高三数学--专题--抽象函数(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高三数学 专题 抽象函数 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4，

2、f（x）的值域为4，2。例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。2、指数函数型抽象函数例3、（2012茂名二模）已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则+等于（）A36B24C18D12解：由f（p+q）=f（p）f（q），令p=q=n，得f2（n）=f（2n）原式=+=2f（1）+=8f（1）=24故选B例4、设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任

3、何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0恒成立。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围。解：（1），f（1）0。（2），从而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函数，故，解之得：8x9。4、三角函数型

4、抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例6、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设0x1x22a，则0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函数。又，

5、f（a）1，f（2a）0，设2ax4a，则0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。设2ax1x24a，则0x2x12a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例7、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。解：（1）令y1

6、，则f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。抽象函数常见题型一、定义域问题例8. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是二、求值问题例9、（1）定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2f（n）2，其中m，nR，且f（1）0则f（2013）=4024f（1）2 +f（1）解：由题意知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2f（1）2，f（2012）=f（2011）

7、+2f（1）2，f（2011）=f（2010）+2f（1）2，f（2010）=f（2009）+2f（1）2，f（2）=f（1）+2f（1）2，故有f（2013）=f（1）+2f（1）22012=4024f（1）2+f（1）,故答案为 4024f（1）2 +f（1）（2）（2013普陀区一模）若函数f（x）满足f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，则f（10）=解：f（x+10）=2f（x+9）=4f（x+8）=1024f（x），f（0）=1，则f（10）= ，故答案为：三、值域问题例10. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：令，

8、得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意 ， 所以四、解析式问题例11. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：五、单调性问题例12、（2013天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增若实数a满足，则a的取值范围是（）A1，2BCD（0，2解：f（x）是定义在R上的偶函数，可变为f（log2a）f（1），即f（|log2a|）f（1），又在区间0，+）上单调递增，

9、且f（x）是定义在R上的偶函数，即，解得a2，故选C例13. 设f(x)定义于实数集上，当时，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有 ， 当时，；当时， ， 而 ， 所以又当时， ， 所以对任意，恒有设，则所以，所以在R上为增函数。六、奇偶性问题例14、（1）（2004贵州）设函数f（x）（xR）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A0B1CD5解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=1，得f（1）=f（1）+f（2）又f（x）为奇函数，f（1）=f（1）于是f（2）=2f（1）=1；

10、令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=故选：C（2）（2008重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）为偶函数Cf（x）+1为奇函数Df（x）+1为偶函数解：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0，得f（0）=1 ， 令x1=x，x2=x，得f（0）=f（x）+f（x）+1，f（x）+1=f（x）1=f（x）+1，f（x）+1为奇函数故选C七、对称性问题例15. 已知函数满足，求的值。解：已知式

11、即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。所以将上式中的x用代换，得八、周期性问题例16、（1）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意xR，都有f（x+3）f（x）+3和f（x+2）f（x）+2，若f（998）=1002，则f（2012）=2016解：由f（x+3）f（x）+3，得f（x+6）f（x+3）+3f（x）+6；由f（x+2）f（x）+2，得f（x+6）f（x+4）+2f（x+2）+4f（x）+6，所以f（x）+6f（x+6）f（x）+6，即f（x+6）=f（x）+6所以f（2012）=f（99

12、8+1696）=f（998+1686）+6=f（998+1676）+12=f（998）+1696=1002+1014=2016故答案为：2016（2）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（1，3），g（x）=f（x1），则f（2012）+f（2013）=3解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（x）=f（x），g（x）=g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x1），得f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（x+2），即f（x）=f（x+2），所以f（x+4）=f（x+2）=f（x）=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=

13、f（4503）=f（0）=g（1）=g（1）=3，f（2013）=f（4503+1）=f（1）=f（1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=3，故答案为：3例17、 函数定义域为全体实数，对任意实数 a、b，有(ab)(ab) =2(a) (b)，且存在C0 ，使得= 0 ，求证(x) 是周期函数证明：令a = x，b =，代入(ab)(ab) = 2(a) (b) 可得 (xC ) =(x)(x2C ) =(xC)C =(xC ) =(x) ，即是以 2C 为周期的函数九、抽象函数综合问题例18. 定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，总有=，且当x0时，01判断的单调性；

14、设A = (x，y)|，B = (x，y)|= 1，aR，若AB =，试确定a 的取值范围解：在=中，令m = 1，n = 0，得=，因为0，所以= 1在=中，令m = x，n =x，当x0时，01，当x0时，x0，01，而(x) (x) = 1， (x) =10 又当x = 0 时，(0) = 10，所以，综上可知，对于任意xR，均有(x)0设 xx+ ，则xx0，0( xx)1( x) = x( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上为减函数由于函数y =(x)在R上为减函数，所以=，即有xy1又= 1 =，根据函数的单调性，有axy= 0由AB =，所以，直线axy=

15、 0与圆面xy1无公共点，因此有：1，解得1a1例19、函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：对任意xR，有f（x）0；对任意x，yR，有f（xy）=f（x）y；f（）1（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；（3）若abc0且b2=ac，求证：f（a）+f（c）2f（b）解：（1）对任意xR，有f（x）0，令x=0，y=2得：f（0）=f（0）2f（0）=1；（2）任取x1，x2R，且x1x2，则x1=，故p1p2，函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：对任意xR，有f（x）0；对任意x，yR，有f（xy）=f（x）y；f（）1f（x1）f（x2）=f（）f（）

16、=0，f（x1）f（x2），函数f（x）是R上的单调增函数（3）由（1）（2）知，f（b）f（0）=1，f（b）1，f（a）=f（b）=，f（c）=f（b）=，f（a）+f（c）=+2，而a+c2=2=2b，22=2f（b），f（a）+f（c）2f（b）例20我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a1，a0，T0）的函数叫做似周期函数（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称求证：函数f（x）是偶函数；（2）当T=1，a=2时，某个似周期函数在0x1时的解析式为f（x）=x（1x），求函数y=f（x），xn，n+1），nZ的解析式；（3）

17、对于确定的T0且0xT时，f（x）=3x，试研究似周期函数函数y=f（x）在区间（0，+）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由解：（1）xR关于原点对称，又函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1x）=f（1+x）又T=1，f（x+1）=af（x），用x代替x得f（x+1）=af（x），由可知af（x）=af（x），a1且a0，f（x）=f（x）即函数f（x）是偶函数；（2）当nxn+1（nZ）时，0xn1（nZ）f（x）=2f（x1）=22f（x2）=2nf（xn）=2n（xn）（n+1x）；（3）当nTx（n+1）T（nN）时，0xnTT（nN）f（

18、x）=af（xT）=a2f（x2T）=anf（xnT）=an3xnT显然a0时，函数y=f（x）在区间（0，+）上不是单调函数，又a0时，f（x）=an3xnT，x（nT，（n+1）T，nN是增函数，此时f（x）（an，an3T，x（nT，（n+1）T，nN，若函数y=f（x）在区间（0，+）上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有an+1an3T，解得a3T十、实在演练一选择题1函数y=f（x）与y=g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f（x）+f（x）=0，g（x）g（x）=1，且x0，g（x）1，则F（x）=+f（x）A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数

19、C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数解：由条件f（x）=f（x），g（x）g（x）=1，F（x）=+f（x）得：F（x）=+f（x）=F（x），故F（x）=+f（x）为偶函数，故选B2已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a10070，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a2012）+f（a2013）的值（）A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负解：函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，f（0）=0，且当x0，f（0）0； 当x0，f（0）0数列an是等差数列，a10070，故f（a1007）0再根据 a1+a2013=2a10070，f

20、（a1）+f（a2013）0同理可得，f（a2）+f（a2012）0，f（a3）+f（a2011）0，f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a2012）+f（a2013）0，故选A3设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0时，f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（，0）C（，1）D（，）解：函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，不等式f（msin）+f（1m）0可化为 ， f（msin）f（1m）即f（msin）f（m1） ， 即msinm1即m在0时恒成立， 0时，1sin的最大值为1，故的最小值为1 ， 故m1， 即实数m的取值范围是（，

21、1）故选C二填空题4已知函数f（x），g（x）在R上有定义，对任意的x，yR有f（xy）=f（x）g（y）g（x）f（y），且f（1）0，则f（x）的奇偶性是奇函数解：令y=x得f（0）=f（x）g（x）g（x）f（x）=0，令y=0，得f（x）=f（x）g（0）g（x）f（0）=f（x）g（0），所以g（0）=1，令x=0，得f（y）=f（0）g（y）g（0）f（y）=g（0）f（y）=f（y），因为y为任意实数，故f（x）为奇函数故答案为：奇函数5（2013四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=x24x，那么，不等式f（x+2）5的解集是（7，3）解：因为f（x）为偶

22、函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）5可化为f（|x+2|）5，即|x+2|24|x+2|5，（|x+2|+1）（|x+2|5）0，所以|x+2|5，解得7x3，所以不等式f（x+2）5的解集是（7，3）故答案为：（7，3）6（2013奉贤区一模）已知函数f（x）是（，+）上的偶函数，g（x）是（，+）上的奇函数，g（x）=f（x1），g（3）=2013，则f（2014）的值为2013解：因为g（x）是（，+）上的奇函数，所以g（x）=g（x），又g（x）=f（x1），所以f（x1）=f（x1），因为f（x）为（，+）上的偶函数，所以f（x1）=f（x+1），则f（x+1）

23、=f（x1），用x+1替换该式中的x，有f（x+2）=f（x），所以f（x+4）=f（x+2）=f（x）=f（x），故f（x）为以4为周期的函数，所以f（2014）=f（4503+2）=f（2），因为g（x）=f（x1），所以g（3）=f（2）=2013，所以f（2014）=2013故答案为：20137（2013宝山区二模）已知函数f（x）=x|x|当xa，a+1时，不等式f（x+2a）4f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（1，+）解：y=|x|为偶函数，y=x为奇函数 ， f（x）=x|x|奇函数当x0时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数f（x）在R上增函数，

24、 又不等式f（x+2a）4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|4x|x|=2x|2x|=f（2x）， 故当xa，a+1时，不等式f（x+2a）4f（x）恒成立，即当xa，a+1时，不等式x+2a2x恒成立，即x2a恒成立，即a+12a解得a1 ，故实数a的取值范围是（1，+），故答案为：（1，+）8已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则的值是0解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得，则故答案为09f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，如果f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，则实数a的取值范围是 2，

25、0解：由题意可知：f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，f（x）在（，0上是减函数，由f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，可知：|ax+1|x2|在，1上恒成立，在，1上恒成立，2a0故答案为：2，010（2010天津）设函数f（x）=x，对任意x1，+），f（mx）+mf（x）0恒成立，则实数m的取值范围是m1解：已知f（x）为增函数且m0，当m0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意当m0时，有因为y=2x2在x1，+）上的最小值为2，所以1+，即m21，解得m1或m1（舍去）故答案为：m111设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=20

26、12，且对任意xR，满足 f（x+2）f（x）32x，f（x+6）f（x）632x，则f（2012）=22012+2011解：f（x+2）f（x）32x，f（x+4）f（x+2）32x+2=122x，f（x+6）f（x+4）32x+4=482x，以上三式相加可得：f（x+6）f（x）632x又f（x+6）f（x）632x，f（x+6）f（x）=632xf（6）f（0）=6320，f（12）f（6）=6326，f（18）f（12）=63212，f（2012）f（2006）=6322006，上式相加得：f（2012）f（0）=6320+6326+63212+6322006=63（20+26+212

27、+22006）=220121，f（2012）=22012+201112若函数f（x）满足，当x0，1时，f（x）=x，若在区间（1，1上，g（x）=f（x）mxm有两个零点，则实数m的取值范围是13（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（1）=1解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3所以g（1）=f（1）+2=3+2=1 ，故答案为114若函数y=f（x）（xR）满足f（x2）=f（x），且x1，1时，f（x）=1x2，函数，则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5

28、，6内的零点的个数为9解：f（x+2）=f（x），f（x）为一个T=2的周期函数又x（1，1时f（x）=1x2，我们可以作出函数y=f（x）的图象与函数g（x）=的图象如下图所示：由图象可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间5，6内共有9个交点，即函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，6内共有9个零点故答案为：9三解答题15（2006重庆）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）x2+x）=f（x）x2+x（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（II）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式解：（I）因为对任意xR，有f

29、（f（x）x2+x）=f（x）x2+x所以f（f（2）22+2）=f（2）22+2，又由f（2）=3，得f（322+2）=322+2，即f（1）=1，若f（0）=a，则f（a02+0）=a02+0，即f（a）=a（II）因为对任意xR，有f（f（x）x2+x）=f（x）x2+x又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0 ， 所以对任意xR，有f（x）x2+x=x0在上式中令x=x0，有f（x0）x02+x0=x0，又因为f（x0）=x0，所以x0x02=0，故x0=0或x0=1， 若x0=0，则f（x）x2+x=0，即f（x）=x2x但方程x2x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾故x0

30、0若x0=1，则有f（x）x2+x=1，即f（x）=x2x+1易验证该函数满足题设条件综上，所求函数为f（x）=x2x+1（xR）16（2013静安区一模）函数y=f（x），xD，其中D若对任意xD，f（|x|）=|f（x）|，则称y=f（x）在D内为对等函数（1）指出函数，y=x3，y=2x在其定义域内哪些为对等函数；（2）试研究对数函数y=logax（a0且a1）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使y=logax在所给集合内成为对等函数；17设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数（0，1）以及x1、x2D恒有f（x1+（1）x2）f（x

31、1）+（1）f（x2）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数（1）试判断函数g（x）=2x（xR），是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；（2）若h（x）=px2（xR）是下凸函数，求实数p的取值范围；（3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记Sf=f（1）+f（2）+f（3）+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值解：（1）g（x）=2x是下凸函数，证明如下：对任意实数x1，x2及（0，1），有g（x1+（1）x2）g（x1）（1）g（x2）=2（x1+（1）x2）2x12（1）x2=0即g（x1+（1）x2）g（x1）

32、+（1）g（x2）g（x）=2x是C函数不是下凸函数，证明如下：取x1=3，x2=1，则k（x1+（1）x2）k（x1）（1）k（x2）=即k（x1+（1）x2）k（x1）+（1）k（x2）不是下凸函数（2）h（x）=px2是下凸函数，则对任意实数x1，x2及（0，1），有h（x1+（1）x2）h（x1）（1）h（x2）=p（x1+（1）x2）2px12p（1）x22=p（1）x12（1）x22+2（1）x1x2=p（1）（x1x2）20即当p0时，h（x1+（1）x2）h（x1）+（1）h（x2）当p0时，h（x）=px2是下凸函数（3）对任意0nm，取x1=m，x2=0，f（x）是R上的下凸函数，an=f（n），且a0=0，am=2man=f（n）=f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2）=那么Sf=a1+a2+am2（1+2+m）=m2+m可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，m）都成立，此时Sf=m2+m综上所述，Sf的最大值为m2+m专心-专注-专业