三角形求各边即可。如图，A在以和为直角边的有角三角形中，由勾股定理得：AC2=32+42 ,AC=同理，在以和为直角边的直角三形中，图6CBABC2=2

4、2+32 ,AC=在以和为直角边的直角三角形中, AB2=12+52 ,AB=拓展变式：如图6，每一个小正方形的边长为,试判断的形状。分析：如想判断一个三角形的形状，我们可以从边、角两方面来讨论。从角的方面来考虑，若两个小角的和等于第三个角，则这个三角形为直角三角形。如一个三角形各内角的比为2:3：5，则此三角形为_三角形。若两个小角的和小于第三个角，则这个三角形为钝角三角形；若两个小角的和大于第三个角，则这个三角形为锐角三角形。但在图中很难找到各角之间的关系。所以，我们就从边的角度来考虑分析。若两较短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形。所以，先求三角形的边。AC=；AB=

5、；BC=；AC=AB= 为等腰三角形又（）2+（）2=5+5=10，（）2=10，即AC2+AB2=BC2为直角三角形为等腰直角三角形。提升：在格点中，我们最能够找到相应的直角三角形，从而利用勾股定理求各边的长。3、在格点中求三角形的面积在图5中同学们只要想求三角形的面积，就想到了底高，找到各边的边长，但是找不到相应各边上的高线，所以借此方法，设法求出三角形的面积。但是从图中可得：的面积是由长方形的面积，减去个直角三角形的面积，。在此过程中主要运用了拼凑的数学方法。“格点”提供给我们的是直角三角形，进一步便可以利用勾股定理求出三角形各边的长相应三角形的面积。掌握了这一点，很多个点问题便迎刃而解了。专心-专注-专业